Егоров-Тисменко Ю.К. Кристаллография и кристаллохимия

Подождите немного. Документ загружается.

530

Кристаллография и кристаллохимия

Элементы симметрии. Симметрические операции.

Простые формы кристаллов и их характеристики

13. Какой элемент симметрии (и соответственно какая симметриче-

ская операция) связывает грани (фигуры) на проекции (рис. I)? Нане-

сти этот элемент на чертеж, обратив внимание на то, что одни фигуры

правые (П), другие — левые (Л). Крестиком обозначены нижние грани,

кружком

—

верхние или вертикальные.

Рис.

I. К задаче 13

14. В каком классе симметрии можно получить указанное на рис. II

расположение граней, принадлежащих одной простой форме? Нанести

на график элементы симметрии этого класса и дать характеристику про-

стой формы: открытая или закрытая, частная или общая.

Рис.

II. К задаче 14

Упражнения

531

15. Размножить исходную грань (фигуру) указанными элементами

симметрии (рис. III), обозначив при этом, какие из полученных граней

будут правыми (П), а какие

—

левыми (Л)

1 2 3 4 5 6

Рис. III. К задаче 15

Фигура, расположенная на зеркальной плоскости симметрии, является

одновременно и правой, и левой, т. е. нейтральной.

532

Кристаллография и кристаллохимия

16. В каких классах симметрии можно получить указанное на про-

екции (рис. IV) расположение граней, принадлежащих одной простой

форме? Нанести на графики элементы симметрии этих классов. Дать ха-

рактеристику простой формы в каждом классе: открытая или закрытая,

частная или общая.

Рис. IV. К задаче 16

17. В классе симметрии, содержащем две взаимно перпендикулярные

плоскости симметрии и поворотную ось 2-го порядка, которая совпадает

с линией пересечения плоскостей, нанести грани принципиально разного

положения относительно указанных элементов симметрии; размножить

их, обозначив одинаковыми цифрами грани, принадлежащие одной про-

стой форме; дать характеристику каждой полученной простой форме:

количество граней, частная или общая, открытая или закрытая.

18. В классе симметрии с тремя взаимно перпендикулярными пово-

ротными осями 2-го порядка (одна из которых вертикальная) размно-

жить грани принципиально разного положения относительно указанных

элементов симметрии и, обозначив грани, принадлежащие одной простой

форме, одинаковыми цифрами, дать характеристику полученным простым

формам: количество граней, частная или общая, открытая или закрытая.

19. В классе симметрии с одной вертикальной осью 3-го порядка

и тремя также вертикальными, расположенными под углом 60° одна

к другой зеркальными плоскостями симметрии, проходящими через

эту ось, нанести грани принципиально разного положения относитель-

но указанных элементов симметрии и, обозначив грани, принадлежащие

одной простой форме, одинаковыми цифрами, дать характеристику по-

лученным простым формам: количество граней, частная или общая, от-

крытая или закрытая.

20. Продемонстрировать на графиках действие инверсионных осей 3,

4 и 6-го порядков. Указать, какие из них содержат реальный центр ин-

версии.

21. Продемонстрировать на графиках действие зеркально-поворот-

ных осей 3, 4 и 6-го порядков. Указать, какие из них содержат реальную

зеркальную плоскость симметрии, перпендикулярную указанной оси.

Упражнения

533

22. Показать на графике (рис. V) результирующий элемент симмет-

рии, возникший при взаимодействии симметрических операций, задан-

ных указанными на проекции элементами симметрии.

Рис.

V. К задаче 22

23. Какой порожденный элемент симметрии задает симметрическую

операцию, связывающую исходную фигурку и полученную после прове-

дения указанных симметрических операций (показать на проекции):

а) отражение в горизонтальной плоскости симметрии и последу-

ющий поворот по часовой стрелке вокруг перпендикулярной пло-

скости оси 4-го порядка;

б) отражение в центре инверсии и поворот вокруг вертикальной оси

6-го порядка;

в) поворот вокруг оси 4-го порядка и отражение в центре инверсии,

расположенном на этой оси;

г) поворот вокруг оси 3-го порядка и отражение в центре инверсии,

расположенном на этой оси;

д) отражение в вертикальной плоскости симметрии и поворот во-

круг оси 2-го порядка, перпендикулярной этой гглоскости;

е) поворот вокруг вертикальной оси 2-го порядка и последующий

поворот вокруг перпендикулярной ей оси 2-го порядка;

ж) отражение в вертикальной плоскости симметрии и последующее

отражение в горизонтальной плоскости;

з) поворот вокруг горизонтальной оси 2-го порядка и отражение

в центре инверсии, расположенном на этой оси.

534

Кристаллография и кристаллохимия

Взаимодействие элементов симметрии (симметрических операций).

Группы (классы) симметрии. Их обозначения в международной символике

(символике Германна-Могена) и в символике Шенфлиса

24. Пользуясь теоремами взаимодействия симметрических операций,

заданных элементами симметрии на рис. VI, и записывая последователь-

ность рассматриваемых взаимодействий, вывести класс симметрии, на-

рисовать его стереографическую проекцию, обозначив на ней исходные

и полученные элементы симметрии. Записать выведенный класс сим-

метрии в символиках Браве, Шенфлиса и Германна-Могена, предвари-

тельно обозначив на графике направления координатных осей X, У и Z.

