Гаспер Б.С., Липатов И.Н. ИВС и АСУТП. Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

Рис. 3.9

Двоично-ортогональные системы базисных функций

. Под этим условным

названием объединены системы функций меандрового типа Радемахера, Уолша и

Хаара, интервал ортогональности которых при их построении представляется со-

вокупностью двоично-рационального числа равных подынтервалов. Эти системы

имеют важное значение для практики спектральной обработки, поскольку прини-

мают только значения ±1 (функция Радемахера и Уолша) либо ±1 и 0 (функция

Хаара) и легко могут быть получены с помощью цифровых устройств.

Все эти системы взаимосвязаны друг с другом и каждую из них можно по-

лучить из другой, образуя соответствующую линейную комбинацию.

Базисные функции представляют собой функции различных физических

аргументов с различными интервалами ортогональности. Сигнал, в свою очередь,

может быть также функцией

другой переменной с интервалом определения, отли-

чающимся от интервала ортогональности базисных функций. При спектральном

представлении таких сигналов необходимо привести оси и интервал ортогональ-

ности аргумента базисных функций к оси и интервалу изменения переменной сиг-

нала.

В общем случае, если сигнал является функцией переменной

с интерва-

лом [

min

max

), а функции базисной системы зависят от аргумента

и ортогональ-

ны на интервале [

min

max

), преобразование оси

в ось

и совмещение интервалов

можно осуществить подстановкой:

ξξ

−

max min

min max max min

max min

. (3.32)

Например, если

∈[-1, 3), а

∈[-T, 2T), то в соответствии с преобразовани-

ем (3.32)

)(2

)(32)1(

)(2

)1(3

−−

−

−−

ξξγ

TTT

Проверим записанную взаимосвязь

на граничных значениях

. При

-T значение

=−+=−+=−

T() . При

= 2T значение

0123

7/3

-7/3

5/3

)2(

=+=+= T

. Полученные значения совпадают с заданными. Если

интервалы разносторонние, например

∈[-

[

)

,,0 Ta

∈

то, исходя из

(3.32), найдем

πξ

−=

−

⋅

−

−−

0)(

)(

Проверка подтверждает справедливость и этой формулы.

Преобразование осей и приведение интервалов необходимо учитывать при

использовании спектральной формы представления сигналов.

3.4. Функции Радемахера

Для того чтобы кусочно-постоянные базисные ортогональные функции

могли использоваться при обработке информации, нужно, чтобы так же, как сину-

соиды и косинусоиды, они принимали не только положительные, но и отрица-

тельные значения.

Этому требованию удовлетворяют описываемые ниже кусочно-постоянные

ортогональные функции Радемахера. Если принять за основу синусоидальные ко-

лебания sin(2

πθ

), где m - целое положительное число, и принять для произволь-

ной величины

, что sing(

)=1 при

>0 и sign(

)=-1 при

<0, то функции Радемахе-

ра

rad(m,

) = sign[sin(2

πθ

)]. (3.33)

По формуле (3.33) определяются функции Радемахера для m=1,2,... Для

m=0 функция Радемахера rad(0,

)=1.

На рис. 3.10 показаны функции Радемахера при значениях m от 0 до 5. Они

показаны при задании

в интервале 0≤

<1.

Рис. 3.10

Вообще же эти функции являются периодическими функциями с периодом

Rad(0,

)

-1

Rad(1,

)

-1

Rad(2,

)

-1

Rad(3,

)

-1

Rad(4,

)

-1

Rad(5,

)

-1

010,5

1: rad(m,

)=rad(m,

+1). Рис. 3.10 показывает, что функции Радемахера с номерами

m от 2 и выше периодичны также и на меньших интервалах, число которых зави-

сит от величины m.

Формула (3.33) позволяет сравнить функции Радемахера с синусоидами и

дает наглядное представление о процедуре их получения.

