Цыпкин Я.З Основы теории автоматических систем
Подождите немного. Документ загружается.
72
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
ОПИСАНИЕ
АВТОМАТИЧЕСКИХ
СИСТЕМ [ГЛ. 5
Задачи
5.1. Показать, что передаточная функция цепи (рис. 5.22) имеет вид
w {p) e
TJVP
2
+
(7
1
+
Т'Т77РТТ
9
где
T
l
=
f?1
Щ
6}
I
—r~л
i
0
Л
«Li
//
ff/
A
7
/
Bi
1
G
Z
-0
Рис
5.22.
Рис.
5.23
Рис.
5.24.
5.2. Показать, что передаточная функция цепи (рис. 5.23) имеет вид
W
(р) =
т
Т р
2
4-
(Т + Г
2
+ Г
JP)
4-
1
?
5.3. Показать, что передаточная функция
мо,*тиковой
цепи (рис. 5.24)
имеет вид
Глава
6
СТРУКТУРЫ
АВТОМАТИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
§
6.1.
Обычная система
Блок-схема
и
граф обычной автоматической системы изобра-
жены
на
рис.
6.1.
Примем следующие обозначения:
F
3
(p)—изо-
бражение задающего воздействия,
F
B
(p)—изображение
возму-
щающего воздействия (помехи, изменение нагрузки),
Z(p)
—
изображение выходной величины,
Х(р)—изображение
ошибки.
Управляемый объект характеризуется передаточной функ-
цией
W
O
G(P),
а
управляющее устройство
—
передаточной функ-
цией
Wy(p).
Основное
на-
значение
автоматической
системы состоит
в том,
чтобы выходная величина
z(t)
с
течением времени
изменялась
в
соответствии
с изменением задающего
воздействия
f
3
(t)
и
мало
зависела
от
изменения
возмущающего воздей-
ствия
/в
(0-
Уравнение
от-
носительно изображения Рис.
6.1
выходной величины
Z(p)
состоит
из
двух
частей. Каждая
из
этих частей представляет
со-
бой произведение соответствующей передаточной функции
на
свое воздействие.
В
рассматриваемом
случае
где
Z
(р)
=
К
3
(р)
F
3
(р)
+
К
в
(р)
F
B
(p),
_
W
Y
(p)
W
o6
(p)
А(Р)
'W/—
\
+
W
Y
(p)W
o6
(p)
— передаточная функция
по
задающему воздействию
и
К
1-\—
^об(Р)
W
y
(p)W
o6
(p)
(6.1)
(6.2)
(6.3)
74 СТРУКТУРЫ АВТОМАТИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
[ГЛ б
— передаточная функция
по
возмущающему воздействию.
По-
скольку изображение ошибки
Х(р)
равно
X(p)
=
F
s
(p)-Z(p)
t
(6.4)
то,
подставляя
Z(p) из (6.1) в
(6.4), получим уравнение относи-
тельно изображения ошибки:
X (р)
=
(1
-
*. (р))
F
3
(р) -
tf.
(р)
F
B
(р).
(6.5)
Передаточная функция ошибки
по
задающему воздействию
равна
1
-
Я
з
(Р)
=
\
+
Wv
(p)w
o6
(p)'
^
а передаточная функция ошибки
по
возмущению отличается
лишь
знаком
от
Кв(р)
(6.3). Уравнения
(6.1) и (6.5)
являются
частными случаями уравнений
(5.74)
и
(5.76)
при
W
s
(p)
=
W
y
(p)
W
o6
(р),
W
в
(р)
=
W
o6
(р).
Степень
влияния
на
изображение выходной величины
Z(p) или
изображение ошибки
Х(р)
изображений задающего
и
возму-
щающего воздействий определяется соответствующими переда-
точными функциями.
Для
уменьшения влияния возмущающего
воздействия
на
выходную величину
и
ошибку
следует
уменьшать
передаточную функцию
/С
в
(р).
Говоря
об
уменьшении или увели-
чении
передаточной функции,
мы
всегда
будем
подразумевать
уменьшение
или
увеличение
ее
модуля.
Для
того, чтобы выход-
ная
величина лучше воспроизводила задающее воздействие,
или,
что эквивалентно,
для
того, чтобы ошибка была близка
к
нулю,
следует
Кз(р)
приближать
к
единице.
