Гаспер Б.С., Липатов И.Н. ИВС и АСУТП. Учебное пособие
Подождите немного. Документ загружается.
101
В (5.54) предполагается, что U
N
(
ω
) ≠ 0. Если для каких-то частей это не так,
считаем для них эмпирическую оценку передаточной функции ОУ(ТП) неопреде-
ленной.
Эмпирическую оценку передаточной функции ОУ(ТП) можно интерпрети-
ровать как способ (приближенного) решения относительно g
0
(k) (k = 1, 2, ..., N)
системы уравнений
yt g kut k
k
N
() ( ) ( )=−
=
∑
0
1
, t = 1, 2, ..., N (5.58)
с использованием преобразования Фурье.
5.7. Частотный анализ корреляционным методом
Рассмотрим систему, описываемую соотношением вида
yt g kut k vt
k
() ( ) ( ) ()=−+
=
∞
∑
0
1
. (5.59)
Удобно ввести сокращенное обозначение для суммы, фигурирующей в формуле
типа (5.59). Введем оператор сдвига вперед q:
qu(t) = u(t+1),
и оператор сдвига назад q
-1
q
-1
u(t) = u(t-1).
Можно переписать формулу (5.59) в виде
),()()()()()(
)())()(()()()()(
0
1
0
1
0
1
0
tvtuqGtvtuqkg
tvtuqkgtvktukgty
k
k
k
k
k
+=+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
=+=+−=
∑
∑∑
∞
=
−
∞
=
−
∞
=
(5.60)
где используется обозначение
Gq gkq
k
k
00
1
() ()=
−
=
∞
∑
.
Будем называть G
0
(q) истинной передаточной функцией системы вида
yt g kut k
k
() ( ) ( )=−
=
∞
∑
0
1
, t = 0, 1, 2, ... (5.61)
Формула (5.60) описывает связь последовательности y
t
с последовательностями u
t
,
v
t
, где
y
t
= (y(1), y(2), ..., y(t));
u
t
= (u(1), u(2), ..., u(t)); (5.62)
v
t
= (v(1), v(2), ..., v(t));
Представим себе, что на вход системы (5.59) поступает гармонический сигнал
u(t) =
α ⋅ cos(
ω
t), t = 0, 1, 2, ... (5.63)
Этот сигнал удобно представить в виде
ut
it
() Re( )=⋅
α
ω
l ,
где Re обозначает вещественную часть числа. В силу (5.59) соответствующий вы-
ходной сигнал можно записать как
102
[]
),()cos()(
)()(Re)()(Re
)()(Re)()Re()()(
0
0
1
0
1
)(
0
1
)(
0
tvtG
tvGtvkg
tvkgtvkgty
i
iti
k
kiti
k
kti
k
kti
++=
=+⋅=+⋅
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
=+⋅
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=+⋅=
∑
∑∑
∞
=
−
∞
=
−
∞
=
−
ϕωα
αα
αα
ω
ωωωω
ωω
l
llll
ll
(5.64)
где
[
]
ϕ
ω
= arg ( )G
i
0
l . (5.65)
Здесь arg(z) - аргумент комплексного числа z.
В связи с присутствием в (5.64) шумовой составляющей v(t) точное опреде-
ление
G
i
0
()l
ω
и
ϕ
графическими методами может быть затруднительным. По-
скольку интересующая нас составляющая выходной переменной y(t) является ко-
синусоидальной функцией известной частоты, возможен следующий корреляци-
онный способ устранения шума. Образуем суммы
IN
N
yt t
IN
N
yt t
c
t
N
s
t
N
() ()cos( ),
() ()sin( ).
=
=
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
=
=
∑
∑
1
1
1
1
ω
ω
(5.66)
Подставляя (5.64) в (5.66), получаем
IN G G
N
t
N
vt t
c
ii
t
N
t
N
() ( )cos() ( ) cos( )
() cos( ).
=+ ++
+⋅
=
=
∑
∑
α
ϕα ωϕ
ω
ωω
2
1
2
2
1
00
1
1
ll
(5.67)
Второе слагаемое в (5.67) стремится к нулю при N → ∞. Также стремится к нулю
третье слагаемое, если v(t) не содержит число периодической составляющей час-
тоты
ω
.
Аналогично
IN G G
N
t
N
vt t
s
ii
t
N
t
N
() ( )sin() ( ) sin( )
() sin( ).