На рисунке были показаны непрерывные функции Радемахера

. Дискретные

функции Радемахера, для которых принято обозначение Rad(m,

), получаются пу-

тем выборки их из непрерывных функций при дискретных значениях

в интерва-

ле 0≤

<1. Например, при отсчетах, сделанных для восьми точек этого интервала,

получаем значения Rad(2,

), равные 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1.

В отличие от полного набора синусоид и косинусоид, все функции Раде-

махера нечетные. Это препятствует аппроксимации их с помощью четных функ-

ций (они образуют, как говорят, неполный набор функций). Поэтому их примене-

ние ограничено.

Полными ортогональными системами базисных кусочно-постоянных

функций являются системы функций Уолша и Хаара.

3.5. Функции Уолша

Для нормированных функций Уолша принято обозначение wal(n,

), где n -

номер функции, а

находится в интервале 0≤

<1. Обычно рассматривается мно-

жество функций Уолша wal(n,

) при n=0,1,...,N-1, где N=2

и i=1,2,3,...

Первые восемь функций Уолша изображены на рис. 3.11[5].

Рис. 3.11

Функции Уолша различают по их порядку и рангу. Под порядком имеют

wal

(

)

-1

wal

(

)

-1

wal

(

)

-1

wal

(

)

-1

(

)

-1

wal

(

)

-1

010

wal

(

)

-1

wal

(

)

-1

ввиду максимальный из содержащих единицу номеров разрядов при двоичном

представлении числа n, рангом называют число единиц в двоичном выражении n.

Например, порядок и ранг функции wal(5,

) равны соответственно 3 и 2, так как

двоичным выражением числа 5 является 101 (имеется ввиду обычное двоичное

кодирование чисел; см. второй столбец табл. 3.2). Функции Уолша могут быть

представлены в виде произведений функций Радемахера (см. табл. 3.3). Номера

функций Радемахера, образуюших функции Уолша wal(n,

) определяются по но-

мерам последних, выраженных в двоичном коде Грея. Для чисел n от 0 до 15 их

нумерация кодом Грея дана в последнем столбце табл.3.2. Номера перемножае-

мых функций Радемахера отвечают номерам разрядов, в которых имеются едини-

цы, закодированного кодом Грея числа n. Разряды отсчитываются, начиная с

младшего разряда. Так определяются

как произведение функций Радемахера

функции wal(n,

) для любых n.

Код Грея связан следующим образом с обычным двоичным кодом. Если в

обычной двоичной системе исчисления число n=a

k-1

k-2

...a

, то в коде Грея n=b

k-1

...b

, где b

⊕a1, b

⊕a

,...,b

k-1

; ⊕ - знак суммирования по модулю два

(0⊕0=0; 0⊕1=1; 1⊕0=1; 1⊕1=0). Например, n=2 в обычном двоичном коде запи-

сывается как 10. Здесь a

=1, a

=0. Следовательно, b

⊕a

=0⊕1=1, b

=1. Сле-

довательно, число n=2 представляется как 11, что и указано в табл.3.2.

Функции Уолша могут быть упорядочены по Уолшу. На практике широко

используется также и другие способы упорядочивания функций Уолша. Имеется

упорядочивание функций Уолша по Пэли, упорядочивание функций Уолша по

Адамару. На рис. 3.12. показаны первые восемь функций Уолша-Адамара had(n,

Рис. 3.12

Таблица 3.2

had

(

)

-1

had

(

)

-1

had

(

)

-1

had

(

)

-1

had

(

)

-1

had

(

)

-1

010

had

(

)

-1

had

(

)

-1

n-N

функции Уолша

(упорядоченной по

Уолшу)

Выражение n в обычном

двоичном коде

Выражение n в коде Грея

0 0000 0000

1 0001 0001

2 0010 0011

3 0011 0010

4 0100 0110

5 0101 0111

6 0110 0101

7 0111 0100

8 1000 1100

9 1001 1101

10 1010 1111

11 1011 1110

12 1100 1010

13 1101 1011

14 1110 1001

15 1111 1000

Таблица 3.3

n-N

функции Уолша

(упорядоченной по

Уолшу)

