Цыпкин Я.З Основы теории автоматических систем

Подождите немного. Документ загружается.

52 ЗАДАЧИ

ТЕОРИИ

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ [ГЛ. 4

исследование устойчивости систем, исследование динамического

статического (или установившегося) отклонений, т. е. процес-

сов управления.

Задача

синтеза,

несравненно более сложная, чем задача ана-

лиза, охватывает само построение автоматических систем управ-

ления:

выбор схемы управляющего устройства, его отдельных

элементов и параметров, обеспечивающих выполнение требова-

ний,

предъявляемых к автоматическим системам. Тесно связан-

ной

с задачей синтеза является задача оптимизации, т. е. задача

синтеза оптимальной, в том

пи ином смысле, автоматической

системы. Методы решения задач оптимизации зависят от полно-

ты априорной информации, т. е. предварительных сведений об

управляемом объекте и внешних воздействиях. При детермини-

рованной

априорной информации относительно объекта исполь-

зуются детерминированные методы. При стохастической априор-

ной

информации, например при случайных внешних воздей-

ствиях, применяются стохастические методы.

Задачи анализа и синтеза линейных автоматических систем

настоящему времени в значительной степени решены. Многое

сделано и в решении задачи оптимизации. Что же касается ре-

шения

этих задач для нелинейных автоматических систем, то

пока

оно далеко от завершения. Тем не менее результаты, полу-

ченные в теории автоматических систем, к настоящему времени

дают

возможность сознательно, научно подходить к анализу и

синтезу современных сложных автоматических систем.

Теория

автоматического управления в общих

чертах

может

быть разделена на два больших раздела. Первый раздел

охва-

тывает теорию

непрерывных

автоматических

систем

регулирова-

ния.

Второй раздел посвящен теории

дискретных

автоматических

систем

регулирования. Теория этих систем включает исследова-

ние

установившихся режимов, их устойчивости, анализ процес-

сов,

синтез оптимальных систем как при детерминированных, так

при случайных воздействиях.

Теория

автоматического управления тесно связана с рядом

смежных технических и научных дисциплин, результаты которых

она

использует для решения своих задач. Особенно здесь сле-

дует

указать на теорию колебаний, теорию переходных процес-

сов,

теорию цепей, теорию случайных процессов, математическое

программирование. Круг вопросов, затрагиваемых теорией авто-

матического управления, исключительно широк. Велико также

разнообразие автоматических систем. Поэтому изучение курса

теории автоматических систем должно идти не только и не

столько по пути знакомства с отдельными схемами систем, сколь-

ко

по пути изучения принципов построения и знакомства с общи-

ми

свойствами, особенностями и возможностями этих систем,

Часть

вторая

НЕПРЕРЫВНЫЕ

АВТОМАТИЧЕСКИЕ

СИСТЕМЫ

А. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Глава

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

ОПИСАНИЕ

АВТОМАТИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

5.1.

Понятие

линейных

системах

Автоматические системы представляют собой динамические

системы, в которых соединения отдельных элементов образуют,

как

правило,

контур

обратной

связью.

Характерная особен-

ность таких систем состоит в том, что каждый предыдущий эле-

мент воздействует на последующий, а влияние последующего

элемента на состояние предыдущего весьма мало. Иными сло-

вами, элементы автоматической системы обладают

однонаправ-

ленным

действием.

Элементы, образующие автоматическую систему, представ-

ляют собой

преобразователи

входной величины в

выходную

ве-

личину, вообще говоря, иной формы и, возможно, иной природы.

Так,

например, входная и выходная величины усилителя пред-

ставляют собой напряжения различного уровня и мощности.

Для генератора входная величина — напряжение (напряжение

возбуждения), а выходная

величина—также

напряжение, сни-

маемое с якорной обмотки. Форма этого напряжения в силу

инерционности,

вызванной наличием индуктивности цепи возбу-

ждения, отличается от формы напряжения возбуждения. Для

электродвигателя входной величиной является напряжение, при-

ложенное к якорной цепи, а выходной величиной — переменная

совсем иной физической природы, каковой является скорость

вращения или

угол

поворота вала двигателя.

Если реакция элемента на линейную комбинацию воздей-

ствий равна той же линейной комбинации реакций элемента на

каждое воздействие в отдельности, то такой элемент называется

линейным.

Это определяющее свойство линейных элементов вы-

ражает собой

принцип

суперпозиции.

Поэтому линейный элемент

можно определить как такой элемент, для которого справедлив

принцип

суперпозиции. Если для элемента принцип суперпо-

зиции

несправедлив, то такой элемент

будем

называть нели-

нейным.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

\ТЛ

Факт линейности

или

нелинейности

того

или

иного элемента

может быть установлен либо экспериментальным путем, либо

по

уравнениям, описывающим процессы, происходящие

рассма-

триваемом элементе.

