Цыпкин Я.З Основы теории автоматических систем

Подождите немного. Документ загружается.

ИМПУЛЬСНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ

[ГЛ 38

интегратора

(38.11)

одной из

передаточных

функций дигратора

/(*(/?),

которая представляет собой частный случай передаточ-

ных функций импульсных фильтров. Полезно вычислить частот-

ные

характеристики диграторов и сопоставить их с частотной

1,5

0,5

Идеальный

интегратор

Л.

2jL

$К

"Л

а;

Рис.

38.5.

1К

ж.

Л 2

6)Т

0,2,5

Идеальный

интегратор

характеристикой интегратора. Частотная характеристика инте-

гратора получается из

(38.11)

при замене р = /со, так что

-/4

/со со

(38.29)

Аналогично получаем частотные характеристики для диграторов

при

разных численных способах интегрирования.

а)

Способ

прямоугольников:

0)7—я

-/ •

2sin-

(38.30)

_ Т

(D7

2 sin -

б)

Способ

трапеций

f(i)T

— е

(38.31)

(38.32)

38.31

АППРОКСИМАЦИЯ

ОПЕРАЦИЙ

ИНТЕГРИРОВАНИЯ

513

в)

Способ

Симпсона:

* Т

* 0©)

(38

.зз)

Амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики ин-

тегратора и диграторов изображены на рис. 38.5

(а,

б).

Из этого

рисунка видно, что диграторы, реализующие способ трапеций

(2) и Симпсона (3), име-

ют фазовую характери-

стику, совпадающую с фа-

зовой характеристикой ин-

тегратора (0),

тогда

как

фазовая

характеристика

диграторов, реализующих

способы прямоугольников,

существенно отличается

на

низких частотах (1).

Что же касается ампли-

тудной характеристики

диграторов, то наиболее

близкой

к амплитудной

характеристике интегра-

\A(j(o)\

г,о

0,9

0,8

0,6

инт&дратор

Zft

Рис.

38.6.

ляп

Zrr

5тг

о)Т

торов обладает дигратор,

реализующий способ

Симпсона.

Для суждения о точностях интегрирования диграторами и

выяснения

некоторых особенностей рассмотрим зависимость

Л (СО):

IК

(

(/со)

(о | /Си (/со) |,

(38.34)

или,

вводя относительную частоту

со

соГ,

Л (со) =

со

-JT

(38.35)

Эта зависимость изображена на рис. 38.6 при

со^я.

Как

видно из рис. 38.6, наибольшую точность

дает

дигратор, реали-

зующий способ Симпсона, но этот дигратор, поскольку для него

Л(со);>0,

подчеркивает возможные высокочастотные ошибки,

тогда

как дигратор, реализующий способ трапеций, уменьшает,

сглаживает их.

Заметим,

что в § 38.2 мы, по

существу,

использовали дигра-

тор,

реализующий способ трапеций. Точнее говоря, мы исполь-

зовали обратную передаточную функцию этого дигратора,

чго

соответствует аппроксимации оператора дифференцирования.

17 Я. 3.

Цыпкин

514 ИМПУЛЬСНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ

[ГЛ.

38.4. Аппроксимация операций кратного интегрирования

Операция

кратного

интегрирования

определяется уравнением

(0)

= ... =

z<*-

(0)

(38.36)

или

Передаточная функция такого кратного интегратора равна

Аппроксимацию этой передаточной функции можно было

бы по-

лучить, беря

k-ю

степень передаточных функций соответствую-

щих диграторов, приведенных

в §

38.3.

Однако более точную

ап-

проксимацию

при

одних

тех же

значениях периода повторе-

ния

можно получить

на

основе следующих соображений.

Рас-

смотрим тождество

~пТ~

\OO.Oi)

Воспользуемся теперь разложением

yt;

~i;

...),

(38.38)

где

для

краткости обозначено

Подставляя

(38.38)

(38.37)

произведя

правой части

(38.37)

деление числителя

на

знаменатель, получим

T~2\v~~Y

~4b

945

'")'

W8.4U)

Удерживая

(38.40)

главную часть ряда,

т. е.

отбрасывая поло-

жительные степени

получим, учитывая обозначение (38.39),

Т \ 7

14-

р~

рт

1-&±±

i+g

(38.41)

2 v 2

1—

е~

рТ

Этот

результат

соответствует способу Симпсона.

Возведем теперь

обе

части

(38.40)

степень:

"--*

—

.-У.

(38-42)

3 45 945

38.5]

МЕТОДИКА

ИМПУЛЬСНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

515

Удерживая после этого главную часть,

т. е.

