Цыпкин Я.З Основы теории автоматических систем

Подождите немного. Документ загружается.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

[ГЛ

— коэффициент усиления усилителя, включенного

между

/?С-цепями.

Переда-

точная функция такого последовательного соединения

будет

равна

(р)

(p)

(5.38)

При

отсутствии «развязывающего» усилителя передаточная функция по-

следовательного соединения

/?С-цепей

(рис 5 7) уже не определяется выраже-

нием

(5 38), поскольку подсоединение второй

/?С-цепи

«нагружает»

первую и,

Яг

(if

Рис

5.6,

Рис,

5.7.

следовательно, напряжение на

выходе

первой цепи изменяется. Только при до-

статочно большом входном сопротивлении второй

RC-ixeun

последовательное

соединение (рис. 5.7) приближенно определяется выражением (5.38).

2. Параллельное соединение.

Параллельным

соединением

элементов называется такое соединение, при котором

входная

Щ(Р)

{p)

(p)+W

(p)

Рис

5,3.

величина

одна

и та же для

всех

элементов,

выходные

величи-

ны

их

суммируются

(рис. 5.8).

Для

параллельного

соединения

имеем

Р)

(5.39)

Р)

(5.40)

з(р).

(5.41)

и,

кроме того,

Подставляя в

(5.41)

Х%(р)

(р)

из

(5.39)

и (5.40),

получаем

(р)

{W,

(р) +

(р))

(р)

W (р)

(р)

(5.42)

§5.3}

АЛГЕБРА

ПЕРЕДАТОЧНЫХ

ФУНКЦИЙ

и,

значит,

W(p)

{p)

(p).

(5.43)

В общем случае при параллельном соединении п элементов

(р) =

(р) +

(р) + ... +

(p). (5.44)

Передаточная

функция параллельного

соединения

равна

сумме

передаточных

функций

отдельных

звеньев.

Пример.

Соединение малоинерционной и инерционной термопар (рис. 5.9).

[

градус 1

а через

ВОЛЬТ

Т\

— их постоянные времени, причем

Т\

Передаточные функции

термопар имеют вид

(p) =

•

(р)

••

Э.

д. с. термопар алгебраически складываются, поэтому

В частном случае, при

(5.45)

(5.46)

(5.47)

Рис.

5.9.

Такое соединение термопар приобретает новые свойства, а именно свойства

дифференцирующего устройства.

Обратное

соединение.

Обратным

соединением

двух

элементов

или соединением обратной связи называется такое

{р)

Положительная

обратная

сбязь

Рис.

5.10.

соединение,

при

котором

выход

каждого

из

элементов

соеди-

няется

со

входом

другого

элемента

(рис. 5.10).

Для

обратного

соединения

имеем

P),

(5.48)

(5.49)

(5.50)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ.

Знак

минус в (5.50) соответствует отрицательной обратной свя-

зи,

знак

плюс — положительной обратной связи Из

уравнений

(5.48)

и (5.49), соответствующих последовательному

соедине-

нию

элементов,

следует

(p)

(p)W

{p)X(j)).

(5.51)

Заменяя

(р)

в (5.50) его

значением

из (5.51), получим

*'^-i

wnP)

(б

52)

Подставляя

это

значение

в (5.48), будем иметь

<Р)

1±^(РММР)

ХО

{р) = Гос {р) Хо {р)

•

53)

Отсюда

находим передаточную

функцию

обратного

соединения:

^(р)=т±жйк(Д-

54)

Элемент,

характеризуемый передаточной

функцией

Wi(p),

назо-

вем

прямой частью

замкнутой

системы,

элемент,

характери-

зуемый

передаточной

функцией

(p),—

обратной связью.

Передаточная функция обратного

соединения,

или соеди-

нения обратной связи, равна

дроби,

числитель которой

представляет

собой

передаточную функцию прямой части,

а знаменатель — передаточную функцию разомкнутой сис-

темы со знаком плюс, если обратная связь отрицательна,

или

со знаком

минус,

если обратная связь

положительна,

увеличенную на единицу.

Для

обратной

передаточной

функции

обратного

соединения

получаем

Woe

(p) =

]

(p) ±

(p).

(5.55)

Обратная передаточная функция обратного соединения

равна алгебраической сумме обратной передаточной функ-

ции

прямой части и передаточной функции элемента об-

ратной связи.

Пример.

Рассмотрим

обратное

соединение

/?С-цепи

усилителя

(рис.

5 11).

Таким

образом осуществляется так

называемая

жесткая

обратная

связь.

