Гаспер Б.С., Липатов И.Н. ИВС и АСУТП. Учебное пособие
Подождите немного. Документ загружается.
81
J = M
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
t
t
0
1
∫
[(x
T
Q(t)x + u
Т
u]dt + x
T
(t
1
)P
(1)
x(t
1
)
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
, (4.119)
где
Q(t) - положительно-определенная матрица.
Требуется найти управление
u(t) как функцию текущей и прошлой информа-
ции об
x(t), при котором (4.119 ) принимает наименьшее значение.
Так как текущая информация об
x(t) носит случайный характер, то и форму-
лируемое на ее основе оптимальное уравнение будет случайным (стохастическим)
управлением.
Неожиданным оказывается тот факт, что наличие «белого шума» в уравнении
(4.114) не изменяет оптимального управления, которое было получено ранее (в
разд. 4.10) при отсутствии внешних возмущений. Изменяется лишь значение ми-
нимума критерия. Сформулируем этот результат.
Утверждение
4.1. Оптимальное стохастическое управление для объекта
(4.114), при котором функционал (4.119) принимает наименьшее значение, имеет
вид
u = C
T
(t)x, (4.120)
где
C(t) = -P(t)B(t); (4.121)
P(t) - решение матричного уравнения Риккати
−
&
P
(t)=P(t)A(t) + A
T
(t)P(t) - P(t)B(t)B
T
(t)P(t) + Q(t) (4.122)
при краевом условии
P(t
1
) = P
(1)
. (4.123)
Значение функционала (4.119) при управлении (4.120) определяется выражение
tr{
P(t
0
)R
(0)
+
t
t
0
1
∫
ψ(t)R
(1)
(t)ψ
T
(t)P(t)dt}. (4.124)
В этом выражении запись tr
A означает след квадратной матрицы A. По определе-
нию
trA =
ii
i
n
a
=
∑
1
,
где
ii
a
(
in= 1, )
- диагональные элементы матрицы A.
Рассмотрим теперь стационарный случай, когда матрицы, входящие в уравне-
ние объекта (4.114), и функционал (4.119) постоянны, а интенсивность стационар-
ного «белого шума» характеризуется матрицей
R
(1)
. Наименьшее значение функ-
ционала оптимизации имеет вид
minJ = tr{
P(t
0
)R
(0)
+
t
t
0
1
∫
ψR
(1)
ψ
T
P(t)dt}. (4.125)
Во многих практических случаях время функционирования системы велико. Тогда
полагают в функционале оптимизации
t
1
→ ∞ и значение функционала
82
minJ = tr
P
0
R
(0)
+ (t
1
- t
0
)trψR
(1)
ψ
T
P
0
, (4.126)
где
P
0
- установившееся решение матричного уравнения Риккати (4.122).
Очевидно, что при
t
1
→ ∞ число minJ →∞.
Причина этой ситуации является неограниченная энергия случайного процесса
типа «белый шум», поэтому при t
1
→ ∞ вместо функционала (4.125) принимают
функционал
(
J
tt
M
t
T
t
t
x
=
−
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
→∞
∫
lim
1
0
1
1
10
Q ()t
x
+
T
u
)
u
dt
+
T
x
()t
1
()1
Px
()t
1
⎫
⎬
⎭
. (4.127)
Для стационарных систем этот функционал можно записать как
(
J
tt
M
t
T
t
t
x
=
−
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
→∞
∫
lim
1
0
1
1
10
Q ()t
x
+
T
u
)
u
dt
⎫
⎬
⎭
. (4.128)
4.12.Синтез стохастических систем при неполной информации
о векторе переменных состояния.
