Еремин Е.Л., Еремина В.В., Капитонова М.С. Математическое и компьютерное моделирование

Подождите немного. Документ загружается.

111

7. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПОЛЯРИЗАЦИИ

В этой главе рассматривается кибернетическая модель процесса по-

ляризации конденсированных материалов, дающая хорошее совпадение

теоретических и экспериментальных характеристик комплексной диэлек-

трической проницаемости в области электронной упругой поляризации, а

также, в рамках использования этой модели, предлагается методика опре-

деления параметров поляризационных процессов, эффективность которой

оценивается в рамках моделирования длинноволнового спектра показате-

ля преломления на примере воды.

7.1. Процесс упругой электронной поляризации диэлектриков

Проблемы имитационного моделирования динамических систем,

возникающие при решении ряда прикладных задач, в том числе харак-

терных и для теоретической физики, по-прежнему остаются весьма акту-

альными. При этом качество результатов или эффективность

вычислительных экспериментов существенно зависит от уровня

адекватности теоретической модели реальному физическому процессу.

Предлагается, следуя работу А.Л. Фрадкова

, для описания процесса

поляризации воспользоваться, наряду с традиционными,

кибернетической моделью, позволяющей описать свойства физической

системы с помощью обратных связей.

Модель Клаузиса-Мосотти-Лорентц-Лоренца

Известно, что количественной мерой результата поляризации мате-

риала служит его поляризованность − P, которую можно описать выра-

жением:

∑

nEP

, (7.1)

Фрадков А.Л. Исследование физических систем при помощи обратных связей // Автоматика и

телемеханика. 1999. № 3. С. 213-229.

112

где Е

−

напряженность электрического поля внутри диэлектрика; K

−

число разновидностей индуцированных диполей; n

− соответственно

концентрации и поляризуемости частиц.

Для вычисления диэлектрической проницаемости материала −

традиционно используются соотношения, связывающие

с поляризуемо-

стями частиц, составляющих диэлектрик.

Следует отметить ради полноты изложения, что при вычислении ди-

электрической проницаемости газов обычно используется формула Бор-

на:

∑

, (7.2)

где

− электрическая постоянная (8,85418782⋅10

−12

Ф/м), при выводе ко-

торой предполагается, что E определяется напряженностью среднего

макроскопического поля E

ср

в материале:

010

EEEEE

−=−==

, (7.3)

где E

− напряженность внешнего поля; E

− напряженность деполяри-

зующего поля, обусловливаемого наведенными поверхностными заряда-

ми. Действительно, если в выражении (3) осуществить замену E

E, то в

результате преобразований получим соотношение:

)1(

−

εε

, (7.4)

из которого, с учетом выражения (7.1), будет следовать соотношение

(7.2). Итак, если формула (7.2) применяется для газов, то расчет диэлек-

трической проницаемости конденсированных материалов обычно осуще-

ствляется по формуле Клаузиуса-Мосотти:

∑

−

εε

. (7.5)

Здесь, согласно модели Лорентца, величина E определяется, в отли-

чие от выражения (3), не только напряженностью среднего макроскопи-

ческого поля, но и напряженностями внутренних полей

EEEE

++= , (7.6)

где E

− напряженность поля, создаваемого поляризованными молекула-

ми, окружающими сферу Лорентца, а E

− напряженность поля, образо-

ванного молекулами, находящимися внутри сферы.

Значения напряженностей E

и E

определяются следующим обра-

зом:

113

== E

. (7.7)

Из выражения (7.6), с учетом (7.1), (7.4), (7.7), можно записать соот-

ношение

∑













−

EEPP

0000

3)1(3)1(

εεεεεε

, (7.8)

из которого непосредственно вытекает формула Клаузиуса-Мосотти.

