Цыпкин Я.З Основы теории автоматических систем
Подождите немного. Документ загружается.
532 ПРИЛОЖЕНИЯ
Замечая, наконец, что
^
(^
v
)
==
(—
l)
v
|
x
(^
v
)
|, из (44) окончательно
получаем
Найдем изображение и спектр
6-функции
00
L{6(t~
/
v
)}
=
J
*
(/
—
/
v
)
e~P
f
dt.
—
oo
На
основании 2-го свойства (39) получаем
\
(46)
и,
значит, при р = /со
P{6(t
—
tv)}
=
e
4
*
a
v
(47)
и,
в частности, при
/
v
= 0
1,
(48)
т. е.
изображение
и
спектр
6-функцш
представляют
собой
по*
стоянную
величину,
равную
единице.
И значит, по формулам
обращения (19) и (23)
C-f/0
\
С—/oo
5Г
5
a.
(50)
—
oo
Учитывая, что
получим
из (50)
6(/)
=
2^
J
cos
<s>1da>,
(51
=-i
jj
cos
Ш
d<a,
(52)
0
3j
ДИСКРЕТНЫЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ЛАПЛАСА
И
ФУРЬЕ
633
3.
Дискретные
преобразования
Лапласа
и
Фурье
Дискретным
преобразованием
Лапласа
называется преобра-
зование решетчатой функции
f(fnT)
вещественной дискретной
переменной
mT
(m
=
О,
1, 2, ..., Т —
интервал повторения
в
другую
функцию
F*(p)
комплексного переменного
р
у
определяе-
мое соотношением
F*ip)=
Ze-P^fimT).
(53)
Решетчатая функция
f{mT),
представляющая собой последова-
тельность дискретных значений непрерывной функции
f(t) при
О ^
mT
<С
оо, называется
оригиналом,
а
функция
F*(p)—изо-
бражением.
Сокращенно соотношение
(53)
будем
записывать
в
виде
F*(p)
=
D{f(mT)}.
(54)
Обратное дискретное преобразование Лапласа осуществляется
по
формуле
S
F*(p)e-?
mT
d
P
(55)
где
с —
абсцисса абсолютной сходимости. Кратко формула
об-
ращения
(55)
запишется
так:
f(mT)
=
D->{F*(p)}.
(56)
Дискретное преобразование решетчатой функции можно рассма-
тривать
как
обычное преобразование Лапласа непрерывной
функции
/(/),
модулирующей периодическую последовательность
импульсивных функций
М0=
S
6(t-mT).
(57)
О0означим
результат
этой модуляции через
f
(0>
тогда
(/-тП.
(58)
Найдем
Г
(р)
-L{f(0).
(59)
534
ПРИЛОЖЕНИЯ
Заменяя
в (59)
f*(/)
его
выражением
из (58),
получим после
использования
теоремы линейности
и
свойства
1
6-функции
F(p)=t
f(mT)L{6(t-mT)}.
m-0
Но
в
силу
(46)
L{6(/
— тТ)}
=
е-
Следовательно, окончательно получим
F*
(р)
=
L
{Г
(t)} =
t
f
Ш
е-'«*
=
D{f
(mT)}.
(60)
/п
= 0
Установим связь
между
изображением F* (р) решетчатой
функции
f{mT)
и
изображением
F(p)
порождающей
ее
непре-
рывной
функции
/
(/).
Для
этой цели положим
в
формуле обра-
щения
(4)
/
=
тГ,
тогда
получим
S
(61)
с—/©
Разобьем путь интегрирования на интервалы
((2т—1)"^"»
(2/п+1)^),
где
соо==-^
(62)
—
частота повторения:. Тогда
(61)
можно представить
в
виде
(63)
Производя
в (63)
замену переменной
р на р +
/тсо
0
и
учитывая,
что
получим после изменения очередности суммирования
и
интегри-
рования
с
оо
J
Z
Ь]
ДЙСКРЕТНЫР
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ЛАПЛАСА
И
ФУРЬЕ
535
Обозначив
сю
£
(64)
и
принимая
во
внимание
(62),
получаем формулу обращений
дискретного преобразования Лапласа
(55)
=
-jj-
\
F*{p)ei>
mT
dp.