пренебрегая положи-

тельными степенями

получим после замены

согласно

(38.39)

(ГГ^Я

=Klk)

(р)> (38

43)

где

Rk(e~

)—полиномы

по

е~

рТ

степени

Явные выражения

передаточных функций

для

различных значений

приведены

табл.

38.1.

Таблица

38.1

(р)

*>>

-\-

рТ

—е~

рГ

—^-Р

)

-р7'_

-ЗрГ

—

е~

рГ

)

7^4

-рт

4е~

2рг

е~

зрг

е~

рГ

)

720

-рЗГ

11в

-2рГ

+1Ь

-Зр7'

-4рГ

е-?

)

38.5.

Методика

импульсного моделирования

Рассмотрим изображение выходной величины непрерывной

линейной

системы

Z(p)

K{p)F{p),

(38.44)

где

К(р)

—

передаточная функция замкнутой системы,

F(p)

—

изображение внешнего воздействия.

Для

систем

сосредоточен-

ными

параметрами

при

типовых воздействиях

К(р)

F{p)

пред-

ставляют собой дробно-рациональные функции

/?,

поэтому

Z(p)

можно представить

виде

(38.45)

17*

516

ИМПУЛЬСНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 38

или,

после деления числителя и знаменателя на

(38.46)

„

( 1

е~~^

Заменяя

(38.46)

— на

——

I-

zjf

или

что

приводит

большей точности, на

)(p)

согласно табл. 38.1, после эле-

ментарных преобразований получим дробно-рациональную функ-

цию

относительно

е~

рТ

Но

по определению

оо

(р) =

(тГ)}

(тГ)

е~^

(38.48)

Приравнивая

выражения

(38.48)

(38.47)

и умножая обе части

равенства на знаменатель (38.47), получим после приравнива-

ния

коэффициентов при одинаковых степенях

e~v

рекуррент-

ные

соотношения относительно z(mT).

При

/п

= 0

при

/п==

2(0)

4-;

(

)

(Г)

—-№^-2(0)

Л);

(38.50)

[

при

(

т)

-4-

>'г((го-

v)T)A

(38.51)

при m>n, принимая во внимание, что

(

Г)

-lV

((m-v)J)

(38.52)

V-1

Рекуррентные соотношения

(38.49)

—

(38.52)

позволяют последо-

вательно определить

z(mT).

38.5]

МЕТОДИКА

ИМПУЛЬСНОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ

Пример.

Пусть

z(/?)==

+ p+1

517

или

Z(p)"

1 7 1+

е~

рт

Заменяя —

на

т?,

получим

р 2

\-е-

рТ

(Р)

Z* (р)

;

1 +

е-

рТ

\х-

l!_

-P

Vl-

или»

после преобразований,

Полагая

7 = 1, будем иметь

Зе

14 —

26е~

Ш~

1Р

6е~

бр

Пользуясь

рекуррентными соотношениями (38 50), (38.51), получаем значения

процесса

z(t) при t = пгТ.

Результаты_

вычислений приведены в табл.

38.2

—

рибл

i(0-

Заметим, что так как

ф 0, то рекуррентные соотношения

2(ШГ)

прибл.

^прибл.

яг7

(ml)

(тГ)

0,07

0,344

0,308

0,316

0,763

0,758

0,764

1,08

1,04

1,150

1,17

1,124

1,160

Та

1,11

1,096

1,065

блиц

1,02

1,031

0,994

38.2

0,97

1,00

0,997

(38.49)

— (38.52) дают 2(0)

0,07

0. Если же произвести замечу

—у

на

/C(

)

(p)

согласно табл. 38.1, то мы получим

Z (р)

(р)

••

1 +

е~

рТ

1 +

\0е~

рТ

е~

2рТ

2 1 -

е~

рТ

12 (1 -

е-

рТ

518

ИМПУЛЬСНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ

СИСТЕМ

[ГЛ.

№

или,

после преобразований,

При

Т = 1

Z*(P)-

2\е~

2рт

Пользуясь рекуррентными соотношениями

(38.49)

— (38.52)

принимая

во

внима-

ние,

что

Во

= 0 и,

значит,

2(0) = 0,

вычисляем значения процесса

z(t) при

пгТ.

Результаты вычислений приведены

табл.

38.2—гприбл.

n{t).

В табл.

38.2 для

сравнения указаны также точные значения процесса

(t)

1,17е-°'

sin

(0,25/

1,045)

при

t = пгТ и Т = 1.

График

точного решения

нанесенными

на нем

значениями

(X —

для

2п

ибл.1

—

для

гприбл-и),

полученными

по

рекуррентным

соотношениям»

Рис.

38.7.

