Гаспер Б.С., Липатов И.Н. ИВС и АСУТП. Учебное пособие

51

Схема канонической формы реализации приведена на рис. 3.15.

Рис.3.15

Рассмотрим каскадную и параллельную канонические формы реализации.

Передаточная функция P-фильтра – дробно-рациональная функция, представляе-

мая либо в виде произведения, либо в виде суммы дробно-рациональных функций

в общем случае второго порядка. Для реализации P-фильтра в каскадной канони-

ческой форме передаточную функцию изображают

произведением:

Wz A

zz

AHz

ii

i

l

i

l

() ()=

++

=

−−

==

∏∏

1

2

1

2

11

αα

ββ

, (3.45)

где A - коэффициент, в общем случае не равный нулю.

Схема фильтра для этого случая представлена на рис.3.16,а. Каждая пере-

даточная функция H

i

(z) реализуется биквадратным блоком (рис.3.16,б), числитель

и знаменатель передаточной функции которого являются квадратными многочле-

нами.

Рис. 3.16

Параллельную каноническую реализацию можно получить, если переда-

точную функцию P-фильтра разложить на элементарные дроби:

a

0

a

1

a

N-1

-b

1

-b

N-1

z

-1

z

-1

z

-1

u

m

y

m

-b

k

A

H

1

(z)

H

i

(z)

H

l

(z)

a)

u

m

y

m

б)

-

β

1

-

β

2

z

-1

α

1

α

2

z

-1

Вх Вых

52

.)(

1

)(

11

2

1

∑∑

==

−−

−

+=

++

+

+=

l

i

l

i

ii

i

zHA

zz

z

BAzW

ββ

α

(3.46)

Структурная схема фильтра и биквадратного блока для этого случая пред-

ставлена на рис. 3.17, а,в.

Рис. 3.17

Т-фильтры

. Для T-фильтра, описываемого разностным уравнением и пере-

даточной функцией в Z-области

yau

mimi

i

N

=

−

=

−

∑

0

1

; (3.47)

∑

−

=

−

=

1

0

)(

N

i

mi

zazW , (3.48)

можно получить только две основные формы реализации: прямую (которая совпа-

дает с канонической) и каскадную каноническую. Структурная схема Т-фильтра

при прямой (или канонической) форме реализации приведена на рис. 3.18,а.

Рис. 3.18

Для реализации Т-фильтра в каскадной канонической форме передаточную

функцию представляют произведением в общем случае:

A

H

1

(z)

H

i

(z)

H

l

(z)

a)

u

m

y

m

B

Вх

Вых

-

β

1

z

-1

-

β

2

z

-1

α

1

б)

a

0

a)

u

m

y

m

Вх Вых

б)

a

N-2

a

N-1

z

-1

z

-1

α

1

z

-1

z

-1

α

2

53

Wz A z z A H z

ii

i

l

i

l

() ( ) ()=++=

−−

==

∏∏

1

2

11

αα

. (3.49)

Схема фильтра имеет тот же вид, что и схема соответствующего Р-фильтра,

но каждая передаточная функция H

i

(z) в общем случае реализуется квадратичным

блоком (рис.3.18,б).

3.11.Аналитический синтез фильтров методом подбора базиса

Рассмотрим метод аналитического синтеза спектральных ЦФ, основанный

на учете особенностей специально подбираемых СБФ. Этот метод позволяет запи-

сать задачу цифровой фильтрации в терминах выбранных СБФ, что в конечном

счете и обусловливает одну из важных его особенностей - возможность на единой

математической основе строить фильтры с различными критериями оптимизации.

Обратимся к

общей постановке задачи цифровой фильтрации, считая, что

входной сигнал представлен в виде

um gm nm gG m nm

kk

kr

r

() () () () ()=+= +

=−

∑

1

2

, (3.50)

где g

k

- некоторые коэффициенты, подлежащие определению; G

k

(m) - известные

функции времени; n(m) - аддитивная помеха, представляющая собой случайную

функцию времени с известными статистическими характеристиками. Спектр

входного сигнала по некоторой системе ортонормированных функций {

ϕ

α

(i)} за-

писывается выражением

cj

N

uj i i

i

N

αα

ϕ

() ( ) ()=−

=

−

∑

1

0

1

(3.51)

и вследствие свойства аддитивности шума состоит из двух составляющих:

cj cj cj

ααα

() () ()

*'

=+, (3.52)

где

cj

N

gj i i

i

N

αα

ϕ

*

() ( ) ()=−

=

−

∑

1

0

1

, (3.53)

cj

N

nj i i

i

N

αα

ϕ

'

() ( ) ()=−

=

−

∑

1

0

1

,

α

∈

[, ]0

N

. (3.54)

Здесь

cj

α

*

()- спектр полезного сигнала; cj

α

'

()- спектр помехи.