При исследовании частотных характеристик материала, его диэлек-

трическую проницаемость принято рассматривать как комплексную

функцию

), т.е. формулы (7.2) и (7.5) принимают вид, во-первых, мо-

дели Борна

)(

1)(

ωα

ωε

jnj

∑

, (7.9)

и, во-вторых, модели Клаузиуса-Мосотти-Лорентц-Лоренца

)(

2)(

1)(

ωα

εωε

∑

−

, (7.10)

где

(jω) − так называемые комплексные поляризуемости частиц вида:

ωωω

ωα

)(

+−

. (7.11)

При получении явного вида функций

(jω), используется матема-

тическое описание процесса поляризации, в котором участвует отдельно

взятая заряженная частица. Если же ограничится рассмотрением только

одного вида поляризации − упругой электронной, то этот процесс можно

описать системой уравнений:

KktE

,1),()(

)(

==++

µω

, (7.12)

где k

−

индекс разновидности иона; K

−

их число;

(t) − индуцированный

дипольный момент электронного облака отдельного иона;

и b

− соб-

ственная частота и коэффициент затухания колебаний облака; q

и m

−

его заряд и масса; E

(t) − напряженность внешнего переменного электри-

ческого поля с малой амплитудой.

Кибернетическая модель

Как уже отмечалось, напряженность поля в диэлектрике E определя-

ется как напряженностями внешнего и деполяризующего полей (E

и E

так и напряженностями внутренних полей (E

и E

). Однако в отличие от

выражения (7.6), где использовалось описание поля с напряженностью

114

ср

, напряженность поля внутри диэлектрика E, подобно известным ре-

зультатам (например, см. [7]), можно записать в виде:

∑

−=++−=

nEEEEEE

03210

, (7.13)

где

E − индуцированный дипольный момент частицы i-й разновид-

ности.

Кроме того, при составлении математической модели процесса по-

ляризации диэлектрика, будем учитывать как напряженность внешнего

поля E

(t), так и напряженности других действующих полей. Относитель-

но уравнения (7.12) это означает, что для его правой части справедлива

замена E

(t)→E(t), приводящая к математической модели вида:

)()(

)(

=++

µω

, (7.14)

где напряженность E(t) согласно соотношению (7.13) описывается выра-

жением

∑

−=

tntEtE

)(

)()(

. (7.15)

Тогда с целью построения модели рассматриваемого процесса поля-

ризации диэлектрика, в результате объединения набора соотношений ти-

па (7.14), описывающих все виды поляризации и выражения (7.15), мож-

но получить следующую систему уравнений:

.,1,)(

)(

KktntE













−=

=++

∑

µω

(7.16)

С позиции технической кибернетики, уравнения (7.16) можно рас-

сматривать как математическую модель некоторой замкнутой линейной

системы управления с отрицательной обратной связью. При этом если

уравнения (7.14), (7.15), записать в изображениях и преобразовать к виду

)(

,,1),()()(

,)(

)()(

sbs

KksEss

snsEsE

αµ

−=

∑

(7.17)

где s − комплексная переменная;

(s), E(s) и E

(s) − изображения по Лап-

ласу функций

(t), E(t) и E

(t);

(s) − передаточная функция, то струк-

турную схему процесса поляризации диэлектрика можно представить в

виде, показанном на рис. 7.1.

Рис. 7.1. Структурная схема процесса упругой

электронной поляризации диэлектрика.

Важно отметить, что как для системы (7.17), так и для структурной

схемы (рис. 7.1), можно записать уравнение "кибернетической связи" ти-

па выход-вход между напряженностями внутреннего и внешнего полей, а

именно:

∑

sWsEsWsE

)(

)(),()()(

, (7.18)

где W(s) − передаточная функция "связи".

Значение передаточной функции W(s) состоит еще и в том, что с ее

помощью, путем замены s→j

, можно получить выражение вида:

∑

)(

ωα

. (7.19)

Однако при исследовании свойств диэлектриков данное частотное

соотношение и ему подобные не применяются, поскольку в физике об-

щепринято использовать функцию

) − комплексную диэлектрическую

проницаемость материала, обратную функции W(j

), − например, функ-

циональные зависимости (7.9), (7.10).

Таким образом, на основании уравнения (7.19) будет иметь место

новая функциональная зависимость

)(

1)(

ωα

ωε

jnj

∑

, (7.20)

которую в дальнейшем будем называть кибернетической моделью про-

цесса поляризации, а для расчета

будем использовать формулу:

∑

. (7.21)

115

Вариативность параметрического синтеза

Известно, что в диапазоне ближних инфракрасных, видимых и ульт-

рафиолетовых частот внешнего поля диэлектрическая проницаемость ма-

териала определяется исключительно упругой электронной поляризацией

ионов, поскольку на этих частотах другие ее виды не проявляются из-за

своей инерционности. Кроме того, для расчета частотных характеристик

) с использованием моделей вида (7.10), (7.20) в указанном частотном

диапазоне и в соответствии с уравнением типа (7.12) требуется предвари-

тельно определить числовые значения таких параметров как заряд, масса,

коэффициент затухания и частота собственных колебаний электронного

облака каждого вида ионов, составляющих диэлектрик.