Оптимальное наблюдение (оптимальная фильтрация)
Пусть не все переменные состояния объекта (4.114) доступны непосредствен-
ному измерению и пусть, кроме того, измерение осуществляются с помехами. То-
гда объект управлениями описывается уравнениями
&
x
= A(t)x + B(t)u + ψ(t)f, x(t
0
) = x
(0)
, (4.129)
y=D(t)x + v(t), (4.130)
где как и ранее, f(t) - k - мерный вектор внешних возмущений, являющийся гаус-
совским случайным процессом типа «белый шум» с нулевым математическим
ожиданием и заданной корреляционной матрицей
R
(1)
(t); A(t), B(t), ψ(t) - задан-
ные матрицы;
y(t) - r-мерный вектор измеряемых переменных; v(t) - это r-мерный
вектор помех (шумов), также являющийся случайным процессом типа «белый
шум» с нулевым математическим ожиданием и корреляционной матрицей
R
(2)
(t’,t’’) = M{ v(t’)v
T
(t’’)}= R
(2)
(t)δ(t’-t’’), (4.131)
где R
(2)
(t) - заданная положительно-определенная матрица размеров (r x r).
Далее предполагается, что внешние возмущения и помехи возмущений неза-
висимы (не коррелированны).
Наконец, обозначим
M{
x(t
0
)} =
()0
x
; M{[ x(t
0
)-
()0
x
] [x(t
0
)-
()0
x
]
T
} =
()0
R
; (4.132)
и будем полагать, что начальные условия не зависят от возмущений и помех, а
83
вектор
()0
x
и матрица
()0
R
размерности (n x n) известны.
Требуется найти управление
u, зависящее от измеряемого вектора y, такое,
чтобы критерий
(
JM
T
t
t
x
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
∫
0
1
Q ()t
x
+
T
u
)
u
dt
+
T
x
()t
1
()1
Px
()t
1
⎫
⎬
⎭
, (4.133)
где Q ()t ,
()1
P
- заданные положительно-определенные матрицы, принимая наи-
меньшее значение.
Регулятор, формирующий искомое управление, состоит из двух частей: уст-
ройства, реализующего оптимальный закон (4.120), в котором вместо неизвестно-
го вектора переменных состояний
x подставляется его оценка
$
x
, вырабатывае-
мая во втором устройстве - наблюдателе. Наблюдатель описывается уравнением
$
&
x
= A(t)
$
x
+ K(t)[Y - D(t)
$
x
]+ B(t)u, (4.134)
в котором матрица
K(t) определяется из условия минимума функционала
J = M{
e
T
Λ(t)e}. (4.135)
Здесь
Λ(t) - заданная положительно-определенная матрица; e = x -
$
x
- ошибка на-
блюдения (фильтрации).
При таком определении матрицы
K(t) уравнение (4.134) описывает опти-
мальный наблюдатель (оптимальный фильтр Калмана-Бьюси).
Утверждение 4.2.
Матрица K(t) уравнения наблюдателя (4.134), при которой
(4.135) достигает минимального значения, определяется выражением
K(t) = P
e
(t)D
T
(t)(R
(2)
(t))
-1
, (4.136)
где P
e
(t) - матрица размерности (n x n), являющаяся решением уравнения Риккати
e
P
&
(t) = A(t)P
e
(t) + P
e
(t)A
T
(t) - P
e
(t)D
T
(t) (R
(2)
(t))
-1
D(t)P
e
(t) +
+
ψ(t)R
(1)
ψ
T
(t), t ≥ t
0
(4.137)
с начальным условием
P
e
(t
0
) = R
(0)
. (4.138)
Начальное условие для наблюдателя (4.134) должно быть выбрано в виде
()
$
xt
0
=
()0
x
. (4.139)
Наблюдатель (4.134), у которого матрица
K(t) и начальные условия опреде-
ляются соотношениями (4.136) - (4.139), часто называют фильтром Калмана-
Бьюси по имени авторов этих соотношений.
84
В стационарном случае уравнения (4.129), (4.130) принимают вид
&
x
= Ax + Bu + ψf, y=Dx + v, (4.140)
где случайные процессы
f(t), v(t), типа «белый шум» характеризуются постоянны-
ми корреляционными матрицами
R
(1)
и R
(2)
.