=− + + +
+⋅
=
=
∑
∑
α
ϕα ωϕ
ω
ωω
2
1
2
2
1
00
1
1
ll
(5.68)
Выражения (5.67), (5.68) приводят к следующим оценкам величин
G
i
0
()l
ω
и
ϕ
:
$
()
() ()
G
IN IN
N
i
cS
l
ω
α
=
+
22
2
, (5.69)
[]
$
arg
$
()
()
()
YG arctg
IN
IN
NN
i
s
c
==
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
l
ω
. (5.70)
Повторяя процедуру для нескольких частот, можно получить хорошую картину
изменения G
i
0
()l
ω
в интересующей области частот. Основным недостатком явля-
ется то, что многие промышленные процессы не позволяют использовать сину-
соидальное входное воздействие в режиме нормальной работы. Кроме того, необ-
103
ходимость повторения процедуры для набора частот приводит к увеличению вре-
мени эксперимента.
5.8. Статическая задача идентификации для системы с несколькими входами
и одним выходом
Рассмотрим линейную статическую систему, представленную на рис.5.5,
имеющую m входов U
1
,...,U
m
, и один выход X.
процесс
U
1
U
2
U
m
X
Рис. 5.5.
Эта система может быть описана следующим линейным уравнением
X = a
0
+ a
1
U
1
+ a
2
U
2
+...+ a
m
U
m
. (5.71)
Используя серию измерений величин X, U
j
(j = 1,2, ..., m) в r моментов вре-
мени, можно определить параметры a
i
следующим образом. Сначала вводят в па-
мять ЦВМ все r совокупностей измерений величин X и U
j
. Далее эти r совокупно-
стей измерений используют для вычисления
X
иU , где
X
- среднее значение X,
U - среднее значение U для указанной серии измерений. Обозначим
x = X -
X
, (5.72)
u = U -
U . (5.73)
При этом уравнение (5.71) принимает вид
x = a
1
u
1
+ a
2
u
2
+ ... + a
m
u
m
(5.74)
или в векторной форме
x =
u
T
a , (5.75)
где
u, a - вектор-столбцы с элементами u
j
, a
j
соответственно, т.е.
u =
u
u
u
m
1
2
K
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
;
a =
a
a
a
m
1
2
K
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
.
Поэтому r последовательных измерений удовлетворяют соотношениям
x
T
() ()11
=⋅ua,
...
x
T
() ()
μμ
=⋅ua, (5.76)
...
x
rr
T
() ()
=⋅ua,
где
μ
обозначает момент измерений x, u
T
(
μ
= 1,2, ..., r). Определим далее вектор X
и матрицу
U следующим образом:
X = [x
(1)
, ..., x
(
μ
)
, ... ,x
(r)
]
T
, (5.77)
104
U =
u
u
u
uuu
uu
uu
()
()
()
() () ()
(()
() ()
)
1
11 1 1
1
1
T
T
r
T
jm
m
rmr
K
K
KK
K
KKK
K
KKKK
μμ μ
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
. (5.78)
Следовательно, система уравнений (5.76) может быть записана в векторной
форме:
X = U ⋅ a . (5.79)
Предполагая, что компоненты вектора
a в уравнении (5.79) являются оцен-
ками
)
a истинного вектора a, можно с помощью уравнения (5.79) получить такие
оценки
$
X
вектора X, что
$
$
X
=
U
a
⋅
. (5.80)
Скалярную сумму S квадратических ошибок оценивания можно определить сле-
дующим образом:
Str
TT
=− − = − −(
$
)(
$
)[(
$
)(
$
)]XUa XUa XUa XUa, (5.81)
где tr[...] обозначает след матрицы [...]. Таким образом, наилучшая (в смысле наи-
меньших квадратов) оценка вектора
a должна удовлетворять соотношению
∂
∂
S
a
i
$
= 0,
∀
∈
im(, )1 , (5.82)
или в векторной форме
[]
[
]
∂
∂
∂
∂
∂
∂
S
TTTTTT
$
(
$
)(
$
)
$
$$ $ $
$
.
a
tr X Ua X Ua
a
tr XX Uaa U UaX Xa U
a
T
=
−−
=
+−−
= 0 (5.83)
Уравнение (5.83) преобразуется к виду
[]
∂
∂
tr XX Uaa U UaX Xa U
a
UUa UX UX
UUa UX
T
+−−
=+ − − =
=−=
$$ $ $
$
$
(
$
).