Передаточные

функции

#С-цепи

и усилителя

равны

Тр+

T = RC (5>56)

(p)

(5.57)

5 3]

АЛГЕБРА ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ

Передаточная

функция обратного соединения равна

TF/

/*Л_

-\-\

+ 1 ±

(5.58)

Тр+\

или, вводя обозначения эквивалентных коэффициентов усиления

постоянной

времени

l±k'

±k'

получаем

ос

(Р)

•

ТэкР

(5.60)

-0

Введение жесткой обратной связи изменяет парамет-

ры

/?С-цепи.

При отрицательной обратной связи Рис 5.11.

(знак

#эк

Гэк

уменьшаются в (1

-\-k)

раз.

При

положительной обратной связи

(знак

—)

вп

эк

увеличиваются

(1 —k) раз при

< 1. Если же

1, то, как следует из (5.59),

(Р)

Тр

(5.61)

что соответствует интегратору. Из этого примера видно, что обратное соедине-

ние

позволяет качественно изменять свойства элементов.

При

преобразовании блок-схем или графов, помимо

указан-

ных выше правил определения передаточных функций

соедине-

ний,

полезно использовать правила переноса точки съема и точ-

ки

суммирования.

4. Правило переноса точки съема.

Если

точка

съема

переносится

против

направления

прохо-

ждения

сигнала,

то в

переносимую

ветвь

нужно

включить

элементы

передаточными

функциями

всех

элементов,

встречающихся

на пути

между

прежней

новой

точками

съема

(рис. 5.12).

Если

точка

съема

переносится

по

направлению

прохо-

ждения

сигнала,

то в

переносимую

ветвь

нужно

включить

элементы

обратными

передаточными

функциями

всех

элементов,

встречающихся

на пути

между

новой

преж-

ней

точками

съема

(рис.

5.13).

5. Правило переноса точки суммирования.

Если

точка

суммирования

переносится

по

направлению

прохождения

сигнала,

то в

переносимую

ветвь

нужно

включить

элементы

передаточными

функциями

всех

эле-

ментов,

встречающихся

на пути

между

прежней

новой

точками

суммирования

(рис.

5.14),

3 Я. 3.

Цыпкин

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

[ГЛ.

5 4]

ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ

Если

точка

суммирования

переносится

против

направления

прохождения

сигнала,

то в

переносимую

ветвь

нужно

вклю-

чить

элементы

передаточными

функциями

всех

элементов,

встречающихся

между

новой

прежней

точками

суммиро-

вания

(рис.

5.15).

5.4.

Передаточные

функции

уравнения

замкнутых

систем

Общая

методика определения передаточных функций

замкну-

тых систем состоит в следующем:

1. Переносим точки съема на основании правила 4 так, что-

бы образовались выделяемые последовательное, параллельное

соединения

и соединение с обратной связью.

2. Заменяем параллельно соединенные элементы и внутрен-

ние

обратные соединения на основании правил 1, 2, 3 эквива-

лентными

элементами.

3. Выписываем передаточную функцию замкнутой системы

на

основании правила 3 и по этой передаточной функции со-

ставляем уравнение замкнутой си-

стемы.

Рассмотрим в качестве примера

систему автоматического регулиро-

вания

числа оборотов электродвига-

теля. Поскольку в ней все типы со-

единений

(последовательное и об-

ратное) выделены, то нет необходи-

мости в первом этапе. Второй

Рис.

5.16=

этап

—

замена внутреннего обратно-

го соединения — сводится к введению вместо обратного соедине-

ния

эквивалентного элемента с передаточной функцией

ос

блок-схема примет более простой вид (рис.

5.16).

Прямая

часть системы включает элементы с передаточными функциями

(p)

Wi(p),

а в обратную связь

входит

элемент с переда-

точной функцией

(p). Передаточная функция замкнутой си-

стемы

будет

равна

(p)

•

Vk.bd)

или,

в развернутой форме, после подстановки

(p)

из (5.62),

(г

(P)

(p)

1Г

(р)

(p)

1 +

(p)

(р) +

(p)

•

(5.64)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

ОПИСАНИЕ

АВТОМАТИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

[ГЛ. 5

Уравнение замкнутой системы регулирования числа оборотов

двигателя, таким образом, представится в виде

N(p)

(p)

(р)-

(5.65)

В качестве

другого

примера, в котором необходимо использо-

вать все этапы методики определения передаточной функции,

Г(р)

Xf(p)

(р)

Щ(Р)

Xz(P)

'Хъ(Р)

(p)

Рис.

5.17

рассмотрим блок-схему, изображенную на рис. 5.17. Соответ-

ствующий этой блок-схеме граф приведен на рис. 5.18, а. В от-

личие от предыдущего примера, все этапы

будем

проводить с

X$/S^*^Xfy

В)

Рис Б.13

помощью преобразований графа. Рис.

5.18,6

соответствует пере-

носу точки съема для образования выделяемого соединения вну-

тренней

обратной связи. Рис.

5.18,

в соответствует замене вну-

тренней

обратной связи эквивалентным элементом. Непосред-

ственно по преобразованному таким образом графу (рис.