(65)
Изображение
F*(p)
решетчатой функции
f(tnT)
связано
с изо-
бражением
F(p)
соответствующей непрерывной функции
f(t) со-
отношением
(64).
Кратко
это
соотношение
мы
будем
записывать
в виде
сю
|
£
(66)
Это соотношение справедливо
при f (0) = 0.
Если
же
f
(0)=^=0,
то
со
F
'(P)
=
T
Z
F(P
+
im^
Q
)
+
1
f-.
(67)
Приведем простые примеры соответствий
f{mT)
и
F*
(р).
Пусть
f(mT) =
e-
amT
(m = 0). Из (53)
получаем
/7*
/
D
\
==
Y*
е
-(р+а)тТ
—
ИЛИ
F*
(р)
=
D
{в-«-^}
-
^гг^г
•
(68)
При
а==0
и
из (68)
получаем
(69)
:
В
отличие
от
изображений
F(p)
непрерывных функций
/(/),
яв-
ляющихся функциями
/?,
изображения
F*(p)
решетчатых
функ-
ций
f(tnT)
являются функциями
не
/?,
а
е^
т
.
Поэтому
F*(p)
536 ПРИЛОЖЕНИЯ
представляют собой периодические функции с периодом
Действительно,
F* (р +
}кщ)
=
Z
e-<P+i
k
^
mT
f
(тТ)
=
Z
e-P
mT
f(mT)
=
F*(p).
(70)
т=0 т=0
Изображение
решетчатой функции F*(p) полностью определяет-
ся
своими значениями в основной полосе
Г—
-у-,
-^г].
Если
изображение F(p) имеет полюсы
ри
в основной полосе
(""""ТТ*
"1")
'
то
^*^
будет
иметь соответствующие полюсы
Pk
+
/™°о
(—
оо
<
m
<
оо)
во
всех
полосах. Этот факт
следует
непосредственно из опреде-
ления
/
7
*(/?)
(64).
Часто вводят новую переменную
z
=
e?
T
.
(71)
Тогда вместо (60)
будем
иметь
-'»f(mT),
(72)
или,
кратко,
F(z)
=
Z{f(mT)}.
(73)
Это соотношение определяет собой
Z-преобразование^
которое
широко
используется
в
литературе
по
теории импульсных систем.
Соотношение
(68)
преобразует мнимую
ось
плоскости
р в
окруж-
ность единичного радиуса
и
левые полуполосы
во
внутренность
ее. Изображения
Z-преобразования
е~
атпТ
и 1
(тТ)
получаются
из
(68) и (69)
простой заменой
в их
правых частях
е^
т
на
г,
так
что
aT
(74)
(75)
Однако для установления более тесной связи теории импульсных
систем с теорией непрерывных систем нам удобнее применять
дискретные преобразования Лапласа. Важную роль при исполь-
зовании
дискретного преобразования Лапласа играют теоремы,
устанавливающие связь
между
операциями оригиналов и изо-
бражений решетчатых и непрерывных функций.
Приведем формулировки основных теорем с краткими указа-
ниями
способа их
доказательства.
Подробные доказательства, а
3] ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ЛАПЛАСА
И
ФУРЬЕ
537
также
ряд
дополнительных
сведений
читатель
может
найти
в
книгах,
указанных
в
списке
литературы.
Теорема
1.
Линейность дискретного преобразования Лап-
ласа:
(
п
\
п
п
D \
Е
Ov/v
(mT)
\ =
Z
a
v
D
{f
v
(mT)}
=
£
a
v
F*
v
(р).
(76)
D-преобразование линейной комбинации решетчатых функций
равно линейной комбинации их D-преобразований.
5)
{ t
b
v
F
v
(p)
} =
t
b
v
T)
{F
v
(p)}
=
t
b
v
F*
v
(p).
(77)
^-преобразование
линейной комбинации изображений
непрерыв-
ных
функций равно линейной комбинации изображений
^-преоб-
разований
изображений непрерывных функций или изображений
соответствующих
решетчатых
функций.
