Гайдук А.Р. Непрерывные и дискретные динамические системы
Подождите немного. Документ загружается.
111
[ ]
.237
1
2
13122)(adj
22
+=
−+=− pppbApEc
Следовательно, по формуле (3.12) можно записать
+
++
++
++
=
01
02
237122
935
74
1
)(
2
pp
pp
pp
pW
yg
.
После приведения к общему знаменателю, получим
.
237196
931292
74
1
)(
2
2
2
+++
+++
++
=
ppp
ppp
pp
pW
yg
Как видно, скалярные передаточные функции
)(
11
pW
и
)(
21
pW
,
которым соответствуют
0
11
≠d
и
0
21
≠d
имеют равные степени чис-
лителей и знаменателей. При этом все передаточные функции
)(pW
ij
имеют один и тот же знаменатель.
Переход к моделям вход-выход в случае канонической управ-
ляемой формы. Полученные выше соотношения позволяют найти коэффи-
циенты передаточных функций или уравнений вход-выход в самом общем
случае. Однако, как и все общие формулы, они весьма сложны при их прак-
тическом использовании. Основные трудности при этом связаны с опреде-
лением полинома
)det( ApE
−
и присоединенной матрицы
)(adj ApE
−
.
Однако если уравнения в переменных состояния имеют канониче-
ские формы, то определение коэффициентов моделей вход-выход, т.е.
переход от уравнений в переменных состояния к уравнениям вход-выход
значительно упрощается.
Рассмотрим случай, когда уравнения системы с одним входом запи-
саны (представлены) в канонической управляемой форме, т.е. в виде
gx
aaaa
x
n
+
−−−−
=
−
1
0
0
0
1000
0100
0010
1210
M
L
L
MOMMM
L
L
&
,
112
gdxcccy
n 1112111
][ += L
,
gdxcccy
n 2222212
][ += L
. (3.18)
С помощью формулы (3.15) можно легко найти, что передаточные
функции системы (3.18) определяются выражениями
.
)(
)(
)(
,
)(
)(
)(
2
1
110
1
2
2
232221
2
2
1
1
110
1
1
2
131211
1
1
d
ppp
pcpcpcc
pg
py
pW
d
ppp
pcpcpcc
pg
py
pW
nn
n
n
n
nn
n
n
n
+
+α++α+α
++++
==
+
+α++α+α
++++
==
−
−
−
−
−
−
K
K
K
K
(3.19)
Как видно, коэффициенты передаточных функций здесь не вычис-
ляются, а записываются непосредственно по коэффициентам уравнений в
переменных состояния.
Очевидно также, что если выходов будет больше, то соответствую-
щие передаточные функции запишутся аналогично.
Пример 3.2. Предположим, уравнения системы имеют вид
,
1
0
0
102
100
010
gxx
+
−
=
&
.
0
4
010
123
gxy
+
=
Найти передаточные функции системы.
Решение. Заданная система уравнений имеет, очевидно, канониче-
скую управляемую форму (3.18), поэтому непосредственно по формуле
(3.19) записываем
4
2
23
)(
32
2
1
+
+−
++
=
pp
pp
pW
,
32
2
2
)(
pp
p
pW
+−
=
.
Переход к моделям вход-выход в случае канонической наблю-
даемой формы. В этом случае при одном выходе и двух входах уравне-
ния в переменных состояния системы имеют вид
113
g
bb
bb
bb
bb
x
a
a
a
a
x
nn
n
+
−
−
−
−
=
−
21
3231
2221
1211
1
2
1
0
100
010
001
000
MM
L
MOMMM
L
L
L
&
,
(3.20)
[
]
[
]
gxy
21
1000 ββ+= L
.
Аналогично, с помощью формулы (3.15), легко установить, что пе-
редаточные функции системы (3.20) определяются формулами
.
)(
)(
)(
,
)(
)(
)(
2
1
110
1
22212
2
2
1
1
110
1
12111
1
1
β+
+α++α+α
+++
==
β+
+α++α+α
+++
==
−
−
−
−
−
−
nn
n
n
n
nn
n
n
n
ppp
pbpbb
pg
py
pW
ppp
pbpbb
pg
py
pW
K
K
K
K
(3.21)
И в этом случае, как видно, коэффициенты передаточных функций
)(
pW
ij
записывают без всяких вычислений.