5.18,

в)

и,

следовательно, уравнение

замкнутой

системы запишется в

виде

При

наличии несколь-

ких воздействий (рис.

5.19) на основании

прин-

ципа

суперпозиции нахо-

дятся передаточные

функ-

ции

замкнутой системы

относительно каждого

воздействия порознь. Затем они умножаются на изображение

соответствующих

воздействий и складываются. Так, для блок-

схемы рис. 5.19 передаточная функция по задающему воздей-

ствию

(p)

равна

Рис

5 19

Уравнение системы, следовательно,

будет

иметь вид

(5.70)

Рассмотрим общую блок-схему автоматической системы

(рис.

5.20).

Обозначим через

(p)

передаточную функцию со-

единения

элементов

между

точкой приложения задающего воз-

действия

и выходной величиной

z(t),

а через

(p)~~

пере-

даточную функцию соединения элементов

между

точкой прило-

жения

возмущающего воздействия

(t)

и выходной величиной

(О*

Наконец, через

W(p)

будем

обозначать передаточную

выписываем передаточную функцию замкнутой системы:

§5 4] ПЕРЕДАТОЧНЫЕ

ФУНКЦИИ

ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ

(5.66)

(5.67)

(5.68)

(5.69)

а передаточная функция по возмущающему воздействию

(p)

равна

(5.71)

где

Подставляя

(5.67)

в (5.66), находим

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ.

функцию

элемента

между

задающим

возмущающим воздей-

ствиями.

Тогда передаточные функции замкнутой системы

по за-

дающему

возмущающе-

\№

Zip)

W(p)

му

воздействиям будут

равны

соответственно

(P)

WAP)

(5.72)

Рис

5.20.

(р)

И/(р)

•

(5.73)

Уравнение замкнутой системы относительно выходной величины

будет

иметь

вид

(Р)

(р)

(p). (5.74)

Изображение ошибки

Х(р)

связано

изображениями задающего

воздействия

(p)

выходной величины

Z(p)

простым соотно-

шением:

{p)-Z(p),

(5.75)

выражающим условие замыкания системы. Подставляя

(5.75)

Z(p)

из

(5.74), получим уравнение относительно ошибки:

X(р)

—

/С.(р))

(Р)

^в

(Р)

F»

(Р).

(5.76)

При

наличии дополнительных воздействий, приложенных

различным точкам системы,

следует

определить соответствую-

щие передаточные функции

по

этим воздействиям

добавить

уравнение

(5.74)

слагаемые, равные произведению этих переда-

точных функций

на

изображения соответствующих воздействий.

Если

начальные значения

для

некоторых элементов отличны

от

нуля,

то их

можно рассматривать

как

дополнительные воздей-

ствия,

приложенные

ко

входу

этих элементов.

Так,

для

элемен-

тов, обладающих передаточными функциями вида (5.27),

изо-

бражения этих дополнительных воздействий определятся соглас-

но

(5.28)

как

Т /ЛЧ

(5.77)

(5.78)

что соответствует воздействию вида

б-функции

(см.

приложения

1 и 2).

Заметим,

что это

воздействие

(t)

су-

щественно

зависит

от

параметров элемента.

§5.4]

ПЕРЕДАТОЧНЫЕ

ФУНКЦИИ

ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ

Иногда

целесообразно привести возмущающее воздействие

точке приложения задающего воздействия. Такой пересчет иллю-

стрируется

рис. 5.21.

Изображение внешнего воздействия, приве-

денного

выходу

системы

(рис.

5.21,

а),

равно

(p)F

(p).

Пе-

ренося

это

воздействие

за

точку съема

и на

вход

замкнутой

системы, окончательно получаем,

что

структура системы

при

наличии

задающего

возмущающего воздействий

(рис.

5.20)

-J(p)

Wip)

— ——"—

Щ(Р)

—""-— —-

Щ(Р)г

(Р)

1(р)

W(p)

—*•

Рис.

5.21.

эквивалентна

структуре системы, изображенной

на

рис.

5.21,6.

На

вход

этой системы приложено эквивалентное воздействие

к(0»

изображение которого равно

/Чк

(Р)

(p)

(p),

(5.79)

а изображение истинной выходной величины равно

Z(p)

(p)

(p)F

(p),

(5.80)

где

Zi(p)—изображение

выходной величины эквивалентной

си-

стемы:

ад)

/С

(р)^к(р).

(5.81)

Уравнение эквивалентной системы относительно ошибки

Xip)

Fn{p)-Z

{p)

(5.82)

получится после подстановки (5.81)

(5.82):

(p)-

(5.83)

Уравнения (5.76)

или

(5.80)

(5.81), (5.83) лежат

основе

анализа

синтеза линейных автоматических систем.