Поскольку
управляемый объект задан,
то его
передаточную
функцию
W
O
Q(P)
невозможно изменять
по
своему усмотрению.
Мы
можем изменять лишь параметры элементов управляющего
устройства,
т. е.
коэффициенты передаточной функции
W
y
(p).
Будем изменять передаточную функцию управляющего устрой-
ства. При увеличении
W
Y
(p),
как
следует
из
выражений
(6.2) и
(6 3), передаточная функция
К
в
{р)
будет
уменьшаться, стремясь
к
0, а
передаточная функция
К
3
(р)
будет
возрастать, стремясь
к
1.
Следовательно,
в
пределе
при
бесконечно большом
коэффи-
циенте усиления управляющего устройства
1-/С
8
(р)
—0,
/Св(р)иО.
(6.7)
Условия
(6.7)
означают,
что
передаточные функции ошибки
по
задающему
и
возмущающему воздействиям равны нулю при
всех
значениях
р, т. е.
тождественно равны нулю.
При
выполнении
§6
1]
ОБЫЧНАЯ СИСТЕМА
75
этих условий
из (6.2) и (6.5)
получаем
Z(p)
=
F
a
(p)
(6.8)
и
Х{р)=0,
(6.9)
что соответствует идеальной системе
с
нулевой ошибкой.
При
неограниченном
увеличении
усиления
управляющего
устройства,
расположенного
в
прямой
части
системы,
ме-
жду точками
приложения
задающего
и
возмущающего
воздействий,
ошибка
системы
стремится
к
нулю.
Это значит,
что
выходная величина системы перестает
зави-
сеть
от
возмущающего воздействия
и
начинает точно воспроиз-
водить задающее воздействие.
Рассмотрим
еще
блок-схему обычной автоматической систе-
мы,
отличающуюся наличием
в
цепи обратной связи элемента
с
передаточной функцией
W
n
(p)
(рис.
6.2).
Уравнение этой
систе-
мы имеет вид, аналогичный
(6-2),
т.е.
р/м
„„
\Ш
m
(6.10)
только теперь
(Р)
w
o6
Щц(П
\
+
W
y
(p)W
o6
(p)W
n
(p)
(6.П)
1
+
W
y
(p)
W
o6
(p)
W
n
(p) •
(6.12)
Рис.
6.2
При
неограниченном возрастании усиления управляющего
уст-
ройства
с
передаточной функцией
W
y
(p),
как и
ранее,
Кв(р)
стремится
к
0,
а
К
3
(р)
стремится
к
IF^'(p),
и,
значит,
из
(6.10)
в
пределе,
Z{p)
=
Wu
l
{p)F,{p).
(6.13)
При
неограниченном
увеличении
усиления
управляющего
устройства,
расположенного
в
прямой
части
системы,
ме-
жду точками
приложения
задающего
и
возмущающего
воздействий,
выходная
величина
замкнутой
системы
пере-
стает
зависеть
от
возмущающего
воздействия
и
опреде-
ляется
только
произведением
обратной
передаточной
функции
в
цепи
обратной
связи
и
задающего
воздействия.
76
СТРУКТУРЫ
АВТОМАТИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
[ГЛ.
6
Если
И7
п
(/?)
=
1, то мы приходим к рассмотренному выше
случаю (6.8). При
W
n
(p)
=
—, что соответствует интегрирующей
обратной связи, из (6.13) получаем
Z{p)
=
pF
3
{p).
(6.14)
В этом случае выходная величина изменяется по закону произ-
водной задающего воздействия.
При
W
R
(p)
=
p
9
что соответствует дифференцирующей об-
ратной связи, из (6.13) получаем
Z{p)
=
±F
a
(p).
(6.15)
Р
В этом случае выходная величина изменяется по закону инте-
грала от задающего воздействия.
Подчеркнем,
что в предельном случае Z(p) не зависит ни от
изображений возмущающих воздействий, ни от передаточных
функций
объекта
W
O
G(P)
И управляющего устройства
W
y
(p),
она
полностью определяется изображением задающего воздей-
ствия и передаточной функции цепи обратной связи.
§
6,2. Система с внутренней положительной обратной связью
Структурная схема системы с
внутренней
положительной
обратной
связью
и граф изображены на рис. 6.3. Заменяя
Щ
06
(Р)
Wn(P)
"Л
W
K
(
P
)
L .____.