Матрица
K оптимального наблюдателя
$
&
x
= A
$
x
+ К[y - D
$
x
] + Bu (4.141)
определяется как
K = P
e
D
T
(R
(2)
)
-1
, (4.142)
где
P
e
- матрица чисел размерности (n x n) есть решение алгебраического уравне-
ния
AP
e
+ P
e
A
T
- P
e
D
T
(R
(2)
)
-1
DP
e
+ ψR
(1)
ψ
T
= 0, (4.143)
которое находится как установившееся решение дифференциального уравнения
(4.137) (в котором
A(t) = A, D(t) = D, R
(1)
(t) = R
(1)
, R
(2)
(t) = R
(2)
) при t→∞. Та-
кой наблюдатель является оптимальным в смысле функционала
J = lim
t→∞
M{e
T
(t)Λe(t)}. (4.144)
Отметим, что, как и в нестационарном случае, матрица
K не зависит от выбо-
ра матрицы
Λ функционала оптимизации.
Возвращаясь к задаче оптимального стохастического управления при непол-
ной информации о векторе переменных состояния, отметим, что ее решение явля-
ется комбинацией решения задачи оптимального стохастического управления при
полной информации о векторе переменных состояния и решения задачи опти-
мального наблюдения. Сформулируем этот результат в виде теоремы.
Теорема 4.1.
(теорема разделения). Оптимальное в смысле функционала
(4.133) стохастическое управление объектом (4.129), (4.130) имеет вид
U = C
T
(t)
$
()
x
t
, (4.145)
где C
T
(t) - матрица коэффициентов усиления, определяемая соотношениями
(4.121) - (4.123), которые получены для оптимального в смысле функционала
(4.133) стохастического управления при полностью измеряемом векторе состоя-
ния объекта (4.129); вектор
$
()
x
t - это n-мерный вектор переменных состояния оп-
тимального в смысле функционала (4.135) наблюдателя (4.134), матрица
K(t) ко-
эффициентов усиления которого определяется выражениями (4.136),(4.137).
85
ГЛАВА 5
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ В АСУТП
5.1. Введение
Эффективное управление технологических процессов с использованием мето-
дов теории автоматического управления (ТАУ) возможно лишь тогда, когда извест-
но математическое описание этого процесса. Поэтому построение математического
описания - идентификация технологического процесса - это важнейший этап созда-
ния любой автоматизированной или автоматической системы управления техноло-
гическим процессом.
Выбор характера математического описания, т.е. вида модели, зависят от при-
роды самого процесса и от решаемой задачи управления. Так, модель процесса
можно задать в виде таблицы, связывающей входные и выходные переменные, опи-
сать функциональными зависимостями, дифференциальными уравнениями, переда-
точными функциями и т.п. В каждом случае методы получения математического
описания
оказываются различными. Однако различие методов идентификации этим
не исчерпывается.
86
Методы идентификации технологических процессов различаются, кроме того, в
зависимости от наличия той или иной априорной информации о процессе, а также
делятся на активные и пассивные. Активные методы идентификации основаны на
проведении специальных заранее спланированных экспериментов, позволяющих
проводить целенаправленное изучение исследуемых свойств процесса. Пассивные
методы предполагают изучение технологического процесса в режиме нормальной
работы. При этом увеличивается время, необходимое для сбора экспериментальных
данных, достаточных для построения адекватной модели процесса, однако снижа-
ются затраты на проведение эксперимента. Кроме того, при использовании пассив-
ных методов оказывается возможным использовать архивный материал. Как пока-
зывает опыт, пассивные методы идентификации технологических процессов на
действующих производствах с экономической точки
зрения более предпочтитель-
ны.
Для управления технологическим процессом необходимо знать, как влияет то
или иное входное воздействие, управляющее процессом, на выходную переменную,
характеризующую его протекание.
Поэтому идентификация процесса сводится к построению математического
описания зависимости между этими величинами, которое состоит из двух этапов.
Первоначально необходимо определить характер искомой зависимости и вид ее ма-
тематического описания, а затем найти конкретные значения параметров такого
описания. Первый этап обычно называется структурной идентификацией, а второй -
параметрической.
Исходными данными для построения математической модели технологическо-
го процесса могут служить как теоретические представления о природе физических
явлений, происходящих при протекании этого процесса, так и экспериментально
измеряемые зависимости между входными и выходными переменными. В принци-
пе каждый из этих подходов может использоваться для идентификации процесса.