В качестве примера рассмотрим соединение усилителя

с про-

стейшим инерционным элементом, представляющим собой

i^C-цепь

(рис. 5.1).

Уравнение

уси-

лителя:

(5.1)

(5.2)

Уравнение

RC-цеия:

Рис

5.1.

где

Т = RC —

постоянная времени.

Исключая

из (5.1) и (5.2)

^(0

используя обозначения

x(t)

=ui(t)

и y(t) =

Uz{t),

получим

(5.3)

Если параметры элемента

—

коэффициент

усиления

k и

постоян-

ная

времени

Т —

неизменны,

то для

рассматриваемого элемента

будет

справедлив принцип суперпозиции. Действительно,

этом

случае

из

уравнения

(х,

(t)

(0)

следует,

что

где

ух

(t)

г/

(0 удовлетворяют уравнениям

(5.4)

(5-5)

(5.7)

Принцип

суперпозиции

будет

также соблюдаться

и для RC-

цепи

переменными параметрами, когда коэффициент усиления

постоянная времени

будут

произвольными функциями

времени.

этом

случае

уравнение

постоянными коэффициен-

тами

(5.3)

заменяется уравнением

переменными коэффициен-

тами

(5.8)

§5

УРАВНЕНИЯ,

БЛОК-СХЕМЫ

ГРАФЫ

Принцип

суперпозиции, как это

следует

из

(5.4)

— (5.7), после

замены Т на

(t)

и k на

(t)

остается по-прежнему справед-

ливым.

Предположим теперь, что параметры элемента

С и

коэф-

фициент

усиления

зависят от входной и (или) выходной ве-

личин.

В этом

случае

постоянная времени

также

будет

зави-

сеть от входного воздействия х и (или) выходной величины у.

Уравнение такого элемента может быть записано в виде

(х

(О,

(/))

-^Г-

+ У

(t), У (0)

(/).

(5.9)

Теперь принцип суперпозиции несправедлив, поскольку

(*i

(0 +

(/),

(0 +

(0)

(*.

(0 +

(?)) ^

{х

(0,

г/i

(0)

(0 +

^п

te (0,

г/г

(5.10)

(t)

+ ^

(0,

У1

d(yW

yW)

(0)

-^ +

(х

(0,

(0)

Такие

элементы относятся к нелинейным элементам.

Если

все

элементы,

входящие

систему,

линейны,

то и

система

будет

линейна.

Если

хотя

бы

один

из

элементов

представляет

собой

нелинейный

элемент,

то вся

система

будет

нелинейной.

Принцип

суперпозиции, справедливый для линейных систем,

существенно облегчает как описание систем, так и исследование

их динамических свойств.

5.2.

Уравнения,

блок-схемы и графы автоматических систем

Уравнения автоматической системы представляют собой сово-

купность уравнений элементов, входящих в систему. Эти элемен-

ты

могут

быть различной физической природы: механические,

электрические,

электромеханические, гидравлические, тепловые

т. д. Поэтому для составления уравнений элементов исполь-

зуются фундаментальные законы природы, выражаемые уравне-

ниями

Ньютона, Лагранжа, Кирхгоффа и т. п. Методика соста-

вления

уравнений детально разработана в таких дисциплинах,

как

механика, электротехника, электромеханика, термодинамика,

теплотехника и др., и с этой методикой, при необходимости,

можно познакомиться по соответствующим руководствам.

Уравнения автоматической системы, как уже отмечалось, со-

ставляются по уравнениям ее элементов. Для конкретности

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

ОПИСАНИЕ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 5

рассмотрим систему регулирования

числа

оборотов

п (t) электро-

двигателя (рис. 5.2), для измерения скорости вращения которого

используется тахогенератор. Напряжение тахогенератора

(t)

пропорциональное

скорости вращения, сравнивается с напряже-

нием

задающего устройства

(1),и

разность

u(t)=u

(t)—

(t)

подается на

вход

усилителя

УС,

выходная величина которого

питает обмотку возбуждения электромашинного усилителя ЭМУ.

Рис.

5.2.

В свою очередь выходное напряжение электромашинного усили-

теля подается на якорь электродвигателя. Система работает сле-

дующим образом. Если нагрузка на

валу

двигателя увеличилась,

то скорость в первый момент уменьшится, напряжение тахогене-

ратора

упадет,

а напряжение на

входе

усилителя возрастет, что

приведет к увеличению напряжения электромашинного усили-

теля и, значит, к увеличению скорости вращения электродвига-

теля. Внутренняя обратная связь служит для стабилизации си-

стемы. Это гибкая, или упругая, обратная связь. Она

действует

только во время переходного режима, поскольку в установив-

шемся

режиме емкость С разрывает цепь внутренней обратной

связи.