Если СБФ выбрана таким образом, что часть спектральных коэффициентов

при разложении полезного сигнала равна нулю, то данные коэффициенты в соот-

ветствии с выражением (3.52) содержат только шумовую составляющую, и, следо-

вательно, могут быть исключены без искажения полезного сигнала.

При восстановлении сигнала по оставшемуся спектру образуется сигнал

uj i()− , состоящий из той же полезной составляющей и оставшейся не отфильт-

рованной части помехи:

uj i gj i n j i c j j()()() ()()−= −+

′

−=

∑

α

ϕ

. (3.55)

В выражении (3.55) суммирование проводится по номерам неисключенных

спектральных коэффициентов, например, по номерам

α

, принадлежащим области

номеров

α

*

.

Вследствие указанных свойств используемой СБФ сигнал

uj i()− по виду

54

совпадает с полезной составляющей

gj i g jG j i

kk

kr

r

() ()()−= −

=−

∑

1

2

, (3.56)

однако имеет другие коэффициенты [обозначим их через

gj

k

()], которые пред-

ставляют собой оценку искомых параметров g

k

(j) полезного сигнала:

uj i g jG i

k

kr

r

() ()()−=

=−

∑

1

2

. (3.57)

Таким образом, при этом способе преобразования сигнал

uj i()− является

отфильтрованным, с определенной степенью точности аппроксимирующим ис-

следуемый входной сигнала u(j - i). На рис. 3.19 приведена геометрическая интер-

претация процесса аппроксимации полезного сигнала (кривая 1) с наложенным

случайным шумом (кривая 2). Аппроксимирующая функция имеет вид кривой 3.

На рис. 3.20 представлено изображение этого процесса в спектральной области

базиса {

ϕ

α

(i)}, причем не учитываемые коэффициенты условно отмечены «кре-

стиком».

Рис. 3.19 Рис. 3.20

Для определения параметров аппроксимирующей функции (3.57) разложим

сигнал

uj i()− по системе функций {

ϕ

α

(i)}, тогда вследствие их ортогональности

из (3.55) и (3.57) нетрудно получить систему алгебраических уравнений связи

спектров входного и отфильтрованного сигналов

gjL cj

k

kr

r

() ()

αα

=

=−

∑

1

2

,

αα

∈

*

, (3.58)

Здесь индекс

α

имеет значения, принадлежащие области

α

*

, а величина L

k

α

, как и

ранее, представляет собой разложение функции G

k

(i) в базисе {

ϕ

α

(i)}:

L

N

Gi i

k

i

N

αα

ϕ

=

−

∑

1

0

1

() ()

. (3.59)

При заданных функциях G

k

(i) и рассчитанном спектре входного сигнала

c

α

(j), неизвестным в системе (3.58) будут только искомые параметры аппроксими-

рующей функции (3.57). В связи с этим задачу оценки параметров входного сиг-

нала можно свести к решению системы алгебраических уравнений (3.58).

Из возможных структурных организаций системы (3.58), зависящих от ви-

да аппроксимирующих функций и выбранного базиса, практическое значение

0 123 4 N-2 N-1

α

c

α

1

2

3

01234 N-2N-1i

55

имеют системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных и число

уравнений системы превышает число неизвестных.

В первом случае система (3.58) имеет единственное решение

∑

∈

Δ

=

*

)(

αα

α

jc

A

jg

k

, (3.60)

представляющее собой запись уравнения спектральной свертки в базисе {

ϕ

α

(i)},

ядром которой является отношение

A

k

()

α

Δ

(здесь A

k

(

α

) - алгебраические дополне-

ния элементов k-го столбца k-го определителя системы (3.58), а Δ - главный опре-

делитель этой системы). Для некоррелированного шума решение в форме (3.60)

представляет собой решение задачи оптимальной фильтрации (оптимальной в

смысле равенства нулю систематической погрешности и минимума дисперсии

случайных погрешностей).

