Доронин С.В. Проектные расчеты конструкций металлургического оборудования

Подождите немного. Документ загружается.

130

4. МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ В ПРОЕКТНЫХ

РАСЧЕТАХ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКОГО

ОБОРУДОВАНИЯ

Математическое моделирование технологических, кинематиче-

ских, энергетических и деформационных процессов в узлах и элементах

конструкций оборудования давно и в широких масштабах используется

при проектировании технологии и техники металлургического производ-

ства.

Однако в последние десятилетия само содержание этого понятия,

возможности математического моделирования и актуальность проблемы

создания математических моделей претерпели коренные изменения. Это

связано со стремительным прогрессом вычислительной техники и, как

следствие, с возможностью реализации сложных, подробных, а потому

весьма точных и содержательных математических моделей, позволяю-

щих получать расчетным путем обширную информацию о процессах раз-

личной природы, протекающих в узлах и элементах конструкций метал-

лургического оборудования.

В настоящее время в связи с широкой доступностью мощных

компьютеров главными качествами разрабатываемых математических

моделей становятся их достаточно высокая точность и объем получаемой

информации. Что касается сложности, то она не является больше препят-

ствием для их практического применения.

Среди всего многообразия аналитических и численных методов

математического моделирования рассмотрим получившие наибольшее

распространение методы моделирования полей температур, напряжений

и деформаций, а также оптимизации конструкций технологического обо-

рудования.

4.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКОГО

ОБОРУДОВАНИЯ

Для металлургического производства характерно множество са-

мых разнообразных и взаимосвязанных процессов. Это и теплоперенос, и

массообмен, и гидродинамические процессы в расплавах, а также изме-

нение агрегатного состояния вещества, деформационные явления под

131

действием силовых и термических нагрузок и т.п. Большинство таких

процессов может быть описано на основе дифференциальных уравнений

механики сплошной среды, отражающих объективные законы сохране-

ния массы, количества движения и энергии.

Большинство технологических процессов в металлургии проте-

кает при повышенных и высоких температурах. В связи с этим методы

термодинамики и теплотехнические расчеты находят широкое примене-

ние в моделировании работы печей и других типов металлургического

оборудования [6, 16].

Комплекс процессов, происходящих в рабочем пространстве

промышленной печи, подверженных влиянию окружающей среды и при-

водящих, в конечном счете, к изменению энтальпии обрабатываемого

материала, часто обозначают термином «тепловая работа печи». В ука-

занный комплекс входят в зависимости от типа печи различные процес-

сы: движение газов и жидкостей, горение топлива либо другие процессы

теплогенерации, процессы внешнего теплообмена в рабочем пространст-

ве печи и на поверхности обрабатываемого материала, процессы внут-

реннего теплообмена в этом материале, различные виды массообмена.

Все перечисленные процессы теснейшим образом взаимосвязаны и под-

вержены взаимному влиянию, что и определяет сложность проблемы

комплексного расчета тепловой работы промышленной печи, т.е. про-

блемы разработки ее математической модели.

В рамках металлургической теплотехники внутренним теплооб-

меном обычно называют процесс распространения тепла в подвергаемом

тепловой обработке материале. Поскольку в нагревательных и терми-

ческих печах таким материалом является твердый металл, задача внут-

реннего теплообмена для них формулируется в виде уравнения тепло-

проводности с соответствующими краевыми (начальными и граничными)

условиями. Встречающиеся на практике задачи нестационарной тепло-

проводности могут быть решены аналитическим путем лишь при исполь-

зовании весьма грубых и приводящих к значительным ошибкам упро-

щающих допущений, а потому требуют численного решения. Численные

методы решения задач нестационарной теплопроводности разработаны

весьма подробно. Наиболее часто применяют различные модификации

метода конечных разностей, а в последнее время – метод конечных эле-

ментов, удобный в случае задач теплопроводности для тел сложной фор-

мы.

Особый класс задач внутреннего теплообмена составляют задачи

теплопроводности с движущейся границей. Сюда относятся в частности

процессы плавления и затвердевания металла. Численные методы реше-

ния этих существенно нелинейных задач также подробно разработаны.