TT T TT
TTT
TT
02
20
(5.84)
Поэтому наилучшая в смысле наименьших квадратов оценка
$
a
*
вектора a удов-
летворяет уравнению
U
U
a
U
X
*TT
$
=
, (5.85)
так что
[
]
$
()
$
,
$
,...,
$
** *
aUUUX=
*
=
−TT
m
T
aa a
1
12
, (5.86)
что и позволяет построить процедуру идентификации вектора a на основе линей-
ной регрессии и метода наименьших квадратов. Отметим, что матрица (U
T
U)
-1
су-
ществует только тогда, когда матрица U не является особой.
Для применения метода наименьших квадратов должно выполнятся усло-
вие
r >> m.
105
5.9. Статическая задача идентификации для системы с несколькими
входами и несколькими выходами
Процесс, имеющий m входов и n выходов (рис.5.6) по аналогии с процес-
сом с одним выходом может быть описан следующей системой уравнений:
x
1
= a
11
u
1
+ ... + a
1j
u
j
+ ... + a
1m
u
m
,
...
x
i
= a
i1
u
1
+ ... + a
ij
u
j
+ ... + a
im
u
m
, (5.87)
...
x
n
= a
n1
u
1
+ ...+ a
nj
u
j
+ ... + a
nm
u
m
,
или в векторной форме
x = Au , (5.88)
где
x = (x
1
... x
i
... x
n
)
T
, (5.89)
u = (u
1
... u
j
... u
m
)
T
(5.89)
и
A =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
aa
aa
m
nnm
11 1
1
K
M
K
. (5.91)
процесс
U
1
U
2
U
m
X
1
X
2
X
n
Рис. 5.6.
Каждая строка в уравнениях (5.87) или (5.88) имеет точно такой же вид, как и в
уравнениях (5.74) или (5.75) для систем с одним выходом. Следовательно можно
записать i-ю строку уравнения (5.87) следующим образом:
x
i
= u
T
a
i
, (5.92)
где
a
i
= [a
i1
a
i2
...a
ij
..a
im
]
T
. (5.93)
Подобно процессу с одним выходом для r измерений (r ≥ m + 1), величины x
i
, u
j
(i
= 1,...,n; j = 1,...,m) определим в виде
X
i
i
i
ir
x
x
x
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
()
()
()
1
K
K
μ
, (5.94)
U
U
U
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
uu
uu
uu
m
m
rmr
T
r
T
11 1
1
1
1
() ()
() ()
() ()
()
()
K
K
K
K
K
K
μμ
. (5.95)
106
Индекс в скобках (
μ
) означает
μ
-ю совокупность измерений (
μ
= 1,2, ..., r), а u - то
же самое, что и в уравнении (5.78). Поэтому указанные выше r измерений удовле-
творяют для i-го выхода соотношениям
x
x
x
i
T
i
i
T
i
ir r
T
i
() ()
() ()
() ()
,
,
,
11
=
=
=
ua
ua
ua
K
K
μμ
(5.96)
или в матричной форме
x
i
= Ua
i
. (5.97)
Поскольку уравнения (5.96), (5.97) аналогичны уравнениям (5.76) и (5.79)
для системы с одним выходом, то наилучшие в смысле регрессии по методу наи-
меньших квадратов оценки
$
*
a
i
параметров a
i
∀i удовлетворяют соотношению
$
() (
$$ $
)
****
aUUUX
i
TT
iiimi
aa a=⋅=
−1
12
K . (5.98)
Следовательно, вывод уравнения (5.98) идентичен выводу уравнения (5.86), если
все a, X в уравнениях (5.79)-(5.86) заменить на a
i
, X
i
[a
i
и X
i
определяется уравне-
ниями (5.93) и (5.94)].
5.10. Регрессионная идентификация линейных динамических процессов
Линейные динамические системы можно описать следующим уравнением
состояния:
&
x
ax bu
=
+
, (5.99)
где x, u - n-мерный вектор состояния и m-мерный вектор управления (вход) соот-
ветственно. В дискретной форме уравнение (5.99) может быть записано так:
x
k+1
=Ax
k
+ Bu
k
, (5.100)
где x
k
= x(t
k
); t
k
= k
Δ
t и
AI=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
≈+ ⋅
aa
aa
t
n
nnn
11 1
1
K
K
K
Δ
α
,
B =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
≈⋅
bb
bb
t
m
nnm
11 1
1
K
K
K
Δ
β
.