Для составления уравнения системы разобьем ее на

элементы и составим уравнения каждого элемента.

Совокуп-

ность этих уравнений и уравнений связи описывает автоматиче-

скую систему.

Уравнение

электродвигателя:

AnVL

+ tlit)==ke

(

(5Ш

где

— постоянная времени двигателя,

— коэффициент

уси*

ления

двигателя,

(t)—э.

д. с, питающая якорную цепь.

2. Уравнение

электромашинного

усилителя.

Электромапщнный

усилитель представляет собой комбинацию

5.2]

УРАВНЕНИЯ, БЛОК-СХЕМЫ

ГРАФЫ

на

одном

валу

двух

генераторов, соединенных последовательно.

Компенсационная

обмотка (к. о.) предназначена для устранения

реакции

якоря.

Уравнение цепи управления — первого каскада:

Уравнение поперечной цепи —- второго каскада:

Tn^r-

eAO=-k

eAt),

(5.13)

где

—

постоянная времени цепи управления электромашинно-

го усилителя,

—

коэффициент усиления первого каскада,

Гп—постоянная

времени поперечной цепи,

—

коэффициент

усиления второго каскада,

(t)—э.д.

с.

питания обмотки

воз-

буждения второго каскада,

(t)

—

входное напряжение электро-

машинного усилителя.

Уравнение

электронного

усилителя:

И2(0

*эМ0,

(5.14)

где

—

коэффициент

усиления.

Уравнение

внутренней

обратной

связи:

и,

(О-МО,

(5Л5)

iMO

+Ue(0eifee

^L.

(5.16)

где

— коэффициент усиления или, точнее, «ослабления»,

—

постоянная

времени. Далее для простоты предполагается, что

;(0«е

(0.

5. Уравнение

отклонения

(уравнение

ошибки):

u(t)

(t)~u

(t).

(5.17)

Уравнение

ахогенер

ато р а:

(t)

n(t);

(5.18)

— коэффициент преобразования числа оборотов вала в на-

пряжение.

Система уравнений

(5.11)

—(5.18)

описывает процессы в ав-

томатической

системе—системе

регулирования числа оборотов

двигателя.

Исключая из полученных уравнений промежуточные

величины,

можно найти уравнения относительно интересующих

нас

величин. Но, как правило, эти операции очень трудоемки и

громоздки. Поэтому возникает потребность как-то упростить эти

промежуточные операции. Это может быть достигнуто, если вме-

сто рассмотрения величин, характеризующих состояние системы

во времени — оригиналов,— рассматривать соответствующие им

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

ОПИСАНИЕ

АВТОМАТИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

[ГЛ.

изображения,

получаемые на основе

преобразования

Лапласа.

Применение

преобразования Лапласа позволяет заменить опе-

рации

дифференцирования, интегрирования более простыми

операциями

умножения и деления, тем самым существенно упро-

стить составление и исследование уравнений автоматических си-

стем.

Преобразование

Лапласа

определяется соотношением

оо

X{p)^L

{х

(/)}

е-*х

(/) dt

(5.19)

между

оригиналом х

(t)

и его изображением Х(р). Основные

сведения по теории преобразования Лапласа приведены в при-

ложении 1.

Рассмотрим в качестве примера простейшее линейное диффе-

ренциальное уравнение первого порядка

4fL

(5.20)

которое описывает многие элементы автоматических систем и, в

частности, некоторые элементы системы регулирования числа

оборотов электродвигателя (рис. 5.2). Подвергая это уравнение

преобразованию Лапласа, получим

{

iLfl

y(f)}

{kx{t)},

(5.21)

или,

на основании теоремы линейности (теорема 1, приложе-

ние

1),

{

ЧР

}

{()}.

(5.22)

{

Замечая теперь, что на основании теоремы дифференцирования

(теорема 2, приложение 1)

}

(5.23)

где у (0)— начальное значение y(t) при t = 0, и принимая во

внимание

обозначение (5.19), запишем

(5.22)

в виде

(pY (р) - у (0))

Y (р)

(p),

(5.24)

или

(Tp+l)Y

(р)

X (р) + Ту (0).

(5.25)

Это линейное алгебраическое уравнение. Решая его

относитель-

но У

(/?),

находим

(р)

jJi^

(р) +

~у

(0)) .

(5.26)

' 21

УРАВНЕНИЯ,

БЛОК-СХЕМЫ

ГРАФЫ

Обозначим

{р)

^у(0).