132

Термином «внешний теплообмен» в металлургической теплотех-

нике обозначают процессы переноса тепла, происходящие в рабочем

пространстве печи и приводящие, в конечном итоге, к поступлению тепла

на поверхность нагреваемого материала или к отводу тепла от этой по-

верхности в случае охлаждения.

Если речь идет о высокотемпературном процессе, а среда, запол-

няющая рабочее пространство печи, диатермична (это случай электри-

ческих нагревательных печей сопротивления либо печей с радиацион-

ными трубами), основным, а часто практически единственным видом

теплопереноса, является радиационный теплообмен. Задача при этом

формулируется в виде интегрального уравнения, однако, как правило, это

уравнение не используют, а подлежащую численному решению систему

алгебраических уравнений получают сразу путем использования какой-

либо модификации зонального метода.

Полезно, однако, отдавать себе отчет в том, что указанная систе-

ма не является точной формулировкой задачи, но представляет собой

дискретную аппроксимацию интегральных уравнений радиационного

теплообмена. Искомой величиной при этом является обычно поток ре-

зультирующего излучения на поверхности нагреваемого материала.

Очень часто образующие систему радиационного теплообмена поверхно-

сти, т.е. поверхности нагреваемого материала, нагревателей (или радиа-

ционных труб) считают серыми, пренебрегая зависимостью степени чер-

ноты от длины волны и полагая, что она равна поглощательной способ-

ности для каждой из поверхностей. Такое предположение не является

слишком грубым и оказывается приемлемым, когда система близка к

термодинамическому равновесию, т.е. когда температуры поверхностей,

составляющих систему, не слишком различаются. Понятно, что такая

ситуация реализуется на заключительных стадиях нагрева материала. В

других случаях приходится учитывать реальный характер излучения, что

естественно существенно усложняет задачу.

Математическая модель внешнего теплообмена в высокотемпе-

ратурных печах также значительно усложняется, когда рабочее простран-

ство заполнено излучающим и поглощающим движущимся газом. Такая

ситуация имеет место в пламенных печах, где теплогенерация осуществ-

ляется за счет сжигания топлива (в большинстве случаев газового).

Сложность таких задач обусловлена не только наличием излучения и по-

глощения энергии в газовой среде, но и необходимостью учета тепловы-

деления за счет горения, а также весьма существенной ролью конвектив-

ного переноса тепла движущимся газом, хотя теплоотдача к нагреваемо-

му материалу и в этих случаях осуществляется, главным образом, за счет

радиационного теплообмена. Конвективный перенос тепла в высокотем-

133

пературных пламенных печах влияет на теплоотдачу к материалу кос-

венно, в результате воздействия на формирование температурного поля в

газовом потоке, на которое также влияет и тепловыделение, обусловлен-

ное горением.

Таким образом, математическая модель внешнего теплообмена в

рассматриваемых случаях должна включать в себя, в принципе, помимо

описания совместного радиационно-конвективного переноса тепла (на-

зываемого сложным теплообменом), математическое описание турбу-

лентного движения газов и горения в турбулентном потоке. Однако по-

следняя задача сама по себе уже связана с чрезвычайно большими труд-

ностями. Такие модели в настоящее время только создаются, при этом

описание турбулентного потока с горением базируется, как правило, на

современных полуэмпирических моделях турбулентности. Обычно же

движение газа и выгорание топлива описывают с помощью весьма упро-

щенных, часто эмпирических методов.

Что касается собственно процесса сложного радиационно-

конвективного теплообмена, то для его математического моделирования

также чаще всего применяют зональные методы. Объем рабочего про-

странства печи, а также поверхности футеровки и нагреваемого материа-

ла разбивают на объемные и поверхностные зоны. При этом для каждой

зоны записывают уравнения теплового баланса, учитывающие для объ-

емных зон радиационный и конвективный перенос тепла, конвективную

теплоотдачу к поверхности и тепловыделение за счет горения, а для по-

верхностных зон – радиационную и конвективную теплоотдачу. В ре-

зультате получают систему нелинейных алгебраических уравнений, ко-

торая и подлежит численному решению. Получаемая таким образом сис-

тема, по существу, аппроксимирует интегро-дифференциальное уравне-

ние с источниками тепла, описывающее радиационно-конвективный теп-

лообмен с тепловыделением, обусловленным горением. Искомой вели-

чиной при этом также является результирующий тепловой поток на по-

верхности нагреваемого материала.

