Цыпкин Я.З Основы теории автоматических систем
Подождите немного. Документ загружается.
472
ПРОЦЕССЫ В
НЕЛИНЕЙНЫХ
ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. 34
Рассмотрим частный случай. Пусть предельная линейная им-
пульсная система апериодична, т. е.
Тогда, учитывая (34.22), имеем
С =
Z
I
k (sT)
I
=
Е
k (sT)
=
1С
(0)
S=0
5=0
и,
значит,
Но
при p
=
f
1 если
_
W*
(0) _
f
1,
~
1
+
^(0)
U<1,
если
Г*(0)<оо.
Следовательно,
Для
апериодической
предельной
системы
наибольшее
от-
клонение
процесса,
вызываемое
квантованием
по
уровню,
не
превосходит
половины
шага
квантования.
Чем более податлива предельная система, т. е. чем больше
величина С, тем больше верхняя граница отклонения предела,
вызываемого квантованием по уровню.
Задачи
34.1.
Построить процесс в нелинейной импульсной системе, передаточная
функция
непрерывной части которой равна
W/
(
п
\
* I
W(P)
- P +
0J5
+
р
+ 1 '
а нелинейная характеристика определяется выражением
при
{
10
'
t>0
'
0, t < 0.
34.2.
Определить стационарные состояния в нелинейной импульсной си-
стеме, рассмотренной в задаче 34.1, при f(t) =0 и
10>
t>0
'
0,
t < 0.
34.3.
Определить влияние квантования по уровню в нелинейной импульс-
ной
системе, передаточная функция непрерывной части которой равна
р
+
0,5
^ р
+
1 •
Глава
85
УСТОЙЧИВОСТЬ
НЕЛИНЕЙНЫХ
ИМПУЛЬСНЫХ
СИСТЕМ
§
35.1. Понятие устойчивости
Процесс
в нелинейной импульсной системе х(тТ) можно
представить в виде суммы вынужденного процесса
х
в
(тТ)
и сво-
бодного процесса
х
с
(тТ):
х
(тТ)
=
х
в
(тТ)
+
х
с
(тТ).
(35.1)
Установление вынужденного процесса в нелинейной системе воз-
можно лишь
тогда,
когда свободный процесс с течением времени
стремится к нулю, т. е.
lim
x
c
(mT)
= 0.
(35.2)
Как
следует
из § 34.2, вынужденный процесс в нелинейной им-
пульсной системе определяется нелинейным суммарным уравне-
ним
вида
m
х
в
(mT)
=
f^
(mT)
—
£
а>
(ST)
Ф
(Х
В
((m
-
s)
Г)),
(35.3)
а соответствующий свободный процесс
х
с
(тТ)
—
суммарным
уравнением, которое можно записать в форме
m
х
с
(mT)
=
^
(mT) +
/о
(mT) -
£>
((m
-s)T)O>
(x
c
(sT),
s)
9
(35.4)
где
Ф
(x
c
(mT),
m)
=
ф
(x
B
(mT)
+
x
c
(mT))
- Ф
(x
B
(mT)).
(35.5)
Будем говорить, что вынужденный процесс
x
B
(mT)
устойчив,
если
соответствующий
ему свободный процесс
х
с
(тТ)
с тече-
нием
времени стремится к нулю (см. (35.2)). Обозначим
квадрат исчезающего внешнего воздействия
/,
(mT)
-f
f
o
^(mT)
через
г},
так что
оо
Ц
=
Е
17+
(тТ)
+
П
ШТ.
(35.6)
474
УСТОЙЧИВОСТЬ
НЕЛИНЕЙНЫХ
ИМПУЛЬСНЫХ
СИСТЕМ
[ГЛ.
ЗЗ
Если
условие
(35.2)
выполняется при достаточно малых вели-
чинах
ц
(35.6), то имеет место устойчивость вынужденного про-
цесса
«в
малом».
Если условие
(35.2)
выполняется при
фикси-
рованной
конечной величине
ц
(35.6), то имеет место устойчи-
вость вынужденного процесса
«в
большом».
Если условие
(35.2)
выполняется при любой величине
ц
(35.6), то имеет место
устойчивость вынужденного процесса
«в
целом».
Устойчивость вы-
нужденного процесса в целом не для одной фиксированной ха-
рактеристики нелинейного элемента
Ф(х),
а для некоторого се-
мейства таких характеристик называется
абсолютной
устойчи-
востью
вынужденного процесса.