Первый вариант. С одной стороны, для системы уравнений (7.12),

описывающей процесс упругой электронной поляризации, предлагается

использовать следующие значения q

и m

ekk

mmeq == , , (7.22)

где e и m

− заряд (1,6021892⋅10

−19

Кл) и масса (0,9109534⋅10

−30

кг) элек-

трона. При этом, значения частот собственных колебаний

определя-

ются через коэффициент квазиупругой связи, обусловленной силой куло-

новского взаимодействия электрона с единично заряженным ядром, вида

πε

, (7.23)

где r

− ионные радиусы, а величины коэффициентов затухания b

рас-

считываются по излучению элементарных электронных диполей сле-

дующим образом:

, (7.24)

где

− магнитная постоянная (12,5663706144⋅10

−7

Гн/м); c − скорость

света в вакууме (2,99792458⋅10

м/с).

Второй вариант. С другой стороны, поскольку электронные облака

ионов обычно содержат более одного электрона, то это, видимо, необхо-

димо учитывать в расчетах. Электронные поляризуемости ионов значи-

тельно возрастают с ростом их радиусов, поскольку наибольшее смеще-

ние под действием поля испытывают внешние (оптические) электроны

вследствие уменьшения притяжения между ними и ядром. Внутренние

электроны находятся гораздо ближе к ядру, и, кроме того, на них дейст-

вует более высокий эффективный заряд, поэтому их поляризация весьма

несущественна по сравнению с поляризацией внешних электронов.

Поэтому для описания электронной поляризации иона k-й разновид-

116

ности можно воспользоваться уравнением колебаний его оптической

оболочки относительно экранизированного атомного остатка с эффек-

тивным зарядом − Q

e. При этом заряд и масса электронного облака обу-

словливаются числом электронов Z

, входящих в состав оптической обо-

лочки:

ekkkk

mZmeZq == , . (7.25)

В рамках такого подхода параметры

и b

следует вычислять по

формулам:

πε

. (7.26)

Вычислительный эксперимент

С целью оценки эффективности каждой из рассматриваемых мате-

матических моделей, во-первых, был проведен вычислительный экспе-

римент, связанный с определением диэлектрической проницаемости кон-

денсированных материалов, а именно − с расчетом вещественных частот-

ных характеристик

) −

′ по функциональным зависимостям (7.10),

(7.20), преобразованных к виду:

()

(

)

()

4)(

4)(3

4)(

4)(3

22222

222

22222

222

22222

222

22222

222













+−













+−

−













+−

−













+−













+−

−













+−

−













+−

−

′

∑∑

∑

∑∑

iiii

mqnb

mqn

mqnb

mqn

ωωω

εωωω

ωω

ωωω

εωωω

ωω

ωωω

ωω

εωωω

ωω

(7.27)

()

∑

+−

−

′

iiii

mqn

22222

222

4)(3

ωωω

, (7.28)

а во-вторых, было выполнено сравнение полученных кривых с данными

физического эксперимента.Исходные данные для кристалла NaCl, необ-

ходимые для проведения вычислительного эксперимента, приведены в

табл. 7.1.

Таблица 7.1.

Ион k Z

(A)

1 8 9

2.2311⋅10

0,98

−

2 8 7

2.2311⋅10

1,81

117

Результаты вычислительного эксперимента для различных вариан-

тов параметрического синтеза коэффициентов

и b

представлены: по

уравнениям (7.11), (7.22), (7.23), (7.24) и (7.27) − на рис. 7.2a; по уравне-

ниям (7.11), (7.22), (7.23), (7.24) и (7.28) − на рис. 7.2b; по уравнениям

(7.11), (7.25), (7.26) и (7.27) − на рис. 7.2с; по уравнениям (7.11), (7.25),

(7.26) и (7.28) − на рис. 7.2d, где эксперимент – сплошная линия.

Рис. 7.2. Моделирование

′ для NaCl.