Значительно более простой случай радиационно-конвективного

теплообмена реализуется в различных средне- и низкотемпературных

термических печах, в которых нагрев либо охлаждение металла происхо-

дит в диатермичной среде, например в защитной атмосфере. В таких аг-

регатах перенос тепла в движущемся газе происходит за счет конвектив-

ного теплообмена, а обмен между газом и поверхностями, в том числе и

поверхностью обрабатываемого металла, – за счет конвективной тепло-

отдачи. Эта задача формулируется в виде уравнений движения и энергии

(без источников) с использованием полуэмпирических моделей турбу-

лентности, а для получения системы алгебраических уравнений обычно

134

применяется метод конечных разностей.

В связи с диатермичностью среды радиационный теплообмен в

таких печах осуществляется лишь между твердыми поверхностями, и для

его расчета применяются зональные методы. Искомой величиной являет-

ся суммарный результирующий тепловой поток на поверхности обраба-

тываемого металла.

Наибольшее практическое значение имеют комплексные матема-

тические модели тепловой работы промышленных печей, объединяющие

задачи как внутреннего, так и внешнего теплообмена. Соответствующие

задачи называются сопряженными задачами теплообмена и требуют

одновременного, совместного численного расчета внутреннего и внешне-

го теплообмена. Именно эти модели позволяют получить наиболее дос-

товерную и подробную информацию о тепловой работе агрегатов и

должны использоваться для их исследования, многовариантных расчетов

и оптимизации.

Для решения сопряженной задачи теплообмена могут использо-

ваться два различных итерационных алгоритма. Первый и наиболее часто

применяемый заключается в следующем. Вначале задают температуру

(точнее, ее распределение) на поверхности обрабатываемого в печи мате-

риала, например нагреваемого металла. Затем эту температуру использу-

ют в качестве граничного условия для решения задачи внешнего тепло-

обмена, и в результате получают плотность теплового потока; на этой

поверхности. После этого решают задачу внутреннего теплообмена, зада-

вая на поверхности полученную величину плотности теплового потока,

что позволяет найти новое значение температуры на поверхности, кото-

рое сравнивают с заданным. Если расхождение превышает некоторую

допустимую величину, вновь решают задачу внешнего теплообмена, ис-

пользуя новое значение температуры на поверхности. Этот итерацион-

ный процесс продолжают до тех пор, пока разность между значениями

температуры поверхности для двух последовательных итераций не ока-

жется приемлемой.

Второй вариант итерационного алгоритма отличается от преды-

дущего тем, что сопряжение внутренней и внешней задач производят не

по температуре, а по плотности теплового потока на поверхности. При

этом задачу внешнего теплообмена решают при задании на поверхности

металла последней величины, а найденное в результате значение темпе-

ратуры на поверхности используют в качестве граничного условия для

решения внутренней задачи. Полученное в результате этого решения

значение плотности теплового потока на поверхности сопоставляют с

тем, которое использовали на предыдущей итерации, добиваясь, в конце

концов, приемлемого расхождения этих величин.

135

Поскольку целью проектирования как технологии, так и обору-

дования обычно является достижение экстремальных (максимальных или

минимальных) значений тех или иных параметров, весьма широко рас-

пространены методы математической оптимизации. Они хорошо разра-

ботаны, широко применимы при решении экстремальных задач во всех

областях науки и техники. Интерес представляет именно постановка за-

дач оптимизации применительно к конструкциям металлургического

оборудования.

Рассмотрим особенности и примеры применения математиче-

ских методов моделирования в решении задач проектирования и оптими-

зации металлургического оборудования.

4.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ

ПРИ РАБОТЕ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКОГО

ОБОРУДОВАНИЯ

Расчет температурного поля элемента конструкции является

важной составной частью более общего термопрочностного расчета, без

которого невозможно проектирование металлургического оборудования,

работающего при повышенных температурах. Рассмотрим характерные

особенности получаемых при выполнении таких расчетов результатов.