изображен

на рис. 38.7.

Как

видно

из

табл.

38.2,

второй способ дает более

точные результаты.

тех

случаях, когда необходимо получить процессы при

раз-

личных внешних воздействиях, удобно аппроксимировать

не

изо-

бражение

г(р),

передаточную функцию

К(р),

тогда

значит, согласно (38.44)

(60

...

е-Р

пТ

)

(p). (38.53)

Но

по

теореме запаздывания

Переходя

(38.53)

от

изображений

оригиналам

полагая

mT,

получим

{m-v)T)=Z

f{{m-v)T),

(38.55)

v-0

§38.5]

МЕТОДИКА ИМПУЛЬСНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

519

где

z((m

— v)T)

f((m — v)T) =

при

< v, и

получим рекур-

рентное соотношение

при

(тТ)

-1-

((/n

- v)

Г)

((m

(38.56)

v==

v==i

n n

-j

(mT)

-1-

((/n

Г)

((и

T)\

(38.57)

v==

v-1

при

/г.

Аналогично можно определить процессы

и в

нелинейной

системе.

Для

этой цели воспользуемся уравнением нелинейной

системы относительно изображений

Z(p)

(p)

L {Ф (f

(t)

- z

(0)}. (38.58)

Аппроксимируем передаточную функцию линейной части

си-

стемы

(р) заменой

в ней —

на

—f

или на

)(p):

Подставляя (38.59)

(38.58), получим

(&,е-

рГ

• • •

e~P

)

L {Ф (f

(t)

- z

{t))}. (38.60)

После перехода

оригиналам

принятия

t =

tnT

получаем

((m

T) - z

{{m

- v) T)},

(38.61)

v=0 v=l

где

при у > m

нужно положить

{{m

— v)T) = f

((m

— v)T) = 0.

Из

(38.61) получаем рекуррентные соотношения

при

m^n

z{mT)

m m

z((m

v)T)

<D(f((m

-v)T)-z(m-

v)T))

v==1

v==0

(38.62)

при

m> n

{mT)

n n

Z^^-

^-X^(/((m-v)n-2(m-v)r))

v==1

v==

(38.63)

520 ИМПУЛЬСНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ

[ГЛ. 38

которые позволяют последовательно определить дискреты про-

цесса в нелинейной системе.

Важным вопросом при цифровом моделировании является

выбор периода повторения, или шага Т. Для контроля правиль-

ности

выбора Т можно поступить следующим образом. Наряду

с построением процесса при Т =

построим некий процесс для

-у-.

Если при этом дискреты

x{kT

)

xf2£-~J

будут

близки

друг

другу,

то выбор Т =

То

сделан правильно. Так,

на

рис. 38.7 вычисленные значения

*(fe"yj

указаны кружоч-

ками,

они весьма близки к ранее найденным значениям.

Задачи

38.1. Показать, что способу численного интегрирования

Уэддла,

при ко-

тором f (t) аппроксимируется многочленом б-й степени

f (т)

~ -^

(тТ)

+ 5*

((пг

1) Т) + х

((ш

2) Т) +

(пг-6)Т

6х

((т

— 3) Т) + х

((т

— 4) Т) +

5х

{(гп

— 5) Т) + х

{{пг

—

Г)},

соответствует

передаточная функция

38.2. Найти частотную характеристику для дигратора

Уэддла

сравнить дигратор

Уэддла

с иными типами диграторов по величине Л (о)

38.3. Построить процесс, если

при

0,6

и Г

2 и сопоставить полученные результаты с результатом

примера (стр.

517).

ПРИЛОЖЕНИЯ

1. Преобразования Лапласа и Фурье

Преобразованием

Лапласа

называется преобразование неко-

торой функции f(t) вещественной переменной t в

другую

функ-

цию F(p) комплексного переменного

р,

определяемое соотноше-

нием

оо

F(p)=\

e~Ptf(t)dt.

(1)

Функция

f(t)

определенная

интервале

оо,

называется

оригиналом,

а функция

F(p)—изображением.

Обозначим опера-

цию,

которую необходимо произвести над оригиналом, чтобы

получить изображение, через

т. е.

(2)

Тогда

преобразование Лапласа

(1)

запишется кратко

виде

F(p)

L{f({)}.

(3)

Обратное

преобразование

Лапласа

осуществляется по фор-

муле

обращения

/ОО

C-foo

Путь интегрирования на плоскости р изображен на рис. П.1. По-

стоянная

с,

так называемая абсцисса абсолютной сходимости,

выбирается так, чтобы все особые точки — полюсы находились

слева от нее. Кратко формула обращения записывается так:

(5)