Поскольку
состояние равновесия является частным случаем
вынужденного процесса, вызываемого постоянным внешним воз-
действием, то из устойчивости вынужденного процесса в целом
либо абсолютной устойчивости вынужденного процесса
следует
и
устойчивость положения равновесия. В этом
случае
можно го-
ворить об устойчивости в целом либо абсолютной устойчивости
нелинейной
импульсной системы. Таким образом,
нелинейная
импульсная
система
абсолютно
устойчива,
если
все
возможные
в ней
вынужденные
процессы
абсо-
лютно
устойчивы.
§
35.2. Условия абсолютной устойчивости
Рассмотрим нелинейную импульсную систему (рис. 35.1), ко
входу
которой приложено ограниченное внешнее воздействие
Рис.
35.1.
f~
(friT).
Предположим вначале, что ее линейная импульсная
часть устойчива, т. е.
| w
(mT)
\<C,
[w
(mT)f
<
С,.
(35.7)
Найдем условия абсолютной устойчивости процессов в нелиней-
ной
импульсной системе. Свободный процесс в общем
случае
определяется уравнением (35.4). Образуем функцию
м
р
(М)
=
J
|>
W
~
^^р^-]
Ф
(х<
(пгТ),
«),
(35.8)
т-0
§
35.2] УСЛОВИЯ АБСОЛЮТНОЙ
УСТОЙЧИВОСТИ
475
ИЛИ
м
Z
[s
{x
<(l
nm)
-
т]
& &
W.
«)•
(35-9)
Здесь обозначено
S(x
c
,
m
)^=^i^L,
(35.10)
а
Ф(х
с
,
т)
определяется выражением (35.5). Как видно из (35.5),
Ф(0,
m)
=
0
Vm,
(35.11)
где V означает «для
всех».
Функция
р{М) (35.9)
будет
неотрицательна и
конечна,
если
0<S(jt
c
,
m)<k
Q
(35.12)
k
o
<k.
(35.13)
Подставляя
в выражение
р(М)
(35.8)
х
с
(тТ)
из уравнения (35.4)
и
Ф(х
с
(пгТ),
т)
из очевидного тождества
т
4-
Ф
(^
с
(тГ),
т)
=
У
а (т
~
я)
Ф
(х
с
(sT),
s),
(35.14)
где
(
I
m
= s,
o(m-s)
=
<
f
(35.15)
получим
p
(M)
=
J]
[f
((m
-
s) r)
+
T](()>)((
m=0
S
=0
(35.16)
ИЛИ
M
P
(M)
=
m
Z
Q
[f
+
(тЛ
+
/J
(тГ)]
Ф
(^
c
(mT),
m)
-
Г
$
(M),
(35.17)
где
M
m
Z
S[tp((m—s)7>+
g(m
~
g)
]Ф(*
С
О.Г),
5)Ф(/(тГ),т)
(35.18)
m=0
s=0
476
УСТОЙЧИВОСТЬ
НЕЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ
СИСТЕМ
[ГЛ. 35
-—квадратичная
форма относительно
Ф(х
с
,
т).
Предположим,
что для всех М
(Af=l,
2, 3,
...)
эта квадратичная форма
неотрицательна, т. е.
Г
д
(М)>0
VAf. (35.19)
Тогда, опуская
Г^(М)
в (35.17), получим неравенства
м
р (АО
<
£
[/,
(тТ)
+
f°.
(mT)] Ф
(х
с
(mT),
m).
(35.20)
Заменяя
р(М) его значением из (35.9), получим
м
т-0
т=»0
Подставляя в левую часть неравенства (35.21) вместо
S(x
c
(mT)
}
m)
верхнюю границу
k
Q
(35.12), получим
Af
т=0
Применяя
к правой части неравенства (35.21)
неравенствй
Коши
— Буняковского (приложение 4), будем иметь
jt
Q
[/V
Ш
+
f\
(тТ)-]
Ф
(х
с
(mT),
m)
<
/
М
\1/2
/ М
\1/2
<(
Z
{fAinT)
+
fl{mT)~f\
(
Z
Ф
2
(*
с
(тТ),
т)\
. (35.23)
На
основании неравенств (35.22), (35.23) неравенство
(35,21)
можно усилить:
Ч
1
^
),т)
. (35.24)
§
35.2] УСЛОВИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ 477
Принимая
во внимание, что в силу (35.13) левая часть нера-
венства (35.24) положительна, и возведя обе части неравен-
ства (35.24) в квадрат, после очевидных сокращений получим
м м
£
Ф
2
(х
с
(тТ),
пг)
<
(^z^)
2
£
U+
(
тГ)
+
fl
^
тГ)
Т
VM
-
(
35
'
25
)
По
определению исчезающих воздействий ряд их квадратов
сходится, т. е.