Расчет температурного поля шлаковой чаши [12]. Шлаковые

чаши работают в тяжелых температурных условиях: частые теплосмены,

отсутствие эффективного теплоизоляционного слоя, предохраняющего

чашу от прямого воздействия расплавленного шлака, вызывают ее быст-

рый выход из строя, и поэтому она является основной сменной деталью

шлаковоза. Это обусловливает необходимость математического модели-

рования температурных полей чаш с учетом возможно большего числа

факторов. Использование метода сеток позволяет рассчитать темпера-

турное поле чаши с учетом важных конструктивных особенностей, т.е.

расчет может быть произведен для чаши вместе с буртом, кольцевым

ребром и опорным кольцом, на которое она опирается.

Расчеты проведены для чаши объемом 16м

. Рассматривались

периоды заливки шлака (длительность принята равной 20 мин) и даль-

нейшего прогрева чаши до момента опорожнения (100 мин). Исследова-

ния показали, что кольцевое ребро и опорный кольцевой пояс сущест-

венно влияют на распределение температуры в стенках чаши. В зоне

опорного кольца примерно через 120 мин после начала заливки достига-

ются максимальные температуры: на внутренней поверхности чаши 1053

К, на внешней 993 К (рис. 60). Таким образом, зона чаши, расположенная

136

в опорном поясе, и примыкающие к ней области находятся в наихудших

(по теплообмену) условиях. Это объясняется тем, что массивное опорное

кольцо является экраном и затрудняет теплоотвод с внешней поверхно-

сти чаши в этой зоне. Сравнительный расчет температур для чаши без

учета ребра, кольца, бурта в той же точке на внутренней поверхности

дает температуру 960 К, т. е. примерно на 10 % меньше. Такое сравнение

результатов позволяет количественно оценить влияние опорного кольца

на распределение температуры в стенке чаши.

Рис. 60. Максимальная температура на

внутренней и наружной поверхностях:

1, 2 – зона опорного кольца; 3, 4 –

кольцевого ребра

Рис. 61. Распределение температуры на

внешней поверхности вдоль образую-

щей чаши через 50 мин (1), 70 (2), 120

мин (3) после начала заливки

Кольцевое ребро является концентратором наибольших градиен-

тов температуры. Здесь реализуется максимальный поперечный градиент

180 К, а на небольшом отрезке образующей ниже кольцевого ребра –

максимальный продольный градиент 280 К (рис. 61). Это объясняется

тем, что теплоотвод с участка внешней поверхности чаши, сопряженного

с кольцевым ребром, осуществляется теплопроводностью, а с остальной

поверхности излучением и конвекцией, которые в зоне опорного пояса

еще и затруднены. Таким образом, в области кольцевого ребра и опорно-

го кольца имеют место максимальные на единицу длины продольный и

поперечный градиенты, достигающие значений 25–30 К/см, что при цик-

лических теплосменах приводит к возникновению температурных на-

пряжений, являющихся причиной появления и концентрации в этой зоне

чаши трещин.

Влияние бурта на температурное поле чаши очень мало, так как

внутренняя поверхность чаши в данной зоне бурта не омывается шлаком.

Поэтому при расчетах температур с целью упрощения бурт можно не

137

учитывать. В целом полученные результаты удовлетворительно согласу-

ются с экспериментальными данными.

Проведенные исследования позволяют сделать некоторые прак-

тические выводы. Для увеличения срока службы чаш следует понизить

температуры и температурные градиенты в зоне кольцевого ребра и

опорного кольцевого пояса. Для этого целесообразно увеличить внутрен-

ний радиус опорного кольца, благодаря чему улучшатся условия тепло-

отдачи с поверхности чаши и температура стенки понизится, а в области

кольцевого ребра плавно увеличить толщину стенки чаши, что вызовет

уменьшение продольного градиента температуры. Указанные изменения

могут быть выполнены без нарушения основных требований, предъяв-

ляемых к чашам шлаковозов.

Нагрев сыпучего материала в обжиговой вращающейся печи

[16]. Рассмотрим применение метода математического моделирования

для расчета тепловой работы обжиговой вращающейся печи. Вращаю-

щаяся печь для обжига сыпучих и кусковых материалов – современный

механизированный теплотехнический агрегат, широко применяемый в

черной и цветной металлургии, строительной, химической и огнеупорной

промышленности.