обратное соединение эквивалентным элементом с передаточной
функцией,
получим
W
y
(p)
WBOCW
\-W
y
(p)W
K
(p)
* ^
Л0
^
§
6.2]
ВНУТРЕННЯЯ
ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ ОБРАТНАЯ
СВЯЗЬ
77
Знак
минус
в
знаменателе этой передаточной функции соответ-
ствует положительной обратной связи. Уравнение системы
с вну-
тренней
положительной обратной связью относительно выходной
величины
запишется
в
виде, аналогичном (6.10):
Z
(р)
-
К
3
(р)
^з
(р)
+
К*
(р)
F
B
(P).
(6.17)
Теперь передаточная функция
по
задающему воздействию равна
или, после подстановки
W
B0C
(p)
из
(6.16),
Передаточная функция
по
возмущающему воздействию имеет
вид
К
(п\—
Wo6(p)
ABW—
\ +
W
BOC
(p)W
o6
(p)
'
или, после подстановки
W
B0C
(p)
из
(6.16),
Подставляя
Z(p) из
(6.17)
в
выражение ошибки
X(j>)
=
F
a
(p)-Z(p),
получаем,
по
аналогии
с
(6.5),
X
(р) =
(1
—/Сз
(Р))
F
3
(р) -
К»
(р)
F
B
(p).
При
выборе
передаточной
функции
W
K
(p)
из
условия
W
y
(p)W
K
(p)=l,
(6.20)
т.
е. при
W
K
(P)-W;
1
(P),
(6.2i)
получаем
из
(6.18)
и
(6.19)
Я,(р)зэ1,
КАр)^0,
(6.22)
что означает тождественное обращение
в
нуль передаточных
функций
ошибки
по
задающему
и
возмущающему воздействиям.
При
этом
из (6.5)
получаем
Х(р)^0.
(6.23)
Если
передаточная
функция
внутренней
обратной
связи
W
K
(p)
равна
обратной
передаточной
функции управляю-
щего
устройства
Wy
]
(p),
то
ошибка
системы
с
положитель-
ной
внутренней
обратной
связью
тождественно
равна
нулю.
78
СТРУКТУРЫ
АВТОМАТИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
[ГЛ
б
То есть мы приходим к тому же
результату,
что и в обычной
системе при неограниченном увеличении усиления элемента пря-
мой
части системы
между
задающим и возмущающим воздей-
ствиями.
Однако теперь это является следствием введения вну-
тренней
положительной обратной связи. Нетрудно видеть, что
при
выполнении условия
(6.21)
передаточная функция обрат-
ного соединения
№
В
ос(/?)
(6.16)
равна бесконечности. Таким об-
разом,
и в этом
случае
достигается неограниченно большое уси-
ление,
но не непосредственно за счет увеличения коэффициента
усиления, а за счет внутренней положительной обратной связи.
Система с внутренней положительной обратной связью, так
же как и обычная система с неограниченно возрастающим уси-
лением,
являются идеализированными системами. В них ошибка
равна тождественно нулю вне зависимости от изменений
задаю-
щего и возмущающего воздействий.
§6 3] КОМБИНИРОВАННАЯ
СИСТЕМА
79
К
системе с внутренней положительной связью сводится си-
стема с
моделью
объекта
(рис. 6.4, а). Она содержит элемент,
передаточная функция которого
W
M
(p)
близка к передаточной
функции
объекта. На основании правила 5 о переносе точки
суммирования по направлению прохождения сигнала преобра-
зуем блок-схему рис. 6.4, а к блок-схеме рис. 6.4, б. Эта послед-
няя
блок-схема совпадает с блок-схемой системы с внутренней
положительной обратной связью, если в последней произвести
замену
W
K
(p)
=
Wu(p)-
(6-24)
При
выборе
W
u
{p)
=
Wy
l
(p)
(6.25)
получаем, как и для системы с внутренней положительной об-
ратной
связью,
/Сз(р)=1,
К
В
(Р)^О.
(6.26)
Таким
образом, снова мы приходим к
тому,
что
0.
(6.27)
В этих системах при выполнении определенных условий ошибка
тождественно равна нулю при любых задающих и возмущаю-
щих воздействиях.
§
6.3.