Теорема
2. Смещение аргумента
решетчатой
функции (тео-
рема запаздывания):
D {f
((/и
-
s) Т)} =
e~P
sT
D
{f
(mT)}
=
e~?
sT
F*
(p).
(78)
Предполагается,
что
f((m
—
s)T)
=
0
при m
^
s. Смещение ар-
гумента
решетчатой
функции на sT
соответствует
умножению
изображения F*(p) на
e~v
sT
.
Соотношение
(78)
вытекает
из (60) при
замене
f(mT)
на
f((m
— s)T) и
последующей
замене
переменной
mТ
на
(rn
—
s)Т.
Теорема
3. Смещение аргумента изображения:
F* (p +
aT)
=
D
{e~*
mT
f
(mT)}.
(79)
Смещению аргумента р изображения на
аТ
соответствует
умно-
жение оригинала на
е~
атТ
.
Теорема
4. Умножение изображений (теорема свертыва-
ния)
:
=
D
{f,
{mT)}
D
{h
{mT)}
=
F\
(p)
Ft
(p). (80)
Изображение свертки двух оригиналов решетчатых функций
равно произведению их изображений.
Соотношение
(80)
можно
получить,
умножая
обе
части
(51)
на
Fl(p)
и
применяя
теорему 2.
Теорема
5. Умножение изображений непрерывной и решет-
чатой
функций:
Ф
{F,
(р)
FI
{р)}
=
Ф
{F,
(/>)}
FI
(р)
=
Fl
(p)
FI
(р).
(81)
538 ПРИЛОЖЕНИЯ
Преобразование
произведения
изображений
непрерывной
и
ре-
шетчатой
функций
равно
произведению
изображений
решетча-
тых функций.
Для доказательства этой теоремы достаточно воспользовать-
ся
свойством
(70) для
FI
(р).
В частном случае, если
Fi(p)
=
e
PT
,
из (81)
получаем
£>
{
e
»
T
Fl
(р)}
=
В
{е
рт
}
Fl
(р)
=
e
pT
Fl
(p),
т.
е.
множитель вида
е
РТ
выносится
за
знак операции
^-пре-
образования.
Теорема
6.
Сумма
дискрет:
т=0
(82)
Сумма
дискрет
(если
она
существует)
равна
начальному
значе-
нию
изображения.
Соотношение
(82)
следует
из
определения дискретного
пре-
образования
Лапласа
(60)
при /7
= 0.
Теорема
7.
Предельные
значения:
(83)
р-»оо
lim(eP
r
-l)F*(p)
=
/(oo),
(84)
р->0
если
эти
предельные
значения
существуют.
Эти соотношения получаются применением теоремы
6 к
изо-
бражениям разностей
kf
{mT
)=:f((
m+
l)T)-f(mT)
/if
((m
-
1)Г)
=
/(mT)
-f((m-
1)Г).
Наиболее часто встречающиеся
соответствия
в
дискретном
пре-
образовании Лапласа приведены
в
табл.
П.2.
Наряду
с
односторонним дискретным преобразованием Лап-
ласа иногда вводят
в
рассмотрение двустороннее дискретное пре-
образование Лапласа
F*[p)=
Z
e-P«"f(mT),
(85)
lk
S
F{p)eP««dp,
(86)
в
котором решетчатая функция
f(mT)
определяется
для
всех
ДИСКРЕТНЫЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ЛАПЛАСА
И
ФУРЬЕ
539
Таблица
П.
2
1
2
3
4
5
6
7
8
Т(тТ)
1
m
tn
2
m
a
e
-amT
me
a
sin
щпгТ
cos
(И
о
тТ
F*(p)=D{f(mT)}
=
S{F(p)}
e
pT
-\
(e°
T
-\)
2
(e
pT
~~\)
2
O
P
T
n
P
T
P
T
(
e
pT_
e
-a
T)
C
e
pT
sin
со
о
Г
e
2pT
~
2e
pT
cos
щТ
-\~
1
e
pT
(e
pT
- cos
(0
0
T)
e
2pT
—
%e
vT
cos
со
0
Г
+
1
F[p)
1
P
P
2
1
1
In
a
T
1
p-a
1
(P
-
a)
2
co
o
P
2
i
2
целых,
а не
только положительных
m
=
0,
±1, ±2,
...
