Еремин Е.Л., Еремина В.В., Капитонова М.С. Математическое и компьютерное моделирование
Подождите немного. Документ загружается.
Подставив значения (7.45) в выражения (7.44), получим систему:
+
=++
+
=++
.
2
2
,
2
2
2
2
02
2
2
2
2
2
1
2
01
1
1
2
1
2
eE
mM
Mm
dt
d
b
dt
d
eE
mM
Mm
dt
d
b
dt
d
µω
µµ
µω
µµ
(7.46)
Система дифференциальных уравнений (7.46) позволяет описывать
валентные колебания молекулы воды.
Так как было учтено, что ион кислорода имеет заряд, равный (-2e),
то полученная модель отличается от ранее рассматриваемой модели
(7.41) правой частью уравнений.
Деформационные колебания молекулы воды
К упругим деформационным колебаниям молекулы воды относятся
изменения валентных углов связи OH.
Составим уравнение балансов сил относительно линий силового по-
ля для радиально смещенных связей OH, получим систему уравнений:
−−−
−−−−=−−
−−−−=−
),sin(
)sin()sin(
),sin()sin()sin(
22
22222
1111111
θβα
θβαθβα
θβθβθβ
τ
τ
упр
сопрэдс
упрсопрэдс
F
FFma
FFFma
(7.47)
где F
эдс1
, F
эдс2
– электродвижущая сила ионов водорода, в каждой из свя-
зей; F
сопр1
и F
сопр2
– силы сопротивления иона водорода в каждой из свя-
зей OH; F
упр1
и F
упр2
– сила упругости иона водорода; F
упр1
и F
упр2
– сила
упругости иона кислорода;
α
– табличный угол между связями;
β
– ис-
ходный угол наклона одной из связей OH.
Распишем каждую из сил, входящих в уравнение (7.47), для нашего
случая с помощью перехода от линейной величины x к угловой
θ
сле-
дующим образом:
R
и
x
=
.
====
=====
=====
,,
,,,
,,,
22222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2211111
1
1
1
1
11
2
1
2
11
θ
θ
ττ
εθ
θ
ττ
θ
ε
τ
τ
RkxkF
dt
Rdm
dt
dxm
F
eEF
dt
xd
RRaRkxkF
dt
Rdm
dt
dxm
FeEF
dt
d
RRa
упрупрупрсопр
эдсупрупрупр
сопрэдс
(7.48)
131
где R – длина связи OH;
1
τ
α
и
2
τ
α
– тангенциальные составляющие угло-
вых ускорений ионов водорода. Поскольку углы
и
1
и
2
θ
очень малы, то
β
θ
β
sin)sin(
1
≅− , sin( )sin()
2
β
α
θ
β
α
−
≅
−− и
=−
++
=
++
.)sin(
,sin
22
1
2
2
2
2
11
1
1
2
1
2
eERk
dt
dmR
dt
d
mR
eERk
dt
d
mR
dt
d
mR
упр
упр
βαθ
θ
τ
θ
βθ
θ
τ
θ
(7.49)
Разделим каждый член уравнений системы (7.49) на величины mR,
получим:
=−
++
=
++
.)sin(
1
,sin
1
2
2
1
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
2
E
mR
e
m
k
dt
d
dt
d
E
mR
e
m
k
dt
d
dt
d
упр
упр
βαθ
θ
τ
θ
βθ
θ
τ
θ
(7.50)
Выполним переход к значениям коэффициентов их затухания и соб-
ственным частотам:
=−
++
=
++
.)sin(
1
,sin
1
2
2
1
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
2
E
mR
e
m
k
dt
d
dt
d
E
mR
e
m
k
dt
d
dt
d
упр
упр
βαθ
θ
τ
θ
βθ
θ
τ
θ
(7.51)
Представив индуцированные дипольные моменты связей OH как
изменение проекции их собственных электрических моментов на силовые
линии поля, получим систему уравнений:
−−−−=
−
−
=
).cos()cos(
,cos)cos(
202
0101
βαθβαµµ
β
µ
θ
β
µ
µ
(7.52)
Преобразуем (7.52) с помощью тригонометрических формул:
[]
[]
−−−+−=
−
+=
.)cos(sin)sin(cos)cos(
,cossinsincoscos
2202
1101
βαθβαθβαµµ
β
θ
β
θ
β
µ
µ
(7.53)
Учитывая, что углы