Однако использование только теоретического подхода осложнено
тем, что на прак-
тике, как правило, оказывается невозможным учесть все многообразие реально дей-
ствующих на процесс факторов. В то же время идентификация процесса только на
основании экспериментальных данных оказывается весьма сложной с вычисли-
тельной точки зрения. Поэтому при идентификации технологических процессов це-
лесообразно комплексное использование всей имеющейся информации о
процессе,
причем теоретические представления следует относить к структурной идентифика-
ции. При этом оцениваются динамические свойства процесса, его линейность, ста-
ционарность и др., на которых основывается выбор вида математического описа-
ния. Экспериментальные данные используются для параметрической идентифика-
ции.
При разработке систем управления технологическими процессами в основном
приходится рассматривать задачи параметрической идентификации. Поэтому изло-
жим лишь ряд методов параметрической идентификации, наиболее пригодных для
построения модели технологических процессов на действующих производствах.
5.2. Статистическая идентификация динамического
объекта в частной области
Рассмотрим схему на рис.5.1.
87
X(t) Y(t)
W(j
ω)
S
x
(ω) S
y
(ω)
Рис.5.1
Здесь W(j
ω) - частотная характеристика динамического объекта; X(t) - случайный
стационарный сигнал на входе объекта; Y(t) - случайный стационарный сигнал на
выходе объекта; S
x
(ω), S
y
(ω) - двухстороннее спектральные плотности сигналов
X(t) и Y(t). Сигналы X(t), Y(t) имеют нулевое математическое ожидание.
Первый способ
решения задачи статистической идентификации динамического
объекта заключается в следующем. Известны вероятностные характеристики слу-
чайных процессов X(t), Y(t), например их спектральные плотности S
x
(ω), S
y
(ω).
Требуется определить частотную характеристику W(j
ω), передаточную функцию
W(s) динамического объекта. Кроме того требуется определить дифференциальные
уравнения, описывающие работу динамического объекта.
Известно, что спектральные плотности S
x
(ω), S
y
(ω) связаны соотношением
S
y
(ω) = ⏐W(jω)⏐
2
⋅ S
x
(ω), (5.1)
где
⏐W(jω)⏐
2
- квадрат модуля частотной характеристики.
Из соотношения (5.1) имеем
⏐W(jω)⏐
2
=
y
x
S
S
()
()
ω
ω
, (5.2)
где
⏐W(jω)⏐
2
= W(jω) ⋅ W(-jω). (5.3)
Из соотношений (5.2), (5.3) получим
W(j
ω) ⋅ W(-jω) =
y
x
S
S
()
()
ω
ω
. (5.4)
С использованием формулы (5.4) определяется W(j
ω).
Передаточная функция W(s) определяется соотношением
W(s) = W(j
ω)
js
ω
=
. (5.5)
Введем оператор дифференцирования
P
d
dt
≡ . Заменяя S на P получим
W(P) =
Yt
Xt
()
()
(5.6)
или
Y
tW
P
X
t() ( ) ()= . (5.7)
88
Из соотношений (5.6) или (5.7) определяем дифференциальное уравнение, описы-
вающее динамический объект.
Пример5.1.
Дано
S
x
(ω) =
1
2
π
; S
y
(ω) =
2
1
2
22
δα
π
αω
x
⋅
+
.
Определить: 1) W(j
ω) = ?
2) W(s) = ?
3)
Определить дифференциальное уравнение, описывающее ди-
намический объект.
Решение.
Из (5.4) имеем
W(j
ω) ⋅ W(-jω) =
4
2
22
δα
αω
x
+
.
Перепишем это соотношение в виде
W(j
ω) ⋅ W(-jω) =
4
2
δα
ωα
x
j +
⋅
4
2
δα
ωα
x
j−+
,
откуда
W(j
ω) =
4
2
δα
ωα
x
j +
=
2
δα
ωα
x
j +
.
Определим W(s). Получим
W(s) = W(j
ω)
js
ω
=
=
2
δα
α
x
S +
.
Определим W(P). Имеем
W(P) = W(s)
SP=
=
2
δα
α
x
P +
.
Из (5.6) получим
W(P) =
Yt
Xt
()
()
=
2
δα
α
x
P +
.
