Цыпкин Я.З Основы теории автоматических систем

Подождите немного. Документ загружается.

502

ПГРИОДИЧЕСКИЁ

ПРОЦЕССЫ

НЕЛИНЕЙНЫХ

СИСТЕМАХ

[ГЛ.

то следовательно,

m=0

(37.36)

Выражение

(37.36)

представляет собой частный случай

коэффи-

циента гармонической линеаризации.

При N = 2

коэффициент

гармонической

линеаризации

точно,

а н'е

приближенно

характеризует

нелинейный

эле-

мент.

Это связано с тем, что две дискреты всегда определяют ре-

шетчатую

гармоническую функцию, а значит, при N — 2 любое

нелинейное преобразование решетчатой гармонической функции

представляет собой также решетчатую гармоническую функцию.

Пользуясь введенным обозначением коэффициента гармониче-

ской

линеаризации (37.33), (37.36), запишем уравнение

(37.32)

в виде

с.

Это уравнение при заданном значении

С\

определяет параметры

периодического процесса

А\

cpi,

которые

могут

быть найдены

графически. Мы, однако, отложим это графическое построение

до следующего параграфа, посвященного общему приближенно-

му

методу

определения параметров периодического процесса, ко-

торый для N = 2 совпадает с описанием здесь точным методом.

37.4. Приближенный метод

определения периодических процессов

Предположим, что внешнее воздействие

f(mT),

приложенное

ко

входу

нелинейной импульсной системы, представляет собой

решетчатую гармоническую функцию, и

будем

искать периоди-

ческий процесс в виде решетчатой гармонической функции. Это

значит, что в тригонометрических полиномах для

J(mT)

(37.20)

х(пгТ)

(37.13)

следует

полагать равным 1. Разумеется, при

этом тригонометрический полином для

Ф(х(шТ))

(37.17)

не бу-

дет гармонической решетчатой функцией и наше приближение

будет

состоять в том, что в

тригонометрическом

полиноме

для

Ф(х(тТ))

(37.17)

мы ограничимся только первой решетчатой

гармоникой. Это значит, что из всей совокупности уравнений

(37.25)

мы оставляем лишь уравнение при s — 1

ив

выражении

§37

ПРИБЛИЖЕННЫЙ

МЕТОД

для

А\

(37.24)

следует

положить

ким

образом,

мы

получаем

из

(37.25),

(37.24)

или

„Ф1,

503

Та-

(37.38)

(37.39)

где,

как

следует

из

(37.18),

— коэффициент гармонической линеаризации нелинейного

эле-

мента. Заметим,

что

уравнение

(37.39)

может быть также полу-

чено

из

уравнения (37.4)

при

замене

в нем

характеристики нели-

нейного

элемента гармонической

ли-

неаризованной

характеристикой.

Яс-

но,

что

приближенный метод,

осно*

ванный

на

соотношении (37.38),

бу-

дет давать результаты,

тем

более

близкие

точным,

чем

сильнее

вы-

полняется

неравенство

5, ...,

Л^-1.

Для исследования собственных

пе-

риодических процесов

(37.39)

сле-

дует

положить

С\

г=

0, и

тогда

2NJ

Pit

{r)

Фь

Рис.

37.5.

Изобразим

на

плоскости частотной характеристики линейной

импульсной части

(/со) коэффициент

гармонич£ской

линеари-

зации

как

функцию

при

различных

cpi

фиксированном

(рис.

37.5). Тогда точка пересечения частотной характеристики

(]

Tjjf)

{r)

N) для

данного

jjf)

определяет частоту

-ijrjlj-

свободного периодического процесса

по

оцифровке

504

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

[ГЛ

ЪАГ)

его

амплитуду

по

оцифровке

кривой

l/k^(Ai

<pt

фазу

ф1

по

параметру

этой

кривой.

Пример.

Пусть

характеристика

нелинейного

элемента

равна

(х)

ах +

Ьх

Коэффициент

гармонической линеаризации

для

такой характеристики равен

*'*»)]

при

М>3.

Для

частот

-~г

при N

дискретные коэффициенты гармо-

нической линеаризации импульсного

непрерывного нелинейных

элементов совпадают,

поэтому

при

анализе периодических

ре-

жимов можно использовать коэффициент гармонической линеа-

ризации

непрерывного нелинейного элемента.

Задачи

37.1.

Показать,

что в

нