Еремин Е.Л., Еремина В.В., Капитонова М.С. Математическое и компьютерное моделирование

Подождите немного. Документ загружается.

Учитывая структуру матрицы

и формулу (2.77), для матрицы

непосредственно находим













С учетом этого из (2.101) получаем:

].['][']1[

x +=+ (2.102)

Сравнивая (2.102) с (2.82), имеем очевидный факт – матрицы Р и Q

в (2.82) совпадают с матрицами Р' и Q'. Другими словами, они могут быть

получены как соответствующие подматрицы матрицы

вида (2.101).

2.3.5. Вычисление передаточной функции дискретной модели

Уже отмечалось, что уравнение (2.89) описывает дискретную систе-

му с помощью передаточной функции, вычисленной по разностному

уравнению (2.82), исходя из преобразования уравнений состояния непре-

рывной системы (2.81).

Однако можно получить и приближенное решение задачи, при кото-

ром искомая функция W(z) определяется непосредственной заменой ар-

гумента s в W(s). Эти формулы основаны на "линейных" аппроксимациях

Паде (

), в которых значения

не превышают единицы.

Для формулы аппроксимации Эйлера (2.91)

в (2.89) следует подста-

вить Р = Е + АТ

и, как показано в п. 2.3.4, учесть Q = ВТ

. Таким обра-

зом, получаем

() ( )

)1()(

BTATEzCQPzECzW

−













−

=−−=−=

(2.103)

Теперь при сравнении выражения (2.103) с формулой W(s) = C(sE –

-1

B становится вполне очевидным, что W(z) можно получить прибли-

женно из W(s) с помощью следующей замены аргумента:

)()(

sWzW

−

= . (2.104)

Для формулы неявного метода Эйлера (2.96), аналогичным образом

получаем

)(

−

= . (2.105)

Для формулы с аппроксимацией Паде (1, 1) после некоторых преоб-

разований получаем подстановку метода Тастина

)(

−

zW . (2.106)

Точность приведенных методов зависит от соотношения между ин-

тервалом Т

и наименьшей постоянной времени непрерывной системы

W(s).

2.3.6. Устойчивость дискретных моделей

Процедура построения дискретных моделей непрерывных систем

всегда сопровождается требованием о сохранении свойства устойчиво-

сти: устойчивая непрерывная система должна приводить к устойчивой

дискретной одели, а в случае неустойчивой исходной системы ее дис-

кретная модель тоже должна получиться неустойчивой.

Для точных методов перехода это требование выполнено, а для при-

ближенных не всегда.

Точный подход

. Как известно, асимптотическая устойчивость ли-

нейных непрерывных систем имеет место, если корни характеристиче-

ского многочлена (собственные числа) матрицы А в (2.81) имеют отрица-

тельные вещественные части, т.е.

Re s

< 0 при det(s

E – A) = 0, i =1,…, n.

При этом дискретная система (2.82) будет асимптотически устойчи-

вой, если корни ее характеристического многочлена удовлетворяют усло-

вию

 z

< 1 при det(z

E – P) = 0, i =1,…, n.

Известно следующее утверждение: согласно точной формуле (2.87)

= , следовательно, во-первых, собственные числа z

матрицы Р оп-

ределяются соотношением

, i =1,…, n, во-вторых, при всех Т

ez =

> 0

выполнено {Re

< 0 ⇔  z

< 1}, в-третьих, свойства устойчивости сис-

тем (2.81) и (2.82) эквивалентны.

Метод Эйлера

. Согласно этому методу по (2.91) получаем равенство

Р = Е + АТ

. Следовательно, z

= 1+ s

, i =1,…, n.

Проверка условия устойчивости 

< 1 приводит к следующим

неравенствам:

()

.,...,1,Im,Re,11

nisTsT

iiiiii

===<++

βαβα

(2.107)

Условие (2.107) означает, что значения корней характеристического

многочлена системы, умноженные на интервал квантования, должны на-

ходиться на комплексной плоскости внутри круга единичного радиуса с

центром в точке (–1, j0). Это эквивалентно неравенству

min2

T =

(2.108)

Область применения явного метода Эйлера существенно ограничи-

вается малыми (относительно модулей собственных чисел системы) зна-

чениями Т

Неявный метод Эйлера

. Согласно формуле (2.96) Р = (Е – А

)

-1

име-

ем

,,...,1,

−

следовательно, условие  z

< 1 приводит к неравенствам

()

.,...,1,Im,Re,11

nisTsT

iiiiii

===>+−

βαβα

(2.109)

Условие (2.109) означает, что корни характеристического многочле-

на системы, умноженные на интервал квантования, должны находиться

на комплексной плоскости вне окружности единичного радиуса с цен-

тром в точке (1, j0).