Формулы перехода от функций rad(m,θ) к функ-

циям wal(n,θ)

wal(0,θ)=1

wal(1,θ)=rad(1,θ)

wal(2,θ)=rad(1,θ)rad(2,θ)

wal(3,θ)=rad(2,θ)

wal(4,θ)=rad(2,θ)rad(3,θ)

wal(5,θ)=rad(1,θ)rad(2,θ)rad(3,θ)

wal(6,θ)=rad(1,θ)rad(3,θ)

wal(7,θ)=rad(3,θ)

wal(8,θ)=rad(3,θ)rad(4,θ)

wal(9,θ)=rad(1,θ)rad(3,θ)rad(4,θ)

wal(10,θ)=rad(1,θ)rad(2,θ)rad(3,θ) rad(4,θ)

wal(11,θ)=rad(2,θ)rad(3,θ)rad(4,θ)

wal(12,θ)=rad(2,θ)rad(4,θ)

wal(13,θ)=rad(1,θ)rad(2,θ)rad(4,θ)

wal(14,θ)=rad(1,θ)rad(4,θ)

wal(15,θ)=rad(4,θ)

3.6.Функции Хаара

Широкому применению функций Уолша способствует то, что они прини-

мают только одно из двух значений +1 или -1, и это удобно для цифровой обра-

ботки информации на ЭВМ. Первые две функции Хаара - такие же, как и соответ-

ствующие функции Уолша, упорядоченные по Уолшу или по Пэли. Функции Хаа-

ра принимают на отдельных

участках одно из трех значений: 0, +1 и -1, что также

удобно для выполнения цифровой обработки на ЭВМ.

Наибольшее применение имеют функции Уолша. Однако иногда оказыва-

ется более целесообразным использование в качестве базисных функций Хаара.

Это связано с тем, что, выполняя рассматриваемые далее преобразования, при

принятии за базисные функций Хаара иначе учитывают поведение

исходной

функции, когда определяют коэффициенты разложения последней, чем это дела-

ется при использовании в качестве базисных, функций Уолша. Благодаря указан-

ному свойству функций Хаара, в некоторых случаях их использование оказывает-

ся более экономичным.

Функции Хаара определяются при каждом значении

(которое тоже будем

здесь считать заданным в интервале 0≤

<1) двумя величинами, для которых при-

мем обозначения l и n. Первое из них является номером подразделения в системе

функций Хаара, второе - номером функции в соответствующем подразделении.

Значения функций на участках, на которых эти значения отличны от нуля, различ-

ны для разных подразделений. Для функций Хаара приняты обозначения har(l,n,

()

или H

()

. Будем пользоваться последними обозначениями.

Первые восемь функций Хаара представлены на рис. 3.13[5]. В нижней час-

ти рис. 3.13 изображена матрица дискретных значений функций Хаара. Каждая

строка матрицы отвечает соответствующей функции.

Для формирования N функций Хаара используется следующая формула

-1

0()

()

1()

()

1()

()

3()

()

1()

()

2()

()

2()

()

4()

()

Рис. 3.13

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

∈

<≤

−

≥−

−

<≤

−

≥

),1,0[0

2/1

)(

θθ

гделюбыхпри

при

(3.34)

где 0 ≤ l < log

N и 1 ≤ n ≤ 2

3.7. Преобразование Уолша и Хаара

Аналогично тому, как производится разложение функций в ряд Фурье, вы-

полняется оно и при использовании функций Уолша и Хаара в качестве базисных

функций. Для функции x(t), нормализованной соответствующим образом, форму-

ла разложения x(t) в ряд Уолша имеет следующий вид

xt Xnwalnt

() () (,)=

∞

∑

, (3.35)

где wal(n,t) - п-я по порядку следования функция Уолша и X(n) - спектр Уолша.