М.
VAf.
(35.26)
Следовательно,
из (35.26) получаем
м
Ф
2
(х
с
(mT),
m)
<
Если
суммы равномерно ограничены, то ряд
2
Ф
2
(#
с
(тГ),
т)
сходится и его слагаемые при т --> оо стремятся к нулю, т.
е.
lim
Ф{х
с
(тТ),
ш)
=
0.
(35.28)
т->оо
Но
из уравнения свободного процесса (35.4) при условии (35.28)
следует, что
lim
x
c
{mT)^0.
(35.29)
m->oo
Отсюда следует вывод об абсолютной устойчивости процессов в
нелинейной
импульсной системе.
Условием абсолютной устойчивости процессов в нелинейных
импульсных системах, как следует из изложенного, является не-
равенство (35.19) при k
<C
й
0
,
т.е. неотрицательность квадратич-
ной
формы
Гф
(М) (35.18) при k
<C
ко
для всех М.
Для
того
чтобы
процессы
в нелинейной
импульсной
си-
стеме
с
устойчивой
импульсной
частью
были
абсолютно
устойчивыми,
достаточно,
чтобы
квадратичная
форма
м м
=
Z
Z
[
w
«
m
-
m=0
для k <
k
Q
,
где
k
Q
— верхняя
грань
S
(x
c
,
m),
была
бы
не-
отрицательной
для всех
М.
478
УСТОЙЧИВОСТЬ
НЕЛИНЕЙНЫХ
ИМПУЛЬСНЫХ
СИСТЕМ
[ГЛ.
35
Для установления условий абсолютной устойчивости состоя-
ния
равновесия нелинейной импульсной системы, как это видно
из
уравнения свободного процесса (35.4), нужно в приведенных
выше результатах положить
§(тТ)
=
0
(35.31)
и
Ф(х
с
,
т)
=
Ф(х
с
).
(35.32)
Тогда квадратичная форма (35.30) переходит в
Г
Ф
(М)
=
М т
[
w
((/n
~
s) Т)
+
g(m
fe
~
s)
]
Ф
(х
с
(sT))
Ф
(х
с
(tnT))
(35.33)
=
^r
L
-
(35.34)
Положение
равновесия
нелинейной
импульсной
системы
с
устойчивой
импульсной
частью
будет
абсолютно
устойчи-
вым,
если
квадратичная
форма
ГФ (М) (35.33) для
k<:k
0
,
где
k
0
—
верхняя
грань
S(x
G
)
(35.34),
неотрицательна
для
всех М.
Установленные выше условия устойчивости процессов и со-
стояния
равновесия непосредственно трудно использовать, так
как
они требуют проверки бесконечного числа неравенств.
Перейдем к установлению на основе этих условий критериев
абсолютной устойчивости, которые удобно было бы применять
при
конкретных исследованиях.
§
35.3. Критерий абсолютной устойчивости
Обозначим
-L[w((m-s)T)
+
w((s-m)T)l
тфз,
j
(35.35)
w (0) +
у,
т = s.
В отличие
от
временной характеристики
w((m
—
s)T),
равной
нулю
при т
<
5,
т.
е.
при
отрицательных значениях аргумента,
w((m
—
s)T),
как
видно
из
(35.35),
существует
как при
поло-
жительных, так
и
при отрицательных значениях аргумента. При-
чем
ф
(—
т
т)
=
w
(пгТ).
(35.36)
§
35.3]
КРИТЕРИЙ
АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
479
Пользуясь (35.35), можно квадратичную форму
Гф
(М)
(35.30)
представить в виде
м м
Гф
(М)
=
Е
Е
0
((т
-s)T)O
(х<
(тТ),
пг)
Ф
(х
с
(яГ),
5).
(35.37)
—0
s==0
Установим прежде всего условия неотрицательности квадратич-
ной
формы
Гф
(М) (35.37). Для этой цели воспользуемся
двусто-
ронним
преобразованием Фурье
IF*(<o)=
Е
m~~o
Обратное преобразование
СОо/2
(35.38)
(35.39)
определяет w(mT)
по
спектральной функции
IF*
(со).