Из этого следует, что при такой аппроксимации для любой устойчи-

вой непрерывной системы будет получена устойчивая дискретная модель

при всех (а не только малых) Т

> 0.

Следует отметить, что свойства устойчивости непрерывных и дис-

кретных моделей не будут эквивалентными: устойчивые дискретные мо-

дели могут получиться и для неустойчивых исходных непрерывных сис-

тем.

Точность аппроксимации по этому методу невелика.

Аппроксимация Паде при

. Можно показать, что для аппрокси-

маций Паде (

) при

, Т

> 0 справедливо {Re s

< 0 ⇔  z

< 1}.

Таким образом, при их использовании устойчивость системы (2.81) экви-

валентна устойчивости системы (2.82). В частности, это свойство выпол-

нено для рассмотренных выше аппроксимаций (2.97) и (2.98).

Устойчивость методов численного интегрирования

. Можно устано-

вить тесную связь между рассмотренными методами построения дис-

кретных моделей непрерывных систем и методами численного решения

задач Коши.

Пусть требуется проинтегрировать уравнение

.0,)0(),,(

)(

≥== txxtxf

tdx

(2.110)

Известно, что его решение может быть получено в виде некоторого

рекуррентного соотношения x

k+1

, k), где k = 0, 1, 2, … – номер шага

(итерации), а значения x

соответствуют значениям искомой функции x(t)

в дискретные моменты времени t

= kh, где h > 0 – шаг интегрирования.

Вид функции

, k) определяется по искомой функции f(x, t) согласно

выбранному методу численного интегрирования.

Например, используя метод Эйлера, получаем хорошо известную

формулу

.,...2,1,0,,),(

⋅

=+=

khkthtxfxx

kkkkk

(2.111)

Более подробно рассмотрим случай, когда функция f(x, t) линейна

по x и уравнение (2.110) может быть представлено в виде

),(

)(

tAx

tdx

+= (2.112)

где А – nxn-матрица. Формула метода Эйлера (2.111) приводит к разност-

ному уравнению

()

.)(

htxAhEx

kkk

++=

(2.113)

Обратим внимание на то, что уравнение (2.113) с точностью до обо-

значений совпадает с уравнением (2.82), в котором матрицы P, Q получе-

ны на основе приближенной формулы (2.91) для матричной экспоненты.

Устойчивость полученной численной процедуры определяется при-

веденными в п. 2.3.1 свойствами данной аппроксимации: так, для А и Т

h должно выполняться неравенство (2.107).

Следовательно, если собственные числа системы велики по модулю

(что соответствует малым по величине постоянным времени), то для по-

лучения устойчивого решения необходимо выбирать шаг интегрирования

h достаточно малым. Это приводит к значительным затратам машинного

времени, а также надо иметь в виду, что уменьшение величины h вызыва-

ет увеличение инструментальных ошибок, связанных с конечностью раз-

рядной сетки ЦВМ.

Подобным свойством обладают все так называемые явные методы

численного интегрирования, которые для линейных стационарных систем

сводятся к аппроксимации Тейлора (2.90).

Отметим, что недостатки явных методов заметно проявляют себя

при решении жестких систем, у которых собственные значения отлича-

ются друг от друга по модулю на несколько порядков.

3. МОДЕЛИ И ХАРАКТЕРИСТИКИ

ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ

Структурную схему любой линейной системы, как правило, можно

представить в виде соединения элементарных динамических звеньев, по-

рядок дифференциальных уравнений которых будет не выше второго по-

рядка. Общепринято каждое из таких звеньев включать в состав одной из

трех групп – позиционных, интегрирующих или дифференцирующих

звеньев. Классификационным признаком, позволяющим отнести звено к

соответствующей группе является его уравнение, описывающее поведе-

ние звена в статике, т.е. в установившемся режиме.

3.1. Группа позиционных звеньев

В группу позиционных звеньев обычно включаются безынерцион-

ное, инерционные 1-го и 2-го порядков, колебательное. Все эти звенья в

установившемся режиме описываются одинаковым уравнением вида

.),()( cons

(3.1)

3.1.1. Безынерционное звено

Это звено часто называют статическим, усилительным, масштаб-

ным, пропорциональным и описывают уравнением вида (3.1). Примеры

безынерционного звена даны на рис. 3.1, где изображены: а) редуктор; b)

делитель напряжения; c) электронный усилитель.