В литературе встречаются различные обозначения спектра Уолша и по раз-

ному обозначаются базисные функции Уолша. В дальнейшем для спектра Уолша

принято обозначение с

и для функций Уолша обозначение W

(t/T) в связи с тем,

что функции нормализуются при t∈[0,T).

Ряд Уолша одномерного сигнала x(t), t∈[0,T) будет иметь вид

∑

∞

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

)(

αα

Wсtx , (3.36)

где спектр Уолша

∫

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Wtx

)(

αα

. (3.37)

В этом случае равенство Парсеваля

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 -1 -1 -1 -1

− 2

0 0 0 0

− 2

2 -2 0 0 0 0 0 0

0 0 2 -2 0 0 0 0

0 0 0 0 2 -2 0 0

0 0 0 0 0 0 2 -2

()3 =

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

∑

∫

∞

)(

сdttx

. (3.38)

усеченные ряды Уолша

∑

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

)(

Wсtx

αα

(3.39)

обладают равномерной, среднеквадратической сходимостью и сходимостью в

среднем и могут быть использованы для аппроксимации сигналов, описываемых

интегрируемыми функциями.

3.8. Применения преобразований Уолша и Хаара

Успешному использованию преобразований Уолша и Хаара способствова-

ло изучение следующих вопросов: свойства функций Уолша; свойства спектров

Уолша; общие вопросы применения функций Уолша при выполнении преобразо-

ваний; алгоритмы быстрого преобразования Уолша; вычисление корреляционных

функций и выполнение сверток на базе функций Уолша; применение функций

Уолша для исследования случайных процессов; использование функций Уолша

при построении цифровых фильтров.

Для области автоматического управления является актуальным применение

преобразований Уолша при анализе динамики линейных и нелинейных систем,

разработке систем оптимального управления, моделировании процессов, иденти-

фикации объектов, разработке ряда специальных устройств автоматики.

Практически важным является предложенное Х. Хармутом использование

функций Уолша для формирования сигналов, передаваемых по линиям радиосвя

зи. Предложено использовать их в качестве несущих при распространении сигна-

лов в радиоканале над поверхностью Земли, проработаны вопросы генерирования

и приема сигналов этого вида. Функции Уолша применены при разработке мно-

гоканальных систем связи. На основе использования функций Уолша разработаны

усовершенствованные методы помехоустойчивого кодирования сигналов.

Преобразования Хаара, хотя они используются в

меньшей степени, чем

преобразования Уолша, тоже находят применение при разработке и исследовании

средств автоматики. Быстрое преобразование Хаара используется при анализе

процессов. С помощью функций Хаара можно эффективно осуществлять свертки

сигналов. Функции Хаара использованы при разработке цифровых фильтров, при

исследовании случайных процессов, а также при разработке конкретных типов

устройств в системах

управления и связи.

3.9. Классы фильтров и их математическое описание

В зависимости от вида входного сигнала различают фильтры непрерывные

(аналоговые) и дискретные (цифровые). Фильтры обоих видов могут быть линей-

ными и нелинейными. Свойства фильтров могут быть описаны как во временной,

так и в частотной области. Частотные характеристики используются довольно час-

то (и для цифровых фильтров - ЦФ), так как их

удобнее применять и они более

наглядно иллюстрируют физические свойства фильтров. Так, по виду частотных

характеристик различают фильтры нижних частот, фильтры высоких частот, по-

лосовые фильтры и запирающие фильтры (фильтры-«пробки»), выполняющие

операции выделения тех или иных частотных составляющих из общего спектра

входного сигнала. Наряду с ними есть фильтры, производящие более сложные

операции, например операции выделения, дифференцирования

и экстраполяции

сигналов в условиях действия случайных помех.