Вращающаяся печь (рис. 62) представляет собой длинный бара-

бан 7 (отношение длины к диаметру l/D

= 15–50), опирающийся при по-

мощи бандажей 5 на опорные ролики. Печь устанавливается с уклоном ~

4–6° к горизонту. Вращение печи осуществляется при помощи венцовой

шестерни 6 от электродвигателя через редуктор. В верхний (левый) торец

барабана, входящий в пылевую камеру 3, производится подача через за-

грузочный желоб 7 исходного материала, подвергаемого обработке.

Нижний торец барабана входит в откатную головку 2, в которой установ-

лено газогорелочное устройство 4. Вращающаяся печь – это пламенная

проходная печь противоточного типа.

Рис. 62. Схема вращающейся печи

138

Рассчитываем распределение температур и тепловых потоков в

рабочем пространстве вращающейся печи для обжига сыпучего материа-

ла заданной производительности. Известны также расход природного

газа, продолжительность обжига (под которой понимается полное время

пребывания материала в печи) и геометрические размеры печи (ее длина,

внутренний диаметр и толщина футеровки). Кроме того, из справочной

литературы необходимо задать радиационные и теплофизические харак-

теристики, материала, футеровки и продуктов сгорания, а также опреде-

лить некоторые данные из расчета горения топлива (стехиометрическое

число, выход продуктов сгорания и т.д.).

Уровень температур газового потока по длине обжиговой враща-

ющейся печи, имеющей достаточно большую относительную длину, из-

меняется от 1000–1900 °С в зоне обжига, до 400–800 °С на выходе из пе-

чи. Ввиду относительно небольших скоростей газов в рабочем простран-

стве доминирующую роль в теплоотдаче к материалу для этого класса

печей играет излучение.

Наряду с лучистым теплопереносом в рабочем пространстве пе-

чи имеет место перенос тепла конвекцией и турбулентной теплопровод-

ностью. При этом для низкотемпературных вращающихся печей доля

конвективной теплоотдачи от газов к материалу и футеровке печи может

быть значительна, а передача тепла за счет турбулентной теплопроводно-

сти невелика (на несколько порядков меньше передачи тепла конвекцией

и излучением) и поэтому в дальнейших расчетах ее вклад в суммарный

теплоперенос учитывать не будем.

Результаты расчета приведены на рис. 63 и 64. На рис. 63 пред-

ставлено изменение температур газа, футеровки и материала по длине

печи, а рис. 64 демонстрирует распределение линейных плотностей теп-

ловых потоков вдоль печи. Проведем анализ полученных результатов.

С точки зрения технологии достигнута необходимая для обжига

высокоглиноземистого шамота температура ~ 1673 ± 200 К. При данной

длине факела, равной ~ 17 м, обеспечивается достаточно большая длина

зоны обжига (~ 10 м). На выходе из печи температура материала выше

температуры газов, что характерно для этого класса печей. Температура

уходящих газов, равная ~ 873 К, достаточно высока, поэтому за данной

печью целесообразно установить какое-либо теплоутилизирующее уст-

ройство (рекуператор или котел-утилизатор). Потери тепла через футе-

ровку печи достаточно велики и составляют ~ 12 % от суммарного расхо-

да печи.

Точность расчета сложного теплообмена зональным методом за-

висит от числа зон разбиения рабочего пространства печи. На рис. 65

показаны результаты расчета температуры газа и материала при разбие-

139

нии печи на три, шесть и девять участков по длине и, соответственно, на

одиннадцать, двадцать и двадцать девять зон. Из рис. 65 видно, что по-

грешность расчета при разбиении печи на три участка по длине печи зна-

чительна, а температурные линии при наличии 20 и 29 зон отличаются в

пределах погрешности инженерных расчетов.

Рис. 63. Распределение температуры материала (1), футеровки (2) и газа (3) по

длине печи

Рис. 64. Распределение линейных плотностей тепловых потоков по длине печи:

пот

– тепловые потери через футеровку; Q

– изменение энтальпии материала;

– мощность тепловыделения за счет сжигания топлива

Рис. 65. Зональные значения температур газа (1) и материала (2)