Во втором случае для решения системы (3.58) используются различные

ме-

тоды, позволяющие получить различные типы фильтрующих алгоритмов. Если

применить к ней известный метод нормальных уравнений Гаусса, то параметры

gj

k

() можно найти из решения эквивалентной системы уравнений, каждое k-е

уравнение которой запишется в виде

gj LL cjL

kk

r

λ

αα

λ

αα

αααα

λ

() ()

**

=

∈∈

=−

∑∑∑

1

2

, k = -r

1

, -r

1

+1,...,0,...,r

2.

(3.61)

Решение системы (3.61) можно также представить в форме уравнения

(3.60), причем в этом случае Δ и A

k

(

α

) - соответственно главный определитель и

алгебраические дополнения k-го определителя системы уравнений (3.61).

ГЛАВА 4

56

УПРАВЛЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ

С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

4.1. Введение

В отличие от классической теории управления, объектом изучения которой бы-

ли одномерные (один вход - один выход) системы, описываемые линейными диф-

ференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, так называемая

современная теория, так называемая современная теория управления содержит ре-

зультаты, применяемые для различных классов общих многомерных систем, вклю-

чая системы, задаваемые:

1.

линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициен-

тами;

2.

нелинейными дифференциальными уравнениями;

3.

дифференциально-разностными и другими уравнениями с последействием;

4. уравнения с частными производными и интегральными уравнениями.

Современная теория управления включает так называемую теорию оптималь-

ного управления, с помощью которой можно разрабатывать оптимальные системы,

т.е. системы, при функционировании которых минимизируется или максимизирует-

ся некоторый выбранный заранее критерий качества.

Наряду с методами синтеза управляющих устройств и систем современная тео-

рия управления

включает методы идентификации и оценивания состояния процес-

сов. Различные алгоритмы идентификации процессов позволяют определять струк-

туру модели объекта управления и восстанавливать параметры этой модели как не-

посредственно в контуре управления, так и вне его. Эти алгоритмы используются

при синтезе не только обыкновенных, но и адаптивных систем управления, приспо-

сабливающихся к

таким изменениям характеристик управляемого процесса, кото-

рые могут иметь место, например, из-за обрастания поверхности теплообменника

или из-за понижения активности катализатора в химическом реакторе. Оценивание

состояний - это определение текущих значений таких переменных процесса, кото-

рые не могут быть измерены непосредственно или могут быть измерены лишь с

большими помехами. Особенно полезны

методы оценивания текущего состояния

для тех процессов, где недостаточно измерительных устройств или очень велика

цена отдельных значений.

Для того чтобы лучше представить себе взаимосвязь перечисленных направле-

ний теории управления , рассмотрим следующий пример. На рис.4.1. показана

структура современной АСУТП, в состав которой входят:

1) управляемый процесс

с вектором управляющих воздействий u, вектором

контролируемых возмущений

d1 и вектором вспомогательных входных воздейст-

вий (позволяющих проводить идентификацию)

d 2;

2) измерительная система

, позволяющая контролировать некоторые перемен-

ные состояния и (или) их комбинации в условиях помех. Вектор измеряемых выхо-

дов

y поступает на вход

3) системы оценивания состояния

, которая по зашумленным наблюдениям и по

модели процесса строит наилучшую, в некотором смысле оценку состояния - век-

57

тор

$

x

. Система оценивания состояния характеризуется вектором параметров P,

рассчитываемым предварительно или в темпе с процессом по информации о пара-

метрах модели процесса

α, по измерению y и по текущим оценкам состояния

$

x

.

Оценки состояния процесса подаются в

4) управляющее устройство

, которое формирует управляющие воздействия u,

используя для этого текущие оценки состояния

$

x

, уставки ud, xd (эти уставки сами

могут быть получены в результате оптимизации), и вектор параметров

K. Парамет-

ры

K могут определяться предварительно или настраиваться по оценкам состояния

процесса

$

x

и по вектору параметров модели процесса α. Параметры модели про-

цесса определяются с помощью

5) системы идентификации

, которая по результатам обработки измерений y

восстанавливает вектор параметров модели процесса

α. При этом может оказаться

необходимым подавать дополнительно на вход объекта специальным образом

сформированные вспомогательные входные воздействия

d2. Если параметры не за-

висят от времени, процедуру идентификации можно выполнить однократно; если

же процесс нестационарен, процедуру необходимо периодически повторять, чтобы

обеспечить отслеживание изменяющихся условий.

На практике в состав системы управления могут входить не все, а только неко-

торые из перечисленных компонентов.

