Цыпкин Я.З Основы теории автоматических систем

Подождите немного. Документ загружается.

492

ОЦЕНКИ

КАЧЕСТВА СВОБОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

[ГЛ 36

для нелинейной импульсной системы определить невозможно,

поэтому

мы

ограничимся оценкой

/<j.

Для

этой цели восполь-

зуемся соотношением (35.25).

При М = оо

имеем

оо оо

/Ф=

(х

(тТ),

т)<С

[/АтТ)

f\{mT)-f,

(36.13)

или,

принимая

во

внимание неравенство (35.27),

(mT)

р.

(пгТУ\

(б6Л4)

т==0

Для получения наименьшей оценки выберем

(36.14)

sup№(x

)

(36.15)

или

sup

{

(х

где

—

наибольшее значение коэффициента

статичзской

или

дифференциальной линеаризации заданной характеристики нели-

нейного элемента

или, при

необходимости, семейства нелиней-

ных характеристик. Тогда

^4F

{mT)

(тГ)

]

(36Л6)

m=0

Используя равенство Парсеваля

оо

©о/2

/»(тГ)]

J-

(До)

fj*

(/со)

dco,

(36.17)

ш-0

-Шо/2

получаем

из

(36.16)

вторую

форму оценки:

~ООо/2

Обозначим через

inf

или

ife,

inf

наименьшее значение коэффициента статической

или

дифферен-

циальной линеаризации;

тогда,

поскольку

т)>№

]

(36.19)

получим

сю

оо

[х

(тТ)]

(36.20)

§36

2] ОЦЕНКА СУММАРНОГО КВАДРАТИЧГСКОГО

ОТКЛОНЕНИЯ

493

и,

значит,

1х<±1$,

(36.21)

(тТ)

fl(mT)J,

(36.22)

т. е.

х -

При

получаем

(*о-*,)

*?,

, а значит, и

оо

®о

f°

Юп/2

(36.23)

-соо/2

ИГ)ЕЗО

ИЗ (36.15), (36.16) и (36.17)

/Ф

(тГ))

f^\

s)2

(тГ)

(36.24)

т=0

ш=0

^;(/(о)|

^(й,

(36.25)

из (36.22) и (36.23)

f>*W

(36

26)

0)о/2

Т^%Г^11

(36

27)

Если

№

(х) <

—

или

<kW(x)<k

-r,

то

т=0

в приведенных выше оценках следует

заменить

на

—

г,

на

—

f+(mT)

на

(mT),

F$(j®)

на

F^n

(/со).

4§4

ОЦЕНКИ

КАЧЕСТВА

СВОБОДНЫХ

ПРОЦЕССОВ

[ГЛ.

Задачи

36.1.

Показать, что для нелинейной импульсной системы с частотной

характеристикой линейной импульсной части, равной

(/со) =

—^-~

— 0,61

нелинейной характеристикой

3,3,

\х\< 3,3,

(

ю,

(х)

Зх,

-10

причем 0

Ф' (х)

3, быстродействие, или степень устойчивости,

удовлет-

воряет неравенству

0,49

36.2. Показать, что для нелинейной системы с частотной характеристикой

линейной

импульсной части, равной

о»)--

-°'

368

нелинейной характеристикой

при

суммарная квадратичная ошибка удовлетворяет условию

0,35.

— 1

(

10,

Зх,

№

—

о,368

3,3,

\х\<

3,3,

Глава

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

В НЕЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ

СИСТЕМАХ

37.1.

Понятие

периодических

процессах

Если

условия абсолютной устойчивости состояния равновесия

нелинейной

импульсной системы не выполняются, то в ней

могут

возникать

собственные периодические процессы. Эти собствен-

ные

периодические процессы характеризуются тем, что их пе-

риод кратен периоду повторения Т. Внешне эти собственные пе-

риодические

процессы

напоминают автоколебания, которые при

определенных условиях возникают в непрерывных системах (см.

20.1). Однако использовать термин «автоколебания» примени-

тельно к нелинейным импульсным системам непосредственно

нельзя.