Пример 3.3. Допустим, заданы следующие уравнения системы
,
03
01
10
210
001
100
gxx
+
−
=
&
[
]
[
]
.3/20100
gxy +=
Найти передаточные функции.
Решение. Заданная система уравнений имеет, очевидно, канониче-
скую наблюдаемую форму (3.20), поэтому непосредственно по формуле
(3.21) находим
,
21
3
)(
)(
)(
32
2
1
1
pp
pp
pg
py
pW
+−
+
==
114
43
43
32
32
32
2
2
363
245
363
245
3
2
21
1
)(
)(
)(
ppp
ppp
pp
pp
pp
pg
py
pW
+−
+−
=
+−
+−
=+
+−
==
.
Как видно, в процессе преобразования передаточных функций, их
знаменатели и числители могут оказаться умноженными или поделенны-
ми на некоторые постоянные числа или полиномы. Поэтому в общем
случае знаменатель передаточной функции может не совпадать с харак-
теристическим полиномом исследуемой системы. При этом могут не
совпадать не только коэффициенты, но и его степень может быть не рав-
ной порядку системы (последний всегда равен размерности вектора x или
размеру матрицы
A
).
Таким образом, при переходе от уравнений в переменных состояния
к передаточным функциям может быть потеряна информация о характе-
ристическом полиноме системы, о ее порядке и структуре. Это замечание
справедливо по отношению к любым моделям вход-выход.
Переход от уравнений в переменных состояния к уравнениям
вход-выход в многомерном случае. Передаточные функции в этом слу-
чае определяются по тем же формулам, что и выше. Если система имеет
несколько входов и несколько выходов, то используются формулы обще-
го случая, т.е. (3.9), (3.12) или (3.15). В результате получается квадратная
или прямоугольная передаточная матрица. Число ее строк равно числу
выходов, а число столбцов равно числу входов системы (см. пример 3.1).
Если система имеет один вход и несколько выходов, то целесооб-
разно привести сначала уравнения системы к канонической управляемой
форме (КУФ), а затем записать передаточную матрицу по формулам
(3.18), (3.19). Результатом будет являться передаточная матрица типа
вектор-столбец.
Если же система имеет один выход и несколько входов, то исполь-
зуется каноническая наблюдаемая форма (КНФ), т.е. формулы (3.20) и
(3.21). В результате определяется передаточная матрица типа вектор-
строка.
Унитарная модель динамической системы. Обычные модели ди-
намических систем в переменных состояния (3.1), (3.2) состоят из двух
уравнений – состояния и выходов. Эти модели определяют вектор со-
стояния и вектор выходных переменных системы. Однако на практике
иногда возникает необходимость исследования не только выходной пе-
ременной, но и её производных по времени. Для этой цели требуется мо-
дель системы, описывающая эти производные.
115
Ограничимся здесь выводом соответствующей модели для одномер-
ной системы, которая описывается уравнениями (2.147), (2.148).
Известно, что функция, являющаяся решением системы дифферен-
циальных уравнений n-го порядка, имеет n–1 независимую производную
по времени [13, 15]. Для получения модели, включающей все независи-
мые производные по времени выходной переменной рассматриваемой
системы, продифференцируем равенство (2.148) по времени и учтем
уравнение (2.147). В результате получим
gbgcAxcgxcy
TTT
&&&&
β++=β+=
.
Аналогично, дифференцируя полученное равенство n–2 раза с уче-
том (2.147) и объединяя получаемые уравнения в одну систему, придем к
унитарной (из одной системы уравнений) модели
gPxNy +=
&
. (3.22)
Здесь векторы
g
y
,
и матрица P имеют следующий вид:
=
− )2(n
y
y
y
Y
y
M
&
,
=
− )1(n
g
g
g
g
g
M
&&
&
,
µµµµ
µµµ
µµ
µ
=
− 0121
012
01
0
0
00
000
K
MOOOM
L
K
K
n
P
.
Матрица N определяется вторым соотношением (2.28), величина
∫
ττ=
t
dyY
0
)(
,
)(
)(
i
∗
– обозначение i-й производной функции (*) по времени, а
i
µ
– мар-
ковские параметры [4], которые определяются равенствами
β=µ
0
,
bAc
iT
i
1
−
=µ
,
K,3,2,1
=
i
(3.23)
Как видно, унитарная модель (3.22) динамической системы (2.147),
(2.148) связывает выходную переменную y и все её независимые произ-
водные с вектором состояния x и с входным воздействием g и его произ-
водными по времени.