Возмущающие

Идентифицирующие воздействия Измерительные шумы

58

входные воздействия

d1 η

d2

x Измерительная y

U Процесс

истинное система измеряемые

управляющие состояние выходы

воздействия процесса

U

Устройство

U Управляющее

$

x

оценивания y

состояния

устройство

оценка процесса

состояния

процесса

x

d,Ud P α

K Режимные

установки В конце управления

Вне контура управления

U α

Система Система настройки Система настройки

идентификации α параметров

$

x

параметров устройства y

управляемого управляющего

$

x

оценки состояния

процесса устройства процесса

y

Оптимизация

режима

α процесса x

d,Ud

Параметры

модели

процесса

Рис.4.1

4.2. Математические модели объектов управления

(технологических процессов)

Математические модели объектов управления (ОУ) или технологических про-

59

цессов (ТП) можно классифицировать по разным признакам. Одна из возможных

классификаций моделей ОУ (ТП) следующая:

1.

одномерные - многомерные;

2. во временной области - в частотной области;

3. стационарные - нестационарные;

4. непрерывные - дискретные;

5. статические - динамические;

6. линейные по переменным - нелинейные по переменным;

7. детерминированные - стохастические;

8. с сосредоточенными параметрами - с распределенными параметрами.

Схема одномерного ОУ(ТП) приведена на рисунке 4.2

z(t)

x(t) ОУ(ТП) y(t)

4.2.

Здесь x(t) - входной сигнал; y(t) - выходной сигнал; z(t) - возмущающее воздей-

ствие, действующее на ОУ(ТП).

Схема многомерного ОУ(ТП) приведена на рис. 4.3.

z

1

(t) ...........….. z

l

(t)

x

1

(t) y

1

(t)

. .

. ОУ(ТП) .

x

n

(t) y

m

(t)

Рис.4.3

Введем обозначения

x

1

(t) y

1

(t) z

1

(t)

. . .

X(t) = . ; Y(t) = . ; Z(t) = . . (4.1)

. . .

x

n(t) ym(t) z

l

(t)

Здесь X(t) - вектор входных переменных (входной вектор). Пример входных пе-

ременных: свойства сырья (химический состав), размеры, механические свойства,

скорость подачи, стоимость). Вектор Y(t) есть вектор выходных переменных. При-

мер выходных переменных: характеристики полученного продукта или полуфабри-

ката (химический состав, размеры, количество, стоимость). Вектор Z(t) есть вектор

60

возмущающих воздействий, действующих на ОУ(ТП). Пример возмущающих воз-

действий: параметры, характеризующие условия протекания ТП (температура, дав-

ление, скорость подачи, число оборотов, производительность).

Модуль ОУ(ТП) называется линейной, если оператор А является линейным т.е.

выполняется принцип суперпозиции

n n

A [∑ k

i

x

i

(t)] = ∑ k

i

A[x

i

(t)] (4.2)

i=1 i=1

для любых n, k

i

и x

i

(t), i = 1,n; k

i

= const.

Пример оператора А:

t

A [x(t)] = dx(t) / dt; A[x(t)] = ∫ x(τ)dτ . (4.2)

o

В классе линейных стационарных моделей ОУ(ТП) с одной выходной перемен-

ной y(t) и одной входной переменной x(t) может быть представлен в виде диффе-

ренциального уравнения

a

dyt

dt

i

n

i

=

∑

0

()

=

b

dxt

dt

j

m

j

=

∑

0

()

, n≥m (4.3)

или интегрального уравнения с весовой функцией w(τ):

∞

y(t) = ∫ w(τ)x(t-τ)dτ. (4.4)

0

Соотношения (4.3), (4.4) есть одномерные модели ОУ(ТП) во временной облас-

ти.

Модели (4.3) соответствует модель ОУ(ТП) в виде передаточной функции.

W(S) =

YS

XS

()

=

bS b S b

aS a S a

m

n

+++

−

1

0

1

0

...

(4.5)

Передаточная функция W(S) связанная с весовой функцией w(τ) преобразова-

нием Лапласа

∞

W(S) = ∫ w(τ) e

-sτ

dt (4.6)

0

или

W(S) =L {w(t)};

w(t) =L

-1

{W(S)};

Здесь L {...} - преобразование Лапласа в выражения в фигурных скобках;

L

-1

{...}- обратное преобразование Лапласа в выражения в фигурных скобках;

Y(S) = L{y(t)}; X(S) = L{x(t)}.

Частотная характеристика ОУ(ТП) W(jw) определяется соотношением

Гаспер Б.С., Липатов И.Н. ИВС и АСУТП. Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.