Введем теперь
W
kknkkmk
T
knmk
T
xxuu ww==≡
+
(; )( )
,,, , , ,11 1
KK K
≡ (n + m) ⋅ единичный вектор, (5.101)
107
Ф =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
aabb
aabb
nm
nnnnnm
T
n
T
11 1 11 1
11
1
KK
K
KK
K
,
,
()
()
Φ
Φ
. (5.102)
Следовательно уравнение (5.100) запишется в виде
X
k+1
=
Φ
⋅ W
k
, (5.103)
что аналогично уравнению (5.88) из раздела 5.9. Если запоминать r единовремен-
ных совокупностей измерений (r ≥ n + m + 1) величин X
k+1
, W
k
(т.е. X
k+1
, X
k
, U
k
), то
элементы матрицы
Φ
можно идентифицировать с помощью линейной регрессион-
ной процедуры по методу наименьших квадратов из раздела 5.8 и 5.9. Следова-
тельно, оценка
$
*
Φ
i
i-ой строки матрицы
Φ
(i = 1,...,n) по методу наименьших
квадратов задается соотношением
()
[]
$
() () [ , ]
*
,,,,,
Φ
i
T
k
T
kk
T
ik i ni i mi
aabb=⋅=
−
+
WW W X
1
11 1
KK, (5.104)
где по аналогии с уравнением (5.95)
W
k
kmnk
rk mnrk
knk kmk
rk nrk rk mrk
ww
ww
xxuu
xxuu
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
+
+
11 1
1
11 1 11 1
11
() ()
() ()
() () () ()
() () () ()
,
,
K
K
K
KK
K
KK
, (5.105)
[
]
X
ik i k i k i r k
T
xx x
, ()()()++++
=
111 1 1
KK
μ
. (5.106)
Здесь x
i(
μ
)k+1
означает
μ
-е измерение i-го состояния x
k+1
(
μ
= 1,2, ..., r), а r - число
измерений W
k
, x
k+1
. Видно, что для идентификации
Φ
необходимо запомнить r ве-
личин x
k+1
и r единовременных совокупностей измерений векторов x
k
, u
k
, принад-
лежащих к предыдущему промежутку интегрирования
Δ
t (обозначенных через
w
k
). Вообще, для идентификации A,B в соответствии с уравнением (5.104) требу-
ется запомнить 2r измерений x и r измерений u.
5.11. Статическая идентификация. Рекуррентные формулы
Рассмотрим систему со многими параметрами, задаваемую уравнением
x
k
= a
1
u
1,k
+ a
2
u
2,k
+ ... + a
m
u
m,k
+ n
k
, (5.107)
где a
i
(i = 1, ..., m) - требующие идентификации неизвестные параметры, x
k
- выход
системы на k-ом измерительном интервале (x
k
= x(t
k
); t
k
= k
Δ
t), u
i,k
- i-й вход систе-
мы на этом же интервале, а n
k
- шум измерения.
Уравнение (5.107) может быть записано в векторной форме
x
k
= a
T
u
k
+ n
k
, (5.108)
где
a
T
= [a
1
, ...., a
m
], (5.109)
u
k
= [u
1,k
, ..., u
m,k
]
T
.
(5.110)
Оценивание вектора параметров a осуществляется таким образом, чтобы оценка
$
a
r
минимизировала критерий J
r
вида
Jqx
rkkr
T
k
k
r
=−
=
∑
(
$
)au
2
1
, (5.111)
где q
k
- произвольный весовой коэффициент, например q
k
= 1. Введение q
k
> 1 в
уравнение (5.111) может служить для увеличения веса последних измерений.