(5.28)

Тогда уравнение элемента относительно изображений (5.26)

можно записать в такой форме:

(5.29)

В том частном, но часто встречающемся случае, когда начальное

значение

у(0)

равно нулю, из (5.28) следует, что

{р)=0,

уравнение (5.29) принимает простой вид:

Y(p)

K(p)X(p).

(5.30)

Функция

К(р),

зависящая исключительно от параметров эле-

мента и определяющая связь между изображениями выходной и

входной величин, называется

передаточной

функцией элемента.

В рассмотренном частном случае она определяется выражением

(5.27).

Формально

передаточная

функция

получается

из

диффе-

ренциального

уравнения

после

замены

в нем

символа

крат-

ного

дифференцирования

на

соответствующую

степень

р и

деления

образованного

таким

образом

многочлена

правой

части

уравнения

на

многочлен

левой

части

уравнения.

Для элементов с сосредоточенными параметрами, описывае-

мыми

обыкновенными дифференциальными уравнениями с по-

стоянными

коэффициентами, передаточные функции представ-

ляют собой дробно-рациональные функции р. Каждый элемент

автоматической системы может описываться либо дифференци-

альным уравнением, либо соответствующей передаточной функ-

цией.

Для системы регулирования числа оборотов электродвигателя

уравнения относительно изображений

будут

иметь следующий

вид.

1. Уравнение

электродвигателя:

-Е

(р).

(5.110

2. Уравнение электромашинного

усилителя:

EAp)

(p).

(5.13')

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

ОПИСАНИЕ

АВТОМАТИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

[ГЛ.

Уравнение электронного

усилителя:

С/

(р)

(/,(р).

(5.140

Уравнение внутренней обратной

связи:

(p)

U(p)-U

(p),

(5.15')

Uo(p)

(p).

(5.160

Уравнение отклонения:

U(p)

{p)-U

{p)

Уравнение

тахогенератора:

(5.170

(5.180

Система уравнений относительно изображений

(5.1

—

(5.18')

также описывает замкнутую систему регулирования

числа

к,

У+f

Иг(Р)

i/f(p>

Щ(р)

ксР

p+1

кд

ТдР+1

(

)

ftp;

krr

Uo(P)

Рис.

5.3.

оборотов.

отличие

от

системы дифференциальных уравне-

ний

(5.11)

—(5.18), теперь система

(5.11

)

—

(5.18

)

является

си-

стемой алгебраических уравнений относительно изображений.

Блок-схема

системы

регулирова-

ния числа оборотов двигателя

щ.

^%И^

изображена

на

рис.

5.3.

Она опре-

^v-/

деляет

тип

элементов, характери-

Х^

зуемый передаточной функцией,

и связи

между элементами.

Рис.

5.4

Наряду

блок-схемой удобно

использовать граф

—

диаграмму

прохождения сигналов.

Граф

системы

регулирования

числа

оборотов двигателя приведен

на рис. 5.4.

Ветви графа соответ-

ствуют

передаточным функциям элементов,

узлы графа

—

со-

единениям

—

связям элементов.

§5.3]

АЛГЕБРА

ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ

5,3.

Алгебра

передаточных функций

Для определения передаточных функций автоматических

систем

по их

блок-схемам или графам необходимо уметь опреде-

лять

передаточные функции соединений элементов

по

переда-

точным

функциям отдельных элементов.

При

рассмотрении

блок-схемы

или

графа нетрудно выделить

три

характерных

со-

единения:

последовательное, параллельное

обратное. Правила,

позволяющие

определять передаточные функции системы

в це-

лом

по

передаточным функциям отдельных элементов,

состав-

ляют алгебру передаточных функций.

1. Последовательное соединение.

Последовательным

соеди-

нением

элементов называется такое соединение, при котором вы-

ходная величина предшествующего элемента является входной

величиной

последующего (рис.

5.5).

(fl

№

Рис.

5.5

Для последовательного соединения имеем

(5.31)

(5.32)

(5.33)

(5.34)

В общем случае при последовательном соединении

элементов

(р)

(p)

...

(p). (5.35)

Передаточная

функция

последовательного

соединения

эле-

ментов

равна

произведению

передаточных

функций от-

дельных

элементов.

Пример,

Последовательное соединение

/?С-цепей

(рис.

5.6).

Передаточные

функции

/^С-цепей

имеют

вид

откуда после исключения

(р)

получаем

(р)

Г,

(р)

ДГ,

(р)

W (р)

(р)

и,

значит,

(P)

(p)

•

Tip+l*

Ti^Rid

'•

R2&2t

(5.36)

(5.37)