Говоря об автоколебаниях в тех или иных системах,

всегда

предполагают, что эти системы автономны, т. е. к ним не

приложено внешнее периодическое воздействие либо в них

отсут-

ствует

периодическое изменение параметров. Импульсные систе-

мы не являются автономными, так как импульсный элемент

представляет собой модулятор (см. § 24.2), т.е. устройство, в

котором периодически с периодом повторения Т меняется некий

параметр, а именно коэффициент усиления. Приложение к нели-

нейной

импульсной системе внешнего периодического воздей-

ствия может вызвать сложные непериодические процессы, со-

держащие комбинацию колебаний, кратных периоду внешнего

воздействия и периоду повторения. Картина резко упрощает-

ся,

если период внешнего воздействия кратен периоду повторе-

ния

Т.

В отличие от нелинейных непрерывных систем, для нелиней-

ных импульсных систем

существует

принципиальная возмож-

ность точного определения как собственных периодических про-

цессов,

так и вынужденных периодических процессов, кратных

периоду повторения. Однако и для нелинейных импульсных си-

стем в ряде случаев целесообразно использовать приближенные

методы, основанные на

гармонической

линеаризации.

496

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ

ПРОЦЕССЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. 37

37.2.

Уравнения периодических процессов

Предположим, что внешнее воздействие f(mT)=

f(fnT)

пред-

ставляет собой симметричную периодическую решетчатую функ-

цию

с полупериодом, равным NT (рис. 37.1). Будем искать пе-

риодические процессы того же полупериода, т. е.

... (37.1)

Для нечетной характеристики нели-

нейного

элемента

будем

иметь

Рис.

37.1.

Ф(х(тТ))

Полагая

в уравнении вынужденного процесса

(37.3)

запишем

его в виде

оо

(mT)

= f

(mT)

(sT) Ф (х {{m - s)

T)).

(37.4)

Разбивая

интервал суммирования (0, оо) на сумму интервалов,

равных полупериоду

получим

х(тТ)

!(тТ)-1,

w(sT)<D(x((m-s)T))

(37.5)

r=0

s=rN

или,

после замены переменной s на s

rN и

учета

(37.2),

N~\

оо

(mT)

= f

(mT)

(х

((m

- s) T)

О'

a»

((s +

r^V)

Г). (37.6)

Обозначим

оо

а*

(АО

о;

((s

r^V)

Г). (37.7)

Тогда из (37.6) получаем систему нелинейных уравнений отно-

сительно дискрет:

N-1

(пгТ)

= f

(пгТ)

сь

(iV)

(х

((т

Г)), (37.8)

определяющую N дискрет периодического процесса.

Коэффици-

енты

{N)

(37.7), входящие в систему уравнений,

могут

быть

37.2] УРАВНЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 497

представлены в замкнутой форме. Действительно, замечая, что

а;(0)=

0 и

у£^

/п>1,

....

(37.9)

(

)

подставляя

(37.9)

в (37.7), получим после изменения очеред-

ности

суммирований

оо

или,

так как

^(~1)

(37.11)

то окончательно получаем

(Л0

£&*•

^rw

•

(37Л2)

()

Найдем теперь систему уравнений не относительно дискрет, а

относительно комплексных амплитуд периодического процесса.

Периодический

процесс, определяемый периодической решет-

чатой функцией (37.1), может быть представлен в виде тригоно-

метрического полинома

где

-у-

(37.13)

если

нечетно,

Л/"—

1, если

Л/"

четно,

а штрих у суммы означает, что суммирование ведется только по

нечетным индексам. Коэффициенты разложения

определятся

по

формулам

(mT)e

, 5=1, 3, ..., tf-2,

(37.15)

если N четно, то

(Г)

(37.16)

498

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ

ПРОЦЕССЫ

НЕЛИНЕЙНЫХ

СИСТЕМАХ

[ГЛ.

если

же N

нечетно,

то

''~

(37.160

Выходная величина нелинейного элемента

будет

также перио-

дична

обладать

тем же

полупериодом

или

частотой-^—.

Поэтому, аналогично (37.13), можно записать

£'

-W

(37.17)

s**-Ni

где

N-l

(Op

^ | ^

2М

s= 1,

.... (37.18)

m=0

если

четно,

то

/Ф

-/(iV-l)^-mr

лг

-1

лг

-1^-

^Х

т71

)

)в

•

(37Л9)

если

же

нечетно,

то

т=0

Представим периодическое внешнее воздействие также

виде

сор

2М

где

определяется формулами, аналогичными (37.15), (37.16),

(37.16

Подставляя разложения (37.13),

(37.17)

(37.20)

уравнение

(37.4)

приравнивая коэффициенты при одинаковых

гармониках, получим

==Cs-\Zw(sT)e~

(37.21)

Ls-o

или так как

по

определению величины

37.31

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАЙ

499

т.