При
f(
m
T)~O
для
m<0
(87)
двустороннее дискретное преобразование Лапласа обращается
в
одностороннее.
Полагая
в (85) и
(86)
р =
/со,
мы
приходим
к
дискретному
преобразованию Фурье:
или,
кратко,
и
или,
кратко,
CDo/2
СОо
J
-W2
d®,
(88)
(89)
(90)
(91)
640
ПРИЛОЖЕНИЯ
Дискретное преобразование Фурье определяет оригинал
f(mT),
удовлетворяющий условию (87), лишь для абсолютно суммируе-
мых функций, т.е. если
I
|
f(mT)
|<
°о.
(92)
Изображение
F*(p) при р = /со представляет собой спектр ре-
шетчатой функции
f(mT).
Этот спектр периодичен. Для получе-
ния
спектра решетчатых функций при выполнении условия (92)
достаточно в
соответствующих
изображениях табл.
П.2
поло-
жить р = /со.
Условие (92) выполняется, когда F*(p) имеет все полюсы ле-
вые, а значит,
F*(jco)
имеет все полюсы верхние. В противном
случае,
когда F*(p) имеет и правые полюсы, а значит,
F*(j®)
имеет нижние полюсы, оригиналы
/(тГ),
получаемые из дис-
кретных преобразований Лапласа и Фурье,
будут
различными.
Оригинал
f(mT)
9
соответствующий изображению
F*(p),
будет
равен
нулю
при т
<
0, а при т
>
0 он
будет
содержать возра-
стающие с ростом т составляющие. Оригинал
f(mT),
соответ-
ствующий спектру
F*(/co),
будет
отличен от нуля при
ш<0
и
содержать составляющие, порожденные нижними
полосами,
а
при
т
>
0 — составляющие, порожденные верхними полюсами.
То есть здесь имеет место ситуация, аналогичная непрерывному
случаю.
Эти факты играют существенную роль при синтезе опти-
мальных систем. Выделение составляющих,
соответствующих
по-
ложительному времени т > 0, приводит к решению, которое
описывает физически реализуемые процессы.
4. Неравенства
При
выводе условий абсолютной устойчивости нелинейных
непрерывных (§ 17.2) и дискретных (§ 35.2) систем использова-
лись неравенства
Коши
— Буняковского
-iv«
г t
у
Jff(T)dT
J
L
o
J
(93)
М
2
Г\(тТ)\
Z
Ц(пгТ)\
. (94)
Lm=0
J
Lm=0
J
В
литературе
неравенство (93) называется также неравенством
Коши
— Шварца, или неравенством Шварца, или, наконец, не-
равенством
Буняковского
— Шварца, а неравенство
(94)—не-
равенством Коши или неравенством
Коши
— Буняковского.
4]
НЕРАВЕНСТВА 541
Для вывода неравенства (93) рассмотрим очевидное нера-
венство
t
о
В развернутой форме это неравенство представится в виде
аК
2
±
2ЬХ
+ с
>
0, (96)
где
t
t t
0
0 0
Из
неотрицательности квадратичного многочлена (96)
следует
неположительность его дискриминанта
6
2
-ш;<0,
(98)
или,
после подстановки значений коэффициентов из (97),
t
12
t t
)
fc
(x)
dx\ \ f
2
(T) dx
•
\ f
2
(x) dx
^
0, (99)
-6
Jo
о
откуда
следует
неравенство (93).
Точно так же из очевидного неравенства
м
можно получить дискретный вариант неравенства
Коши
—
Бу-
няковского
[
М
-|2
М М
L
/i
(^П
/о
(
тГ
)
^
2^
/т(^)
•
2-г
ГоЩТ),
(101)
которое равносильно (94).
Неравенства
Коши
—
Буняковского
лежат
в основе вывода
не
только условий абсолютной устойчивости непрерывных и дис-
кретных систем (§ 172 и § 35.2), но и оценки интегрального
(§
19.3) и суммарного
(36.2)
квадратического
отклонения,