108
Здесь r означает число измерений. Следовательно оценка
$
a
r
должна удовлетво-
рять уравнению
∂
∂
J
r
$
a
r
= 0 , (5.112)
так что
qqx
kkk
T
k
r
kkk
k
r
uu a u
r
==
∑∑
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
11
$
. (5.113)
Введем обозначение
Puu
rkkk
T
k
r
q
−
=
=
∑
1
1
( ) . (5.114)
Матрица
P
r
−1
обратима только при r ≥ m, где m - размерность u, а r - число рас-
сматриваемых измерений. При этом уравнение (5.113) принимает вид
Pa u
rrkkk
k
r
qx
−
=
=
∑
1
1
$
, (5.115)
откуда
$
aP u
rr
=
=
∑
qx
kkk
k
r
1
. (5.116)
Последнее выражение представляет собой обыкновенную оценку вектора
a
с помощью линейной регрессии, которая совпадает с регрессионной оценкой из
раздела (5.8). Отметим, что хотя произведение
uu
kk
T
является вырожденным, мат-
рица
P
r
−1
из (5.114) не вырождена из-за суммирования по k. Уравнение (5.115)
может быть записано в виде
Pa u u
rrkkk
k
r
rrr
qx qx
−
=
−
=+
∑
1
1
1
$
. (5.117)
Поскольку из уравнения (5.113) следует
qx q
kkk
k
r
kkk
T
k
r
uuua
r-1
=
−
=
−
∑∑
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
1
1
1
$
, (5.118)
можно подставить выражение для qx
rrr
k
r
u
=
−
∑
1
1
из уравнения (5.118) в уравнение
(5.117), что дает
Pa uu a u
rk
T
r-1rkk
k
r
rrr
qqx
−
=
−
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
∑
1
1
1
$$
. (5.119)
Прибавляя и вычитая
[]
q
rr
uu a
r
T
r-1
$
в правой части уравнения (5.119), получаем
Pa uu a u ua uua
uu a u ua
rk
T
r-1 r-1 r-1
k
T
r-1 r-1
rkk
k
r
rr r r
T
rrr
T
kk
k
r
rr r r
T
qqxq
qqx
−
=
−
=
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+−+ =
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+−
∑
∑
1
1
1
1
$$
(
$
)
$
$
(
$
).
(5.120)
С учетом определения
P
r
−1
по уравнению (5.114) уравнение (5.120) принимает вид
Pa Pa u ua
rr-1 r-1rr rrrr
T
qx
−−
=+−
11
$$
(
$
) , (5.121)
что дает
$$
(
$
)aa Pu ua
rr-1r r-1
=+ −qx
rr r r
T
. (5.122)
109
Следовательно, оценка
$
a
r
может быть рекуррентно получена по предыду-
щей оценке
$
a
r −1
и по измерениям и весовым коэффициентам x
r
, u
r
, q
r
при условии,
что матрица
P
r
также получена последовательно. Далее в соответствии (5.114) по-
лучаем уравнение
Puuuu uu
rkkk
T
rrr
T
rrrr
T
k
r
qqPq
−
−
−
=
−
=+=+
∑
1
1
1
1
1
( ) . (5.123)
Выражение для
P
r
−1
(5.123) требует обратимости матрицы P
r
. Должно быть
также известно начальное значение матрицы
P
0
. Однако для упрощения рекур-
рентного вычисления
P
r
можно воспользоваться леммой об обращении матриц [
16 ]. Если
PPHH
rr rr
T
−
−
−
=+
1
1
1
, (5.124)
то
PP PH HPH HP
rr-1r-1 r-1 r-1
=− +
−
rr
T
rr
T
()1
1
. (5.125)
Чтобы воспользоваться леммой об обращении матриц, преобразуем урав-
нение (5.123) к уравнению вида (5.124). Введем матрицу
H
r
вида
Hu
rrr
q=⋅, (5.126)
так что
HH uu
rr
T
rrr
T
q= . (5.127)
Уравнение (5.123) с учетом (5.127) примет вид
PPHH
rr rr
T
−
−
−
=+
1
1
1
. (5.128)
Уравнение (5.128) совпадает с уравнением (5.124). Следовательно, для вычисле-
ния матрицы
P
r
по рекуррентной формуле используем уравнение (5.125). По-
скольку 1
1
+
−
HP H
r
T
rr
- скаляр, при получении P
r
по рекуррентному соотношению
(5.125) обращения матриц не требуется.
Начальная оценка
P может быть произвольной. Однако для улучшения
сходимости целесообразно использовать
P
0
и
$
a
0
вида [15]
PI
0
1
=
ε
;
$
a
0
=
0 , (5.129)
где ε = 10
-1
÷10
-5
.