В общем случае, выходной сигнал ЦФ в текущий момент времени опреде-

ляется значением входного сигнала u(m

t)=u[m]=u

в тот же момент дискретного

времени m, значениями входных и выходных сигналов y(m

t)=y[m]=y

в предше-

ствующие моменты времени и описывается разностным уравнением

= a

+ a

m-1

+...+ a

N-1

m-N-1

- b

m-1

- b

m-2

-...- b

m-k

. (3.40)

Передаточная функция ЦФ в Z-области имеет вид

zbzb

zazaa

−−

−

+++

...1

...

)(

)1(

. (3.41)

Общее описание ЦФ как дискретной системы уравнениями (3.40) и (3.41)

позволяет создать набор алгоритмов, которые непосредственно используются для

реализации в виде ЦФ или для программирования ЦВМ. Этот набор алгоритмов

создается путем варьирования величин N, k, a

, b

. Рассмотрим вопрос физической

реализуемости передаточной функции (3.41). С теоретической точки зрения пере-

даточная функция (3.41) реализуема всегда, за исключением того случая, когда все

коэффициенты a

=0, что с физической точки зрения представляет фильтр с отклю-

ченным входом.

Рекурсивный фильтр

- это фильтр, в котором для расчета текущей выход-

ной величины используется по меньшей мере одно значение входной величины и

одно из полученных ранее значений выходных величин. Математически это фор-

мулируется так: рекурсивный фильтр - это фильтр, заданный уравнением (3.40)

или (3.41), в котором по меньшей мере одно значение b

и одно значение a

не

равно нулю. При этом рекурсивный фильтр обладает такой памятью, что значения

всех отсчетов фильтруемого сигнала от 0 до текущего момента с некоторым весом

участвуют в формировании текущего значения выходной величины. Для кратко-

сти будем называть такой фильтр P-фильтром, и тогда в сжатой форме определе-

ние будет иметь следующий вид: P-фильтр -

это такой фильтр, у которого не все b

=0 и T=t→∞, где T- память фильтра.

В нерекурсивном,

или трансверсальном, фильтре в отличие от рекурсивно-

го ни одна из полученных ранее выходных величин не используется для расчета

текущей выходной величины (все b

=0). Он обладает принципиально конечной

памятью (определяемой интервалом [t, t-T] или [m, m-N+1], т.е. N≠∞. По аналогии

с предыдущим трансверсальный фильтр для кратности будем называть T-

фильтром. При этом определение имеет вид: T-фильтр - это такой фильтр, у кото-

рого все b

=0 и T=(N-1)

t. Эти фильтры характеризуются разностным уравнением

и передаточной функцией в Z-области вида

yauau au au

mmm NmN imi

=+ ++ =

−−−+ −

−

∑

011 11

... ; (3.42)

∑

−

−+−

−

=+++=

...)(

zazazaazW . (3.43)

Совокупность коэффициентов a

часто рассматривается как функция, кото-

рая называется импульсной переходной функцией (ИПФ).

Для выполнения таких операций, как сглаживание (низкочастотная фильт-

рация), интерполяция и экстраполяция (задержка и предсказание), дифференциро-

вание, а также для реализации комбинаций перечисленных операций широко при-

меняется T-фильтр.

3.10. Формы реализации передаточных функций

Рассмотрим структурные схемы реализации передаточных функций ЦФ,

составленные на основе использования трех элементов: сумматора, умножителя и

элемента задержки. Соотношения между входом и выходом в этих элементах

представляются в виде

∑

ikk

, y

= a

, y

= U

k-1

Отметим возможные формы реализации для каждого класса фильтров (P и

T) в отдельности. Отметим, что со структурной точки зрения P-фильтры представ-

ляют собой устройства с обратными связями, а T-фильтры - устройства без обрат-

ных связей.

P-фильтры

. Для одной и той же передаточной функции P-фильтра, можно

получить четыре основные формы реализации: прямую, каноническую, каскадную

каноническую и параллельную каноническую.

Прямая форма реализации получается из непосредственной интерпретации

передаточной функции

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∑∑

−

zbzazW

1)(

. (3.44)

Схема прямой формы реализации представлена на рис. 3.14.

Рис. 3.14

N-1

-b

-1