Рис. VI. К задаче 24

Упражнения

535

25. Какие классы симметрии будут получены, если к операциям клас-

сов 222, 422, 42т, 32, 43т добавить операцию инверсии в точке (7)?

26. Записать результирующий элемент симметрии, возникающий при

последовательном проведении операций симметрии, заданных совпада-

ющими осями 3-го и 2-го порядков:

а) 3-2= 32= 3-2= 3-2= ;

б) 3.2= 3-2= 3-2= 3-2= •

27. Какой класс симметрии возникнет, если совместить следующие

оси симметрии: 4 и 4, 3 м 3, 6 и 6?

28. Построить стереограммы следующих классов симметрии и обо-

значить их в символиках Шенфлиса и Герман на-Могена, предваритель-

но нанеся на график направления координатных осей X, YwZ:

PC, L

3P,

PC, L^L,, L

3L.

dP, L

3PC,

2L.

2P.

29. Вычертить стереограммы и записать в символиках Браве и Шен-

флиса следующие классы симметрии:

а) 32, 23, Зт, тУ,

б) —, 42т, 43т, 6-

30. Записать в символиках Браве и Германна-Могена следующие

классы симметрии:

а) C

, D

, C.

, D

, О;

б) D

, D

„ C.

, D

, T„ T.

Координатный метод представления симметрических операций

31. Какие координаты приобретет точка с координатами xyz после

следующих симметрических операций (показать на графике):

а) отражение в зеркальной плоскости т

б) отражение в зеркальной плоскости т

в) отражение в диагональной плоскости m

;

г) поворот вокруг оси 2-го порядка (2);

д) поворот вокруг оси 2-го порядка (2

);

е) поворот вокруг оси 2-го порядка (2 );

ж) один поворот против часовой стрелки вокруг оси 6-го порядка ( б'

);

з) три поворота против часовой стрелки вокруг оси 4-го порядка ( 41);

и) четыре поворота против часовой стрелки вокруг оси 6-го порядка

(С);

к) один поворот против часовой стрелки вокруг инверсионной оси

4-го порядка ( 4

);

536

Кристаллография и кристаллохимия

л) два поворота по часовой стрелке вокруг оси 4-го порядка ( 4

);

м) три поворота по часовой стрелке вокруг оси 6-го порядка (б?);

н) один поворот против часовой стрелки вокруг оси 4-го порядка ( 4\);

о) два поворота против часовой стрелки вокруг оси 6-го порядка (в

, );

п) один поворот по часовой стрелке вокруг инверсионной оси 3-го

порядка (

3~-J

);

р) один поворот по часовой стрелке вокруг зеркальной оси 4-го по-

рядка ( 4:');

с) один поворот против часовой стрелки вокруг инверсионной оси

6-го порядка (б

/);

т) два поворота по часовой стрелке вокруг зеркальной оси 3-го по-

рядка ( yi);

у) два поворота против часовой стрелки вокруг зеркальной оси 6-го

порядка (

"0;

ф) один поворот вокруг зеркальной оси 2-го порядка ( )•

32. Какие координаты получит точка с координатами xyz после про-

ведения следующих симметрических операций (показать на графике):

а) поворот вокруг ос

и отражение в зеркальной плоскости симмет-

рии (т

), перпендикулярной этой оси;

б) один поворот вокруг оси 4

против часовой стрелки и отражение

в центре инверсии, расположенном на этой оси;

в) два поворота вокруг оси 4

против часовой стрелки и отражение

в центре инверсии, расположенном на этой оси;

г) один поворот вокруг оси 4

против часовой стрелки и отражение

в вертикальной диагональной плоскости т

, проходящей через

эту ось;

д) поворот вокруг оси 2

и затем вокруг оси 2

е) один поворот вокруг оси 3

против часовой стрелки и отражение

в центре инверсии, расположенном на этой оси;

ж) один поворот вокруг оси 6

против часовой стрелки и отражение в

горизонтальной плоскости m

;

з) один поворот вокруг оси 4

против часовой стрелки и отражение

в горизонтальной плоскости симметрии m

;

и) один поворот вокруг оси 4

по часовой стрелке и поворот вокруг

оси 2 ;

к) один поворот вокруг оси 3

по часовой стрелке и поворот вокруг

оси 2 .

33. Какая симметрическая операция связывает точку с координатами

xyz и точки с указанными координатами (показать на графике):

Упражнения

537

a) x(y~x)z; б) xyz; в) xyz; г) yxz;

д)

xyz; е) xyz; ж) yxz; з)

(x-#)xz;

и) хг/I;

к)

(x-z/)xz;

и) y(y-x)z; л) г/xz;

м) xz/z

;

о) y(x-y)z; п) [x-y)yz; р)

(г/-х)хг.