е.

являются значениями частотной характеристики линейной

импульсной части,

то из

(37.21)

следует

5=1,

...

(37.23)

В этой системе равенств комплексные амплитуды

гармониче-

ских составляющих выхода нелинейного элемента

у(тТ)

Ф(х(пгТ))

зависят

от

комплексных составляющих ошибки

Аи

Аз,

...,

И полупериода

т. е.

...,

N),

=1,3,...

(37.24)

Поэтому

(37.23)

представляет собой

систему

нелинейных

урав-

нений

относительно

комплексных

амплитуд:

-g-

(Л

Л,

...,

Л„,

JV),

(37.25)

s=l,

...

Таким

образом,

мы

получили

две

формы уравнений периодиче-

ского процесса: относительно дискрет (37.8)

относительно

ком-

плексных амплитуд (37.25).

37.3. Частные случаи

Для высокочастотных периодических процессов

с N =

(рис.

37.2, а)

(рис. 37.2, б)

уравнения

(37.25)

суще-

ственно упрощаются

допускают

про-

стые графические способы

их

решения.

Так,

при

= 1, а

значит,

и т = 0 из

(37.8) получаем

(37.26)

откуда

Ф(*(0))-У

(0)

тТ

•

(

LIU

тТ

Это нелинейное уравнение допускает

про-

б)

стое графическое решение.

На

плоскости

рис 372

нелинейной

характеристики

Ф(х) (рис.

37.3,

а)

проводится прямая

, проходящая через точку

= J с

наклоном ;^

Предположим,

что

ссо(1)

< 0,

тогда

на-

клон

прямой положителен. Точка пересечения этой прямой

с не-

линейной

характеристикой определяет дискреты вынужденного

периодического процесса

£(0).

Если

/(0^

то

прямая —

~туу

боо

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ

ПРОЦЕССЫ

В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТГМАХ [ГЛ 3?

проходит через начало координат (рис.

37.3,6).

В этом случае

определится дискрета свободного периодического процесса. На-

личие нескольких точек пересечения (рис. 37.3, в) свидетель*

ствует

о возможности существования нескольких периодических

процессов одной и той же

частоты, но с различными

дискретами.

Аналогично из уравнения

относительно комплексных

амплитуд

(37.25)

получаем

у (

при

s = N =

ос

(1)

(37.28)

Согласно формулам (37.16'),

(37.19')

при N=\ получаем

*(о),

с,=/(о),

(37.29)

Поэтому

(37.28)

запишется

виде

(37.30)

Из

(37.7) при

yV=l

—

i^Y

следует

(1)

s-0

Таким

образом, уравнения

(37.26)

(37.30)

тожде-

ственны,

что и следовало

ожидать.

Рассмотрим возможность существования собственных высоко-

=1,

оэ

==~р1

в нели-

частотных периодических процессов

нейной

импульсной системе в предположении, что характеристи-

ка

нелинейного элемента обладает насыщением

(рис.

37.4).

Пр°"

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ

601

водя прямую

~xJW*(j

~^)>

замечаем, что она

будет

пересекать

характеристику нелинейного элемента в точке

х,

отличной

начала координат, если

будет

выполнено условие

где k — максимальный статический коэффициент линеаризации,

или,

поскольку

если

(37.31)

Но

неравенство

(37.31)

свидетель-

ствует

о невыполнении условия аб-

солютной устойчивости для частоты

со

-сг-

Таким образом,

Рис

если

частотное неравенство

(35.47)

нарушается на

часто-

те

соо/2,

то в системе возможен периодический процесс ча-

стоты

соо/2.

Для

определения

возможности

существования

периодиче-

ского

процесса,

соответствующего

= 2, т.е. с

частотой

со

—,

удобно

воспользоваться

уравнением

относительно

ком-

плексных

амплитуд

(37.25).

Полагая

(37.25)

N = 2 и

= 1,

получим

—

1^*

•¥")

(Л).

(37.32)

Обозначим

£(

(А

2).

(37.33)

Учитывая выражение для

(37.18)

и (37.15), при 5=1 и

= 2 запишем (37.3) в виде

u Фь

Но

так как в этом случае, как видно из (37.13), при

значит,

= N — 1 = 1

(37.34)

и,

(37.35)