θ
малы, можно использовать приближения
1cos ≅
θ
,
θ
θ
≅sin . Тогда:
).sin(,sin
02201
1
β
α
µ
θ
µ
β
µ
θ
µ
−
== (7.54)
132
Выполним переход от
θ
к
µ
, для чего помножим каждый член сис-
темы (7.51) на величину собственного дипольного момента связи OH:
=++
=++
.2
,2
0
2
2
02
2
2
2
2
2
0
1
2
01
1
1
2
1
2
E
mR
e
dt
d
b
dt
d
E
mR
е
dt
d
b
dt
d
µ
µω
µµ
µ
µω
µµ
(7.55)
Учитывая, что
J
mR =
2
и eR
=
0
µ
получим:
=++
=++
,2
,2
2
0
2
2
02
2
2
2
2
2
2
0
1
2
01
1
1
2
1
2
E
J
d
t
d
b
d
t
d
E
Jdt
d
b
dt
d
µ
µω
µµ
µ
µω
µµ
(7.56)
где J – момент инерции связи OH. Система уравнений (7.56) позволяет
описать деформационные колебания молекулы H
2
O, где в качестве пере-
менной рассматривается угловое смещение, а не традиционно – линей-
ное.
Вычислительный эксперимент
Для оценки эффективности полученных математических моделей
был проведен вычислительный эксперимент, связанный с моделировани-
ем длинноволнового спектра оптического показателя преломления воды в
области установления упругой ионной поляризации воды.
Поскольку контрольные сведения о рассматриваемой характеристи-
ке обычно представляют собой табличные зависимости ее значений от
длины волны прилагаемого электромагнитного излучения
λ
, то модели-
ровался длинноволновый спектр
)(
λ
n .
Методика проведения вычислительного эксперимента включала не-
сколько этапов. Во-первых, на базе выражений (7.46) и (7.56), а также на-
бора значений
/
13
104127,1
2
,/
14
100892,3
20
,/
13
105346,7
1
,/
14
101219,6
10
,/
13
105346,7
2
,/
14
104421,6
20
,/
13
105346,7
1
,/
14
105739,6
10
срад
d
bсрад
d
срад
d
bсрад
d
срад
v
bсрад
v
срад
v
bсрад
v
⋅=⋅=
⋅=⋅=
⋅=⋅=
⋅=⋅=
ω
ω
ω
ω
(7.57)
рассчитывались частотные характеристики комплексных ионных поляри-
зуемостей молекулы H
2
O для диапазона длин волн от 10
-6
до 3
.
10
-4
м, ко-
133
торый соответствует области установления рассматриваемого вида поля-
ризации. Во-вторых, на основании полученных числовых массивов рас-
считывались частотные характеристики комплексной диэлектрической
проницаемости воды в рамках кибернетической модели. В-третьих, с
помощью уравнения
2
)()()(
)(
22
ωεωεωε
ω
′′
+
′
+
′
=n
, (7.58)
вычислялась частотная зависимость оптического показателя преломле-
ния, значения аргумента которой пересчитывались затем в эквивалентные
длины волн по формуле
ω
π
λ
/2 c= для получения требуемого длинно-
волнового спектра
)(
λ
n . В-четвертых, строились совместные графики
аналитически найденной характеристики и ее физического аналога.
Характеристики исследуемого свойства воды, полученные в ходе
проведенного вычислительного эксперимента, представлены на рис. 7.12.
На приведенном графике, точечный массив соответствует практиче-
ским измерениям зависимости
)(
λ
n , сплошная линия отражает результа-
ты имитационного моделирования.
Анализ полученных результатов показал, что моделируемый спектр
достаточно адекватен реальным оптическим свойствам воды в области
упругих ионных колебаний молекулы воды H
2
O.