34. Записать координаты всех точек, полученных размножением точ-

ки

координатами

xyz

операциями симметрии следующих классов (по-

казать

на

графике):

а) 222,

б)-, в)

32,

г) 42т, д) 23.

Матричный метод описания симметрических операций

35. Какую симметрическую операцию отражает следующая матрица

преобразования координатной системы (показать

на

графике):

'О

т о

°1

Г0

а)

0 0

б)

0 0

в)

т 0 0

г)

0 0

)

0 0

'Т

0 0^

'О

(°

д)

0 е)

0 0

ж)

з)

)

0 т

)

0 0

0 (Г

'о

(Г п

и)

т 0

к)

л)

м) 0

)

(°

т 0^

н)

0 0

о)

0 0

п)

р)

)

0 т

)

36. Вывести группу, построив квадрат Кейли, приняв

качестве

генераторов указанные матрицы. Определить порядок группы. Запи-

сать группу

символике Браве

нарисовать

ее

стереографическую

проекцию:

"X 0

0 о

'Т

0 0^

Г0

а) 0

;

б)

0 0

)

1°

)

538

Кристаллография

и кристаллохимия

'Т

(

1 0

'Т

в)

I 0 0

;

г)

)

0 1

)

'Т

1 (Г

'Т

(Г

л)

о т

1 0

е)

0 и

0 1 0

0 1

)

(Г

'I 0

(°

ж)

)

з)

)

Точечные группы симметрии и антисимметрии

37. Построив квадрат Кейли, определить порядок следующих клас-

сов симметрии:

4 2

а) 32 и —; б) Зт и 42от; в) J и 4; г)

6>И2

и 422; д) mm2 и 222; е) — и ттт.

т т

Начертить стереограммы этих классов.

38. Вывести подгруппы следующих групп симметрии и записать их

групповые множества:

4 4 -

а) ттт; б) —; в) D.

; г) £>,

; д) —mm; е) Г; ж) Г; з) 422; и) шЗ; к)

39. Перечислить надгруппы удвоенного порядка к следующим груп-

пам симметрии:

а) 4; б) Зт; в) Зт; г) б; д) 222; е) mm2; ж) 432; з) 422; и) 42т-

Показать решения на стереограммах.

40. Вывести группы антисимметрии, изоморфные следующим клас-

сическим группам симметрии: —, —, —mm, 432, тЗт. В каждом слу-

т т т

чае выделить сохранившуюся классическую группу.

41. Вывести группы антисимметрии, классическими подгруппами

которых будут все группы 2-го порядка. То же для групп 4-го порядка.

42. Объяснить, почему невозможна группа, составленная лишь из

операций антисимметрии.

43. Вывести группы антисимметрии средней категории, классиче-

ские подгруппы которых имеют порядок 6. То же для подгрупп 12-го

порядка.

Упражнения

539

II. СИМВОЛЫ ГРАНЕЙ КРИСТАЛЛОВ

44. Показать на стереографических проекциях положения единич-

ных граней в кристаллах различных сингоний.

45. В каких случаях для определения символов граней не нужна еди-

ничная грань? Показать на стереограмме положения этих граней.

46. Гранями какого положения можно воспользоваться для определе-

ния символов остальных граней в кристаллах средней категории в слу-

чае отсутствия единичной грани? Объяснить.

47. Почему грань с символом (101) в кристалле тетрагональной син-

гоний может заменить единичную, а в ромбическом — нет?

48. Почему грань с символом (011) в кристалле тетрагональной

сингоний может заменить единичную грань, а с символом (ПО) — не

может?

49. Объяснить, почему для определения положения грани с символом

(210) в кристалле тетрагональной сингоний не нужно знать параметры

единичной грани, а в кристалле ромбической сингоний — нужно.

50. Единичная грань кристалла отсекает на координатных осях X, Y,

Z отрезки, равные соответственно 1, 2 и 3 см. Определить символ грани,

отсекающей на тех же осях отрезки 2, 2 и 3 см. К какой сингоний может

быть отнесен этот кристалл? В каком случае за единичную можно при-

нять вторую грань?

51. Единичная грань кристалла отсекает на координатных осях X, Y,

Z отрезки, равные соответственно 3, 3 и 4 см. Определить символ грани,

отсекающей на тех же осях отрезки 3, 6 и 6 см. К какой сингоний может

быть отнесен этот кристалл? В каком случае за единичную можно при-

нять вторую грань?

52. В кристалле ромбической сингоний грань А отсекает на коорди-

натных осях X, Y, Z отрезки, равные соответственно 1, 2 и 3 см, грань

В — соответственно 2, 1 и 3 см. Определить символы граней, если за еди-

ничную принять:

а) грань А;

б) грань В.

53. Параметры грани Л кристалла моноклинной сингоний составляют

2,3 и А см, параметры грани В равны 1,3 и 2 см. Определить символы гра-

ней, посчитав в качестве единичной сначала грань А, а затем — грань В.

54. В кристалле средней категории единичная грань отсекает на

оси X отрезок, равный 2 см, на оси Z — 3 см. Определить символ грани,