Согласно уравнению (3.1) передаточная функция имеет вид

.)(

(3.2)

Переходной процесс описывается уравнением

)(1)(

h =

, (3.3)

а импульсная переходная характеристика уравнением вида

)()(

. (3.4)

Рис. 3.1.

График функции h(t), построенный при

значении коэффициента передачи k = 3 и со-

гласно выражению (3.3), показан на рис. 3.2.

Рис. 3.2.

График же функции ω(t) вида (3.4) не име-

ет строгой физической интерпретации и его

реализация может быть лишь приближенной, в

частности – в виде прямоугольного сигнала с

большой амплитудой и малым интервалом вре-

мени, причем площадь такого сигнала, согласно

уравнению (3.4), должна быть равной k.

Частотная передаточная функция описывается уравнением

=)(

, (3.5)

годограф которой (точка на плоскости) изображен на рис. 3.3.

Рис. 3.3.

Представив частотную передаточную функцию вида (3.5) как ком-

плексное выражение, представленное соответственно в полярных и пря-

моугольных координатах, получим частотные характеристики:

амплитудную

== )())(mod(

; (3.6)

фазовую

0)())(arg( ==

; (3.7)

вещественную

== )())(Re(

; (3.8)

мнимую

0)())(Im( ==

. (3.9)

Графики частотных характеристик (3.6) – (3.9) безынерционного

звена со значением коэффициента k = 3 показаны на рис. 3.4.

Рис. 3.4.

1.1.2. Инерционное звено 1-го порядка

Звено также называют апериодическим 1-го порядка и описывают

уравнением вида

kux

T =+

, T [c], k = const > 0. (3.10)

В частности, известно, что дифференциальное уравнение движения

электродвигателя, при отсутствии момента нагрузки на валу, можно опи-

сать уравнением

−=

, (3.11)

где

– скорость вращения; M

– пусковой момент; J – суммарный момент

инерции, приведенный к валу двигателя; υ

– скорость вращения холо-

стого хода; E – управляющее воздействие; K

– коэффициент пропорцио-

нальности между вращающим моментом и управляющим воздействием;

– вращающий момент.

Если уравнение (3.11) представить в первой форме записи

то используя новые обозначения:

,,,,

TEux

∆∆∆∆

====

получим уравнение, вид которого будет в точности совпадать с уравне-

нием (3.10).

Примеры инерционного звена 1-го приведены на рис. 3.5, где изо-

бражены: a) резервуар с газом (ресивер); b) электрический двигатель; c)

RC – цепочка; d) тепловой объект; e) резервуар с жидкостью.

Рис. 3.5.

Передаточная функция звена имеет вид

1)(

)(

. (3.12)

Поскольку для характеристического уравнения

01 =+Ts ,

корень определяется соотношением

−=

то уравнение связи вход-выход, согласно (3.12), будет следующим:

)(

−

которое, для входного сигнала u(t) = 1(t) и его изображения

dtetsu

)(1)(

∫

∞

−

перепишется в виде

)(

sss

−

. (3.13)

Теперь, используя таблицу обратных преобразований Лапласа, легко

найти решение уравнения (3.10), в частности – переходной процесс опре-

делится соотношением

)1(

)(

sss

Lth

−

−=













−

, (3.14)

из которого, в результате дифференцирования функции h(t) получается

уравнение импульсной переходной характеристики

)(

tdh

−

(3.15)

Графики временных характеристик инерционного звена 1-го поряд-

ка, построенные для значений коэффициента передачи k = 5 и постоянной

времени Т = 2 (с), представлены на рис. 3.6.

Рис. 3.6.

Из уравнения (3.12) следует, что частотная передаточная функция

инерционного звена 1-го порядка имеет вид

)(

, (3.16)

годограф которой со значениями k = 5 и Т = 2 изображен на рис. 3.7.

Частотную передаточную функцию (3.16) можно описать как в по-

лярных координат с помощью выражений

)(

arct

−

=)( , (3.17)

так и в прямоугольных координатах, используя соотношения

2222

)(,

)(

−

. (3.18)

Графики частотных характеристик (3.17), (3.18), построенные при

значениях k = 5 и Т = 2, представлены на рис. 3.8.