5.12. Регрессионная идентификация нелинейных процессов
5.12.1.Представление с помощью неортогональных полиномов
Как статические, так и динамические процессы могут обладать нелиней-
ными характеристиками, которые нельзя игнорировать. Если тип нелинейной
функции неизвестен, то аппроксимация истинной нелинейности может быть вы-
полнена, например, с помощью полиномов. Для описания методов идентификации
нелинейных процессов с помощью регрессии рассмотрим аппроксимацию поли-
номом третьего порядка, имеющего две переменные состояния
x
1
, x
2
и одну управ-
ляющую переменную u:
x axaxaxbx
bx bx cu cu cu
ik ik ik ik ik
ik ik ik ik ik
,,,,,
,,
+
=++++
+++++
111 21
2
31
3
12
22
2
32
3
12
2
3
3
при i =1,2 (5.130)
Отметим, что в соответствии с теоремой Вейерштрасса непрерывные нелинейные
110
функции x могут быть аппроксимированы полиномами x, такими, которые сходят-
ся к исходным функциям. Для того, чтобы облегчить применение процедуры рег-
рессионной идентификации к процессу (5.130) введем векторы
z и
α
i
:
z ==[][ ]zzzzzzzzz xxxxxxuuu
T
kkkkkkkkk
T
123456789 1 1
2
1
3
22
2
2
323
, (5.131)
α
iii
T
ii iiiiiii
T
aaabbbccc==()( )
,,
αα
19 123123123
K
. (5.132)
С учетом (5.131), (5.132) уравнение (5.130) можно записать в виде
x
ik
T
i, +
=⋅
1
z
α
, (5.133)
что полностью аналогично уравнениям (5.74) и (5.75) из разд.5.8 и, следовательно,
является формой линейной регрессии. Элементы
α
полиномиального выражения
третьего порядка, образованного по методу наименьших квадратов и используе-
мого для аппроксимации данного процесса, вычисляются с помощью формул
(5.74)-(5.86). В этих формулах
x, u и a заменяются соответственно на x
i,k+1
, z и
α
i
из уравнений (5.131)-(5.133).
Если рассматривается аппроксимация с помощью полиномов более высо-
кого порядка, чем в уравнении (5.130), то применяется тот же подход, что и в
уравнениях (5.130)-(5.133), но с использованием большего числа членов.
Этот подход, очевидно, применим также к статическим процессам [т.е. ко-
гда индексы
k, k+1 в уравнении (5.130) опускаются]. Указанный подход может
быть использован в принципе для большего числа переменных, чем имеется в
(5.130). По аналогии со случаями линейной регрессии (разд.5.8-5.10) потребуем,
чтобы число измерений составляло
r ≥
ω
+1, где
ω
соответствует размерности z в
уравнении (5.131), что облегчает определение
α
i
в уравнении (5.133).
5.12.2.Представление с помощью ортогональных полиномов
Из множества полиномиальных выражений, используемых для аппрокси-
мации нелинейных процессов, особого внимания заслуживают ортогональные по-
линомы. Эти полиномы обладают рядом свойств, некоторые из которых обсужда-
ются ниже.
1.
Благодаря свойству ортогональности, вычисление коэффициентов полиноми-
ального уравнения, аппроксимирующего нелинейный процесс, осуществляется
быстрее, чем для неортогональных полиномов.
2.
Коэффициенты полиномиального аппроксимирующего уравнения не зависят от
порядка исходного полиномиального уравнения; следовательно, при отсутствии
априорной информации о порядке полинома, можно проверить несколько поряд-
ков, причем все коэффициенты, полученные при низшем порядке, остаются дейст-
вительными и для высшего. Это свойство наиболее важно при выборе наилучшего
порядка аппроксимирующего полинома.
Чтобы проиллюстрировать метод
идентификации нелинейных процессов с
помощью аппроксимирующих ортогональных полиномов, рассмотрим следующее
аппроксимирующее уравнение относительно
$
y и x для одномерной системы:
$
() () () ()yx bF x bF x bF x
mm
=
+
+
+
00 11
K . (5.134)
Здесь
x,
$
y обозначают входную и оцениваемую выходную переменные нелинейно-
го процесса соответственно. В данном случае
F
v
(x) обозначает ортогональный по-
лином порядка
v (v = 1, ...., m), обладающий свойством ортогональности, т.е.