Комбинированная
система
В
комбинированной
системе, блок-схема и граф которой изо-
бражены на рис. 6.5, измеряется возмущающее воздействие и
через элемент с передаточной функцией
W
K
(p)
алгебраически
суммируется с задающим воздействием. Комбинированная си-
стема отличается от обычной системы наличием дополнитель-
ного внешнего воздействия
W
K
(p)F
B
(p)
9
поэтому ее уравнение,
по
сравнению с (6.1),
будет
содержать слагаемое, вызванное
этим
дополнительным
внешним воздействием:
Z
(р) =
К
3
(Р)
F
a
(р) +
К
в
(р)
F
B
(р) +
К,
(Р)
W
K
(p)
F
B
(p),
(6.28)
или
Z (р)
=
К
3
(р)
F,
(Р)
+
(К»
(Р)
+
К
3
(р)
W
K
(p))
F
B
(p). (6.29)
Уравнение относительно ошибки
X(p) =
F
a
(p)-Z{p)
получается после подстановки Z(p) из (6.29):
X (р) = (1 -
К
3
(р))
F
3
(р) -
(К
в
(р) +
К
3
(р)
W
K
(p))
F
B
(p).
(6.30)
80
СТРУКТУРЫ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
[ГЛ
б
Если
выбрать
W
K
(p)
так, чтобы обратилась тождественно в нуль
передаточная функция ошибки по возмущающему воздействию,
т. е. из условия
Wn(p)
то
из (6.29) и (6.30) получим
Z(p)
=
KAp)F
a
(p)
(6.32)
И
Рис.
6.5
(6.33)
Z
В этом случае выходная ве-
личина
и, следовательно,
ошибка
не зависят от возму-
щающего воздействия. Од-
нако
ошибка зависит от
задающего воздействия Условие (6.31) можно назвать
условием
компенсации
возмущающего
воздействия
Принимая во внима-
ние
выражения передаточных функций (6.2) и (6.3), запишем
условие компенсации в виде
W
K
{p)
=
КАР)
(6.34)
При
передаточной
функции
корректирующего
элемента
W
K
(p),
равной
обратной
передаточной
функции
прямой
части
системы
между
точками
приложения
задающего
и
возмущающего
воздействий,
т. е
обратной
передаточной
функции
управляющего
устройства,
влияние
возмущаю-
щего
воздействия
на
ошибку
устраняется.
Условие компенсации приводит к образованию дополнитель-
ного,
компенсирующего канала, передаточная функция которого
постоянна
и равна единице.
§
6.4.
Разомкнуто-замкнутая
система
В некотором смысле к комбинированной системе, описанной
в
§ 6.3, близка разомкнуто-замкнутая система, блок-схема и
граф которой изображены на рис. 6.6. В этой системе изме-
ряется задающее воздействие, которое после преобразования
корректирующим элементом с передаточной функцией
W
K
(p),
суммируется с выходной величиной управляющего устройства.
Уравнение разомкнуто-замкнутой системы отличается от уравне-
ния
обычной системы (6.1) тем, что теперь внешнее воздействие
§ 6.4]
РАЗОМКНУТО ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА
81
равно
не просто возмущающему воздействию
F
B
(p),
a
F
B
(p)-\-
+
W
K
(p)FJp).
Поэтому
Для выяснения смысла этого условия подставим в (6.39) зна-
чения
Кз{р),
Кв(р)
из (6.2), (6.3) и, разрешая полученное выра-
жение
относительно
W
K
(p)
y
находим
(6.41)
При
передаточной
функции
корректирующего
элемента
W
K
(p),
равной
обратной
передаточной
функции
прямой
части
системы
между
точкой
приложения
возмущающего
воздействия
и
выходом,
т
е.
обратной
передаточной
функ-
ции
управляемого
объекта,
влияние
задающего
воздей-
ствия на
ошибку
устраняется.
Рис.
6.6.
или
Подставляя
Z(p) из (6.37) в уравнение ошибки
(6.37)
(6.36)
(6.38)
(6.39)
Выберем
W
K
(p)
так, чтобы соблюдалось равенство
Тогда из (6.38) получаем
Ошибка
не зависит от задающего воздействия, однако она зави-
сит
or
возмущающего воздействия. Условие (6.39) можно на-
звать
цсловием
воспроизведения
задающего
воздействия.
(6.40)