Подставляя
й)
(тГ)
из
(35.39)
в (35.37), получим, после перемены порядка
суммирования и интегрирования,
(35.40)
<Оо/2
-соо/2
Или
так как
м м
5-0
М
)
Ф
(х
с
(sf),
s)
,
m
Ф
),
s)
e~i«>
sT
=±
то
$
(АО =
-™-
(со)
м
Е
Ф
пг)
е^
т-0
(35.41)
(35.42)
Отсюда видно, что условие неотрицательности
Г%(М)
(35.19)
будет
выполнено при любой
Ф(х
с
(тТ),
т),
если
будет
неотри-
цательна спектральная функция
IF*
(со),
т. е. если
Г*
(со)
при
(35.43)
480
УСТОЙЧИВОСТЬ
НЕЛИНЕЙНЫХ
ИМПУЛЬСНЫХ
СИСТЕМ
[ГЛ. 35
Но
из
(35.38)
при
учете
(35.35)
следует
^ * 1
т =0
Замечая,
что
j
+
4-
У
w
(-
тТ)
е-№.
(35.44)
т =0
(35.45)
m—Q
получим
или
m—0
=
W*(-
/со),
(со)
=
|
1Г
(/со)
+
1
+
JIT
(-
/со),
'»
=
Re
ИГ
(<*>)
+т.
(35.46)
где
W^*
(/со)—частотная
характеристика линейной импульсной
части. Таким образом, условие неотрицательности
Г$(М)
(35.43)
запишется в виде
Re
ЛГ
!>0,
(35.47)
Эго же неравенство является также условием неотрицательности
и
ГФ(М)
(35.33).
Геометрический смысл неравенства
(35.47)
весьма прост.
Проведем на плоскости частотной характеристики
IF*
вертикаль-
ную прямую —
-г
через точку
/ i .
ч
W(J'Q)
I
~~~k*
^J
(Р
ис
-
35.2). Тогда
не*
равенство
(35.47)
будет
выпол-
нено,
если частотная характери-
стика линейной части импульсной
системы W* (/со)
fO^co^^J
будет
расположена справа от вер-
тикальной
прямой.
Теперь можно перейти к фор-
мулировке критериев
устойчиво*
стй
состояния равновесия и процессов. Для этого достаточно ис-
пользовать условие
(35.47)
и выяснить конкретный смысл
функ-
ции
S(x
c
,m).
При рассмотрении устойчивости состояния равно-
весия,
как видно из (35.34),
S(x
c
,m)
представляет собой
Рис.
35.2.
$35
3]
КРИТЕРИЙ
АБСОЛЮТНОЙ
УСТОЙЧИВОСТИ
481
коэффициент
статической линеаризации нелинейного элемента,
т. е.
(35.48)
Поэтому критерий устойчивости состояния равновесия нелиней-
ной
импульсной системы можно сформулировать следующим об-
разом.
Состояние
равновесия
нелинейной
импульсной
системы
с
устойчивой
линейной
частью
будет
абсолютно
устой-
чивым,
если
коэффициент
статической
линеаризации
нели-
нейного
элемента
удовлетворяет
неравенству
О <
№
(х) <
k
Q
,
(35.49)
а
частотная
характеристика
линейной
импульсной
части
№*(/со)
расположена
справа
от
вертикальной
прямой
—
•j,
где k>
k
Q
.
Условие, налагаемое на коэффициент статической линеариза-
ции
(35.49), равносильно условию принадлежности характери-
стики нелинейного элемента Ф(х) сектору (0, k) (рис. 35.3). При
рассмотрении устойчивости процессов, как
следует
из (35.5) и
(35.10),
\х , т) —
у
/fa
Ф
(х*
(тТ)
+
х
с
)
—
Ф (л
(35.50)
т. е.
S(x
c
,
m) представляет со-
бой разделенную разность. Для
непрерывной и дифференци-
руемой характеристики нели-
нейного элемента неравенство
0<S(x
c
,
m) <
k
Q
(35.51)
равносильно неравенству
>(*
с
)
0<
<k
0
,
(35.52)
Рис.
35.3.
т. е. неравенству относительно коэффициента дифференциальной
линеаризации fe
(A)
(х
с
)
= -
^*
. Поэтому критерий устойчиво-
сти процессов можно сформулировать следующим
образом,
16
Я 3
Цыпкиц