Гайдук А.Р. Непрерывные и дискретные динамические системы
Подождите немного. Документ загружается.
81
Так как справедливо равенство
1
1
11 −
−
−−
==
W
We
WW
e
WW
e
AWtWAtAt
,
то из предыдущих выражений вытекает следующая формула для опреде-
ления переходной матрицы в том случае, когда матрица A имеет сопро-
вождающую форму и различные собственные числа:
1
~
−
=
W
We
e
tAAt
. (2.116)
Пример 2.15. Найти решение системы
,
68
10
xx
−−
=
&
.
2
1
0
=x
Решение. Так как матрица A системы имеет сопровождающую фор-
му, то для проверки возможности применения формулы (2.116) найдем
собственные числа заданной матрицы A, т.е. в данном случае корни урав-
нения (2.114):
086
2
=+λ+λ
. Они равны
4
1
−
=
λ
,
2
2
−
=
λ
и, как
видно, различны. Следовательно, условие (2.115) выполнено, и формула
(2.116) применима. Записывая по формуле (2.17) матрицу W, а затем, вы-
числяя обратную к ней по (2.7), получим
,
24
11
−−
=W
−−
=
−
14
12
2
1
1
W
.
Теперь по формуле (2.116) находим
=
−−
−−
=
−−
=
−−
−−
−
−
−
14
12
24
2
1
0
0
24
11
24
24
1
2
4
tt
tt
t
t
At
ee
ee
W
e
e
e
.
2488
42
2
1
2424
2424
−−
+−+−
=
−−−−
−−−
tttt
tttt
eeee
eeee
Наконец, подставляя найденную переходную матрицу
At
e
и задан-
ный вектор
0
x
в равенство (2.109), будем иметь
.
68
32
2
1
2488
42
2
1
)(
24
24
2424
2424
−
+−
=
−−
+−+−
=
−−
−−
−−−−
−−−
tt
tt
tttt
tttt
ee
ee
eeee
eeee
tx
82
3. Если матрица A имеет общий вид, т.е. не является сопровождаю-
щей, но её собственные числа различны, то для построения матрицы
At
e
можно воспользоваться приведенными выше формулами и матрицами U,
M и W, с помощью которых матрица A приводится к диагональному виду.
По аналогии с формулой (2.116) в этом случае можно записать
1
2
~
2
−
= PePe
tAAt
, (2.117)
где
WMbAAbbP
n
][
1
2
−
= K
. (2.118)
Здесь
b
– любой вектор, при котором
0]det[
1
≠
−
bAAbb
n
K
. (2.119)
Матрица M записывается по формуле (2.26) и по коэффициентам
полинома из уравнения (2.114).
Подчеркнем ещё раз, что формулу (2.117) можно применять, если
только выполняются условия (2.115) и (2.119).
Пример 2.16. В качестве примера применения формулы (2.117),
найдем переходную матрицу
At
e
для системы
gxx
+=
1
1
12
31
&
,
xу ]21[=
.
Решение. Матрица A данной системы не является сопровождающей.
Поэтому, чтобы проверить возможность применения формулы (2.117),
найдем сначала матрицу
][
1
bAAbbU
n−
=
K
.
В нашем случае
2
=
n
, так что при
T
b
]11[=
и заданной матри-
це A имеем
[ ]
==
31
41
AbbU
,
причем
0det
≠
U
, т. е. условие (2.119) выполняется. Далее, для проверки
условия (2.115), найдем характеристический полином
( ) ( )
52
12
31
detdet
2
−λ−λ=
−λ−
−−λ
=−λ=λ AEA
,
83
и его корни:
45,3
1
=λ
,
45,1
2
−=λ
. Как видно, они не равны друг другу,
т.е. оба необходимых условия (2.115) и (2.119) выполнены, так что задачу
можно решить с помощью формулы (2.117).
В нашем случае по формуле (2.118) находим
−
=
−
−
==
45,045,4
55,045,5
45,145,3
11
01
12
31
41
2
UMWP
.
Далее, по формуле (2.7) из параграфа 2.1 имеем
9,455,045,445,045,5det
2
−=⋅−⋅−=
P
,
−
=
−
45,545,4
55,045,0
9,4
1
1
2
P
.