116
При этом марковские параметры системы определяют степень влия-
ния производных по времени входного воздействия на производные вы-
ходной переменной. Например, согласно (3.22) с учетом второго равенст-
ва (2.28) можно записать
gggxAcy
T
&&&&&
012
2
µ+µ+µ+=
. В общем же
случае справедливо равенство
)(
0
)( ν
=ν
ν−
∑
µ+= gxAcy
i
i
iTi
.
Марковские параметры
i
µ
могут быть найдены либо с помощью со-
отношений (3.23), либо через коэффициенты приведенной ниже переда-
точной функции (3.34) системы уравнений (2.147), (2.148) на основе ра-
венств
∑
=ν
νν+−−
µα=β
i
inin
0
~
~
,
ni K,1,0=
.
Эти равенства можно представить в виде системы линейных алгеб-
раических уравнений относительно марковских параметров. Эта система
оказывается бесконечной и имеет вид
β
β
β
β
=
µ
µ
µ
α
α
αα
αα
αα
α
−
−
−
−
−
0
0
~
~
~
~
000
~
00
~
0
~~
~~
0
~~
000
~
0
2
1
2
1
0
0
0
10
1
1
M
M
M
M
M
O
M
OM
OM
OM
O
n
n
n
n
nn
nn
n
. (3.24)
При заданных значениях коэффициентов
i
α
~
и
i
β
~
с помощью сис-
темы (3.24), также как и с помощью соотношений (3.23) по заданным
матрице A и векторам c и b, можно найти произвольное число марков-
ских параметров
i
µ
для динамической системы любого порядка.
117
§ 3.2. Обратный переход от моделей вход-выход
к моделям в переменных состояния
Эта задача обычно возникает при моделировании систем или реали-
зации устройств, заданных своими передаточными функциями или дру-
гими характеристиками вход-выход. Подчеркнем, что задача перехода от
моделей вход-выход к моделям в переменных состояния не имеет одно-
значного решения, так как переменные состояния могут быть выбраны
совершенно произвольно, лишь бы они были линейно независимы (см.
П.2.1) и полностью описывали рассматриваемую систему. Более того,
известно и несколько методов решения этой задачи.
Одномерный случай. Рассмотрим для яс-
ности сначала одномерный случай. Пусть неко-
торая одномерная система (рис. 3.1) задана урав-
нениями вход-выход вида
g
pA
pB
y
)(
)(
=
или
.)()( gpBypA
=
(3.25)
Полином
constpB
=
)(
. Будем предполагать, что уравнение (3.25)
системы удовлетворяет указанному условию, т.е. в правой части этого
уравнения отсутствуют производные по времени.
Рассмотрим для наглядности систему третьего порядка. При другом
порядке системы процедура перехода будет той же самой. Итак, задано
уравнение вход-выход в операторной форме
gbyapapapa
001
2
2
3
3
~
)
~
~
~
~
( =+++
. (3.26)
Разделим на
3
~
a
обе части этого уравнения
gbyapapap
001
2
2
3
)(
=+++
,
и перейдем к явной форме записи производных. Получим
gbyayayay
0012
=+++
&&&&&&
.
Введем переменные состояния следующим образом. Пусть
23121
,, xxxxyx
&&
===
. Берем три переменные состояния, так как по-
рядок дифференциального уравнения (3.26) равен трем. Тогда
21
xx =
&
,
W
yg
Рис. 3.1
118
32
xx =
&
. Для определения
3
x
&
воспользуемся заданным уравнением
(3.26). Действительно,
yxxx
&&&&&&&&&
===
123
, и из (3.26) выводим
322110001203
xaxaxagbyayayagbx −−−=−−−=
&&&&
.
Объединяя уравнения для производных по времени от всех пере-
менных состояния системы и учитывая, что
1
xy =
, получим
21
xx =
&
,
32
xx =
&
,
gbxaxaxax
03221103
+−−−=
&
, (3.27)
1
xy =
.