или
( ) () ().PYt Xt
x
+=⋅
αδα
2
Так как
PY t
dY t
dt
()
()
,= то окончательно имеем
dY t
dt
Yt
()
()+=
α
2
δα
x
Xt⋅ ( ). (5.8)
Соотношение (5.8) есть искомое дифференциальное уравнение, описывающее
89
динамический объект.
Второй способ
решения задачи статистической идентификации динамического
объекта заключается в использовании формулы
W(jω) =
yx
x
S
S
()
()
,
ω
ω
(5.9)
где S
yx
(x) - двухсторонняя взаимная спектральная плотность случайных про-
цессов X(t), Y(t).
Пример 5.2
Дано
S
x
(ω) =
A
α
π
αω
⋅
+
1
22
;
S
yx
(ω) = B
jj
⋅
+
⋅
−⋅+
α
β
παωβω
2
1
()()
.
Определить: 1) W(j
ω) = ?
2) W(s) = ?
3)
Определить дифференциальное уравнение, описывающее ди-
намический объект.
Решение
. Запишем S
x
(ω) в виде
S
x
(ω) =
A
α
π
⋅
1
()()
.
αωαω
+−jj
Тогда соотношение (5.9) примет вид
W(j
ω) =
B
jj
A
jj
⋅
+
⋅
−⋅+
⋅
+−
α
β
παωβω
α
παωαω
2
1
1
()()
()()
или
W(j
ω) =
B
A
j
j
⋅
+
⋅
+
+
α
β
α
α
ω
βω
2
.
Определим W(s). Получим
W(s) = W(j
ω)
js
ω
=
=
B
A
S
S
⋅
+
⋅
+
+
α
β
α
α
β
2
..
Определим W(P). Имеем
W(P) = W(s)
SP=
=
B
A
P
P
⋅
+
⋅
+
+
α
β
α
α
β
2
..
Из (5.6) получим
W(P) =
Yt
Xt
()
()
=
B
A
P
P
⋅
+
⋅
+
+
α
β
α
α
β
2
.
90
или
( ) ( )
PYt
+
=
β
B
A
PXt
⋅
+
+
α
β
α
α
2
()().
Так как
P
d
dt
≡ ,
то окончательно получим
dY t
dt
Yt
()
()
+=
β
B
A
dx t
dt
Xt
⋅
+
⋅+⋅
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
αβ
α
α
2
()
( ) . (5.10)
Соотношение (5.10) есть искомое дифференциальное уравнение, описывающее ди-
намический объект .
Рассмотрим третий способ
решения задачи статистической идентификации ди-
намического объекта (способ Райбмана). Пусть K
x
(t) - корреляционная функция
случайного процесса X(t) на входе объекта; K
yx
(t) - взаимная корреляционная
функция случайных процессов X(t) и Y(t). Представим K
x
(t) и K
yx
(t) в виде
x
x
x
K
K
K
t
tt
tt
()
(),
(),
=
≥
<
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
+
−
0
0
(5.11)
yx
yx
yx
K
K
K
t
tt
tt
()
(),
(),
=
≥
<
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
+
−
0
0
. (5.12)
Тогда передаточная функция W(s) динамического объекта будет определятся
соотношением [12]
W(s) =
yx yx
xx
KK
KK
SS
SS
+−
+−
−
−
() ()
() ()
,
(5.13)
где
yx yx
KK
sL t
++
=() { ()};
yx yx
KK
sL t
−−
=() { ()};
(5.14)
xx
K
K
sL t
++
=( ) { ( )};
xx
K
K
sL t
−−
=() { ()};
Здесь L{...}- преобразование Лапласа выражения в фигурных скобках.
Пример 5.3.
По результатам обработки реализации входного случайного про-
цесса X(t) корреляционная функция аппроксимирована следующей формулой:
x
t
K
tAe() ,=⋅
−
α
(5.15)
где А и α принимают положительные значения: А>0, α>0. Согласно (5.11) корре-
ляционная функция K
x
(t) может быть представлена в виде
x
x
t
x
t
K
KAe
KAe
t
tt
tt
()
() ,
() ,
=
=≥
=≤
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
+−
−
α
α
0
0
. (5.16)