Теперь по формуле (2.117) получаем
==
−1
2
~
2
PePe
tAAt
=
−
−
−
=
9,4
1
45,545,4
55,045,0
45,1
0
0
45,3
45,045,4
55,045,5
t
e
t
e
−
+
−
−
−
−
−
+
=
)
45,145,3
(5,0
)45,1
45,3
(408,0
)
45,145,3
(612,0)
45,145,3
(5,0
t
e
t
e
t
e
t
e
t
e
t
e
t
e
t
e
. (2.120)
Для проверки сначала положим здесь
0
=
t
. Очевидно, получим
Ee
A
=
0
, что соответствует свойству 1 переходной матрицы. Для более
полной проверки необходимо найти
At
Ae
, а затем
dtde
At
и сравнить.
При корректных вычислениях выполняется равенство
dtdeAe
At
At
=
.
Отметим, что выражения
t
i
i
eqtq
λ
=)(
, содержащиеся в выражении
(2.120) для матрицы
At
e
, называются мо дами . Здесь
i
λ
– собственные
числа матрицы А.
Напомним, что рассмотренный метод построения матрицы
At
e
применим только в том случае, когда собственные числа матрицы А раз-
личны. Для построения переходной матрицы
At
e
в общем случае необ-
ходимо применять операторный или аналитический методы.
84
Операторный метод построения переходной матрицы. Подвергая
преобразованию Лапласа однородную систему (2.106) с учетом началь-
ных условий, получим
)()(
0
pAxxppx =−
, (2.121)
где
0
x
– вектор начальных условий.
Из равенства (2.121) выводим
0
)()( xpxApE
=
−
, так как
pExpx
=
.
Умножая равенство (2.121) слева на
1
)(
−
− ApE
, получим
0
1
)()( xApEpx
−
−=
(2.122)
– изображение по Лапласу решения системы (2.106).
Само решение определяется обратным преобразованием Лапласа от
обеих частей равенства (2.122), т. е.
}){()(
0
11
xApELtx
−−
−=
где
}{
1
⋅
−
L
– обратное преобразование Лапласа. Так как это преобразова-
ние линейное, то вектор
0
x
можно вынести из-под знака преобразования.
Тогда
0
11
}){()( xApELtx
−−
−=
. (2.123)
С другой стороны, решение системы (2.106) имеет вид (2.109).
Сравнивая равенства (2.109) и (2.123), заключаем, что
}){(
11 −−
−= ApELe
tA
. (2.124)
Пример 2.17. Для сравнения результатов возьмем матрицу А ту же,
что и в предыдущем примере, т. е.
=
12
31
A
.
Найти переходную матрицу
At
e
по формуле (2.124).
Решение. Матрица
85
−−
−−
=−
12
31
][
p
p
ApE
.
По формуле (2.7) находим
−
−
+−
=−
−
12
31
)45,1)(45,3(
1
][
1
p
p
pp
ApE
.
В результате, подставляя в (2.124), получим
( )( )
)]([
12
31
45,145,3
1
1
t
p
p
pp
Le
ji
At
ϕ=
−
−
+−
=
−
.
Отсюда, например,
+
+
−
=
+−
−
=ϕ
−−
45,1)45,3()45,1)(45,3(
1
)(
11
11
p
B
p
A
L
pp
p
Lt
.
Нетрудно установить, что в данном случае
5,0
=
A
,
5,0
=
B
. Поэтому,
переходя к оригиналам, найдем (см. приложение П.7)
tt
eet
45,145,3
11
5,05,0)(
−
+=ϕ
.
Аналогично
+
+
−
=
+−
=ϕ
−−
45,1)45,3()45,1)(45,3(
3
)(
11
12
p
B
p
A
L
pp
Lt
.
Здесь
61
,
0
;
61
,
0
−
=
=
B
A
. Поэтому
tt
eet
45,145,3
12
61,061,0)(
−
−=ϕ
.
Аналогично,
tt
eet
45,145,3
21
41,041,0)(
−
−=ϕ
,
tt
eet
45,145,3
22
5,05,0)(
−
+=ϕ
.