Полученная система (3.27) эквивалентна исходному уравнению
(3.26) в том смысле, что при одном и том же воздействии
g
и одних и
тех же начальных значениях
000
,,
yyy
&&&
решение
)(ty
будет одним и
тем же как для уравнения (3.26), так и для системы (3.27) при соответст-
вующем векторе начальных условий
0
x
. Отметим, что этот вектор мож-
но найти по заданным начальным значениям
000
,, yyy
&&&
с помощью
унитарной модели (3.22).
Итак, если система описывается передаточной функцией
3
3
2
210
0
~~~~
~
)(
papapaa
b
pW
yg
+++
=
(3.28)
или уравнением (3.26), то ее уравнения в переменных состояния можно
записать в виде (3.27).
При другом порядке системы и
constbp
В ==
0
~
)(
соответст-
вующие уравнения в переменных состояния записываются или вы-
водятся совершенно аналогично.
Пример 3.4. Предположим, динамическая система описывается
уравнением вход-выход
gy
dt
dy
642 =+
,
или
gyy 32
=
+
&
.
119
Найти ее уравнения в переменных состояния.
Решение. Так как здесь
1
=
n
, то вводим одну переменную состоя-
ния
yx =
1
. Тогда
ygyx 23
11
−==
&&
. Отсюда следуют искомые уравне-
ния системы
,32
11
gxx +−=
&
1
xy =
.
Проверка:
gxxy 32
11
+−==
&&
. Заменяя здесь
1
x
на
y
, получим
gyy 32
+
−
=
&
или
gyy 32
=
+
&
, что совпадает с исходным уравнением.
Полином
constpB
≠
)(
. Рассмотрим теперь случай, когда в правой
части дифференциального уравнения (3.25) имеются производные или,
что то же самое, числитель соответствующей передаточной функции B(p)
является полиномом. Будем также считать, что коэффициент при стар-
шей производной в левой части дифференциального уравнения (3.25)
равен единице.
Рассмотрим для наглядности снова частный случай, когда
2
=
n
.
При этом уравнение (3.25) принимает вид
gbgbgbyayay
&&&&&&
21001
++=++
. (3.29)
В данном случае
2
=
n
,
2
=
m
. Здесь
m
– порядок старшей произ-
водной входного воздействия,
n
– порядок старшей производной выход-
ной переменной (порядок системы).
Отметим, что в общем случае при
n
m
>
, т.е. при не выполнении
условия (3.16), рассматриваемая задача реш ени й не име ет. В нашем
случае условие (3.16) выполняется, поэтому задача имеет решение.
Переходя к его определению, введем две переменные состояния, так
как
2
=
n
, но несколько по-другому. Положим
.,
21211
gkxxgkyx +=+=
&
Здесь
1
k
,
2
k
– неопределенные коэффициенты. Их значения выбираются
в процессе вывода уравнений в переменных состояния так, чтобы в пра-
вых частях полученных уравнений отсутствовали производные по време-
ни от входного воздействия.
Найдем производные по времени. Из второго уравнения имеем
.
221
gkxx −=
&
(3.30)
Из него же, дифференцируя по времени, находим
120
.
212
gkxx
&&&&
+=
С учетом введенного обозначения для
1
x
имеем
.
212
gkgkyx
&&&&&&
++=
Чтобы исключить
y
и
y
&&
, запишем следующие равенства, выте-
кающие из тех же обозначений для переменных состояния:
gkgkxgkxy
gkxy
&&&&
12211
11
,
−−=−=
−
=
(3.31)
и учтем заданное уравнение (3.29). В результате получим
gkgkgkxagkgkxagbgbgbx
&&&&&&&&
2111012212102
)()( ++−−−−−++=
или
.
)()()(
1021
122111211002
xaxa
gkbgkkabgkakabx
−−
−
+
+
+
+
+
+
+
=
&&&&
(3.32)
Выбираем
1
k
и
2
k
так, чтобы исключить
g
&
и
g
&&
, т.е.
,0
2112
bkkb −=
⇒
=+
.0
21111122111
babkabkkkab +−=−−=
⇒
=++
При таком выборе
1
k
и
2
k
уравнения (3.30), (3.31) и (3.32) прини-
мают вид
,))((
211012112002
2
xaxagbbaababx −−−+−=
β
4444 34444 21
&
,)(
1
21121
gbabxx
43421
&
β
−+=
.
2111
gbxgkxy +=−=
Вводя указанные здесь обозначения
)(
2111
bab −=β
,
)(
12112002
bbaabab −+−=β
, получим уравнения системы в коорди-
натной форме