Рис. 7.12. Длинноволновый спектр оптического показателя воды
на основе модели (7.46) и (7.56).
Проведенное моделирование спектра оптического показателя пре-
ломления воды показало, что применение моделей (7.46) и (7.56) более
эффективно, чем описание вида (7.41).
134
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.:
Наука, 1975.
2. Математические основы теории автоматического регулирования. Т.1 / Под ред.
Б.К. Чемоданова. М.: Высш. школа, 1977.
3. Математические основы теории автоматического регулирования. Т.2 / Под ред.
Б.К. Чемоданова. М.: Высш. школа, 1977.
4. Методы классической и современной теории автоматического управления. Т.1:
Методы современной теории автоматического управления / Под ред. Н.Д. Егу-пова.
М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.
135
5. Методы классической и современной теории автоматического управления. Т.2:
Синтез регуляторов и теория оптимизации систем автоматического управления /
Под ред. Н.Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.
6. Методы классической и современной теории автоматического управления. Т.3:
Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления / Под ред.
Н.Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.
7. Первозванский А.А. Математические модели в управлении производством. М.:
Наука, 1975.
8. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского.
М.: Наука, 1987.
9. Гультяев А.К. MATLAB-5.2. Имитационное моделирование в среде Windows:
практическое пособие. М.: Наука. 2000.
10. Дьяконов В., Круглов В. Математические пакеты расширения MATLAB. Специ-
альный справочник. СПб.: Питер, 2001.
11. Еремин Е.Л. Лабораторно-курсовой практикум по ТОАУ с применением MatLab
for Windows. Благовещенск: Изд-во АмГУ, 2001.
12. Основы математического моделирования. Построение и анализ моделей с при-
мерами на языке MATLAB / Под ред. А.Л. Фрадкова. СПб.: Изд-во БГТУ,
13. Потемкин В.Г., Рудаков П.И. Система MATLAB-5 для студентов. 2-е изд., испр.
и дополн. М.: ДИАЛОГ – МИФИ, 1999.
14. Еремин И.Е., Еремин Е.Л., Костюков Н.С. Имитационное моделирование ди-
электрической проницаемости конденсированных материалов: ультрафиолето-вый и
видимый спектры частот. Благовещенск: Изд-во АмурКНИИ АНЦ ДВО РАН, 2001.
15. Банышева В.В., Костюков Н.С. Упругая дипольная поляризация // Дальнево-
сточный вестник высшего образования. 2001. №1. С. 62 – 69.
16. Костюков Н.С., Банышева В.В. Поляризационные процессы в воде // Электриче-
ство. 2001. №11. С. 66-69
17. Еремин И.Е., Костюков Н.С. Построение модели процесса поляризации ди-
электриков с помощью обратных связей // Информатика и системы управления.
2001. № 1. С. 45-53.
18. Еремин И.Е., Костюков Н.С. Построение кибернетической модели оптического
показателя преломления // Информатика и системы управления. 2001. № 2. С. 42-49.
19. Банышева В.В., Еремин И.Е., Костюков Н.С. Моделирование длинноволнового
спектра оптического показателя преломления воды // Информатика и системы
управления. 2002. № 1(3). С. 14-23.
20. Еремина В.В., Костюков Н.С., Тюрина С.Ю. Моделирование оптического спек-
тра воды в области упругих видов поляризации // Информатика и системы управле-
ния. 2003. № 2(6). С. 9-14.
21. Костюков Н.С., Еремин И.Е. Кибернетическая модель процесса упругой элек-
тронной поляризации диэлектрика // Электричество. 2004. № 1. С. 50-54.
136
Евгений Леонидович ЕРЕМИН
профессор кафедры информатики БГПУ,
доктор технических наук
Виктория Владимировна ЕРЕМИНА
доцент кафедры информационных и управляющих систем АмГУ,
кандидат физико-математических наук
Марина Сергеевна КАПИТОНОВА
ассистент кафедры информатики БГПУ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Учебное пособие
137