Итак, в данном случае
+−
−+
=
−−
−−
)(5,0)(41,0
)(61,0)(5,0
45,145,345,145,3
45,145,345,145,3
tttt
tttt
At
eeee
eeee
e
.
Это выражение, очевидно, соответствует равенству (2.120), полу-
ченному ранее.
86
Аналитический метод определения переходной матрицы. Пред-
положим, квадратная
n
n
×
матрица А имеет произвольную форму, при-
чем известны ее собственные числа и их кратности. Пусть
i
n
– кратность
числа
i
λ
, а
σ
– число различных собственных чисел.
Запишем полином вида
01
1
1
)( α+λα++λα=λ
−
−
K
n
n
p
,
где
)(
t
ii
α=α
– неизвестные функции, подлежащие определению. Для их
определения составляется система алгебраических уравнений
)(
k
t
pe
k
λ=
λ
,
σ
=
,,2,1 Kk
,
k
k
l
k
l
t
l
d
pd
et
λ=λ
λ
λ
λ
=
)(
,
1,,2,1 −=
k
nl
K
, (2.125)
Всего эта система имеет
n
уравнений, неизвестными в которых яв-
ляются функции
)(t
ii
α=α
полинома
)(
λ
p
. Решив эту систему (напри-
мер, по формулам Крамера или методом Гаусса) относительно функций
)(t
i
α
, можно записать [8, 9] переходную матрицу по формуле
.)(
1
0
∑
α=
−
=
n
i
i
i
At
Ate
(2.126)
Пример 2.18. Найти переходную матрицу
At
e
по формулам (2.125),
(2.126), если матрица А имеет вид
=
200
120
003
A
.
Решение. Собственные числа заданной матрицы, очевидно, равны
2,3
21
=λ=λ
, причем кратность первого числа
1
1
=n
, а второго
2
2
=n
. Величина
2
=
σ
.
Полином
)(
λ
p
из уравнений (2.125) здесь имеет вид
01
2
2
)( α+λα+λα=λp
. По первой строке (2.125) при
2,1
=
k
запишем
210
3
93)3( α+α+α== pe
t
,
87
210
2
42)2( α+α+α== pe
t
,
а по второй строке (2.125) при
1
2
=n
имеем
21
2
21
2
42)2( α+α=λα+α==
=λ
pte
t
.
Поэтому система (2.125) в матричной форме в данном случае имеет вид
.
2
2
3
2
1
0
410
421
931
=
α
α
α
t
te
t
e
t
e
Решениями этой системы являются следующие функции
ttt
teee
223
0
634 −−=α
,
ttt
teee
223
1
544 ++−=α
,
ttt
teee
223
2
−−=α
.
Вычислив необходимую в данном случае, согласно (2.126), степень
,
400
440
009
200
120
003
200
120
003
2
=⋅=A
и подставляя в (2.126), получим
α+
α+
α=
400
440
009
)(
200
120
003
)(
100
010
001
)(
210
ttte
tA
.
После приведения подобных членов с учетом приведенных выше
выражений для функций
)(t
i
α
,
2,1,0
=
i
найдем окончательно
=
t
tt
t
tA
e
ete
e
e
2
22
3
00
0
00
.
88
В заключение приведем пример решения однородной системы типа
(2.106) с помощью переходной матрицы
At
e
.
Пример 2.19. Найти решение
)(tx
системы
,
12
31
xx
=
&
=
0
1
0
x
.
Решение. Для матрицы А заданной системы переходная матрица
получена в примере 2.17 в виде
+−
−+
=
−−
−−
)(5,0)(41,0
)(61,0)(5,0
45,145,345,145,3
45,145,345,145,3
tttt
tttt
At
eeee
eeee
e
.
Поэтому, подставляя в (2.109) данную переходную матрицу
At
e
и
заданный вектор
0
x
, получим
−
+
==
−
−
)(41,0
)(5,0
)(
45,145,3
45,145,3
0
tt
tt
At
ee
ee
xetx
.
Таким образом, при наличии переходной матрицы однородной системы
дифференциальных уравнений решение этой системы находится чрезвы-
чайно просто.