Представленные результаты показывают существенное преимуще-

ство кибернетической модели по сравнению с моделью Клаузиуса-

Мосотти. Действительно, по крайней мере в области электронной упру-

гой поляризации диэлектриков модель, построенная с использованием

кибернетического принципа – обратных связей, дает практически мини-

мальный уровень отклонений между результатами теоретических расче-

тов и экспериментальными данными.

7.2 Длинноволновый спектр оптического показателя

преломления воды

Вода является самым распространенным природным диэлектриком,

вызывающим неослабевающий интерес к всесторонним исследованиям

его свойств. Именно это обстоятельство обусловливает наличие доста-

точно полного набора данных физических экспериментов, позволяющего

118

достоверно оценить адекватность существующих и предлагаемых мате-

матических моделей, описывающих поляризационные процессы, проис-

ходящие в аналогичных материалах.

Кибернетическая модель процесса поляризации диэлектрика

В п. 7.1 рассмотрено построение математической модели процесса

упругой электронной поляризации конденсированных диэлектриков, по-

лученной с помощью выделения обратных связей.

Проведенные вычислительные эксперименты, направленные на

имитационное моделирование поляризационных характеристик ряда

ионных кристаллов, показали наибольшую адекватность предложенной

кибернетической модели диэлектрической проницаемости материалов

реальным физическим свойствам по сравнению с другими подобными

уравнениями.

Однако использование традиционных подходов для расчета пара-

метров процессов оказалось недостаточно эффективным с точки зрения

величины отклонения моделируемых спектров от результатов их практи-

ческих измерений.

В диапазоне частот установления электронной поляризации ионов

динамическая модель процесса поляризации воды, учитывая однотип-

ность ионного состава H

O, может быть описана уравнением:













−=++ NttE

)(

µω

, (7.29)

где

(t) − индуцированный электронный дипольный момент ионов О

;

0е

− соответственно коэффициент затухания и частота собственных

колебаний оптической оболочки иона; e и т

− заряд и масса электрона;

(t) − функция напряженности внешнего электрического поля;

− элек-

трическая остоянная; N − концентрация ионов кислорода. Значения па-

раметров электронной поляризации ионов (

) могут быть опре-

делены аналитически с помощью следующих формул:

эф

ωµ

πε

;

== , (7.30)

где Z

эф

− эффективный заряд ядра, действующий на электроны оптиче-

ской оболочки ионов, определяемый по методике Слейтора; r

− радиус

оптической оболочки;

− магнитная постоянная; с − скорость света в

вакууме.

Непосредственно на основании выражения (7.29) комплексную ди-

электрическую проницаемость воды −

) можно представить в виде:

119

Njj

)(

1)(

ωα

ωε

, (7.31)

а через вещественную и мнимую частотные характеристики

) соот-

ветственно

ε′

(

) и

ε″

(

,)(

)(,)(

1)(

),()()(

ωα

ωεωα

ωε

′′

′′′

′

′′

′

(7.32)

где

α′

(

) и

α″

(

) − вещественная и мнимая частотные характеристики

комплексной электронной поляризуемости иона.

В свою очередь зависимости

α′

(

) и

α″

(

) будут иметь вид

()

8)(

ωβωω

ωβ

ωα

ωβωω

ωα

+−

′′

+−

−

′

(7.33)

Уравнение оптического показателя преломления

Изучение влияния структуры и химического состава вещества на

поляризационные свойства можно проводить на основе анализа спектров

его оптического показателя преломления − n, характеризующего, во

сколько раз уменьшается скорость света в рассматриваемой среде по от-

ношению к его скорости в вакууме. Известно, что электрическая состав-

ляющая светового потока гораздо существеннее магнитной, т.е. прелом-

ление света определяется преимущественно электрической поляризацией

частиц, составляющих диэлектрик. Таким образом, для отображения за-

висимости n(

) можно использовать уравнение вида:

()()

)()()(

)(

ωεωεωε

′′

′

. (7.34)

Необходимо отметить, что при исследовании оптических свойств

материалов традиционно более распространены не частотные характери-

стики, а аналогичные им длинноволновые спектры, переход к которым

осуществляется с помощью пересчета значений рассматриваемого диапа-

зона круговых частот в эквивалентные длины волн по формуле:

с/

Результаты моделирования длинноволнового спектра показателя

преломления воды, полученного на основании уравнений (7.30), (7.32) –

(7.34) в области установления процессов ее упругой электронной поляри-

120