Решение неоднородных систем дифференциальных уравнений. Как
показано выше, динамические системы, в общем случае, описываются неод-
нородными системами дифференциальных уравнений вида
,
Bg
Ax
x
+
=
&
(2.127)
Dg
Cx
y
+
=
, (2.128)
где матрицы A, B, C и D заданы. Будем считать, что заданы начальные
условия
00
)( xtx =
, переходная матрица
At
e
, а также вектор-функция
времени
)(tgg
=
, описывающая при
0
tt
≥
входные воздействия. Здесь
0
t
– момент начала работы системы, т.е. начало отсчета времени.
Найдем решение
)(tx
системы (2.127) методом вариации постоян-
ных. С этой целью положим
89
)(tCex
At
=
(2.129)
и найдем производную по времени
)()( tCetCAex
AtAt
&
&
+=
. (2.130)
Подставляя (2.129) и (2.130) в (2.127), получим
(
)
BgtCAetCetCAe
AtAtAt
+=+ )()(
&
.
Сократив одинаковые слагаемые и умножив обе части этого равенства на
At
e
−
, найдем
(
)
BgetC
At−
=
&
.
Проинтегрируем по t обе части этого равенства от
0
t
до t, учиты-
вая, что
)(tgg
=
. В результате будем иметь
∫
+ττ=
∫
ττ
τ−
t
t
A
t
t
CdBgedC
00
1
)()(
&
,
где
1
C
– постоянная интегрирования. Отсюда
∫
+ττ=
τ−
t
t
A
CdBgetC
0
1
)()(
,
Подставляя найденное выражение для
)(tC
в (2.129), получим
1
0
)()( CedBgeetx
At
t
t
AAt
+τ
∫
τ=
τ−
. (2.131)
Постоянную
1
C
, как обычно, найдем из начальных условий. Пола-
гая в (2.131)
0
tt
=
, найдем
10
0
)( Cetx
tA
=
. Подставляя вытекающее от-
сюда значение
1
C
в (2.131), получим окончательно
∫
ττ+=
τ−
−
t
t
tA
ttA
dBgetxetx
0
0
)()()(
)(
0
)(
. (2.132)
90
Формула (2.132) определяет решение уравнения состояний (2.127) и
называется формулой Коши. Подставляя
)(tx
из (2.132) в (2.128), будем
иметь
)()()(
0
0
)(
0
)(
tDgdBgCexCety
t
t
tA
ttA
+ττ+=
∫
τ−
−
. (2.133)
Формула (2.133) дает решение всей системы уравнений (2.127),
(2.128). Как видно из этих выражений, решения системы (2.127), (2.128)
состоят из двух составляющих:
)
(
)
(
)
(
t
x
t
x
t
x
вынсв
+
=
,
)
(
)
(
)
(
t
y
t
y
t
y
вынсв
+
=
.
Составляющие решений
)()(
0
)(
0
txetx
ttA
св
−
=
и
)()(
0
)(
0
txCety
ttA
св
−
=
описывают свободное движение динамической системы, то есть движе-
ние, совершаемое этой системой при отсутствии внешних воздействий.
Это движение, в соответствии с приведенными выражениями, вызывает-
ся только лишь ненулевыми начальными условиями.
Остальные составляющие в формулах (2.132) и (2.133) описывают
вынужденные движения динамической системы, вызванные внешним
воздействием
)(tg
.
Из (2.133) видно, что если матрица D в уравнении (2.128) не равна
нулю, то соответствующая вынужденная составляющая
)(ty
вын
решения
)(ty
имеет часть
)(tDg
, пропорциональную входному воздействию.
Если же матрица D в уравнении (2.128) равна нулю, то пропорциональ-
ной входному воздействию
)(tg
составляющей в вынужденном решении
)(ty
вын
не будет.
В ряде задач по исследованию динамических систем интеграл в
формуле (2.133) целесообразнее вычислять, используя решение (2.112)
сопряженной системы (2.111). Покажем эту возможность.
Обозначим
∫
ττ=
+
τ−
∗
ht
t
tA
dBgCetI )()(
)(
, (2.134)
где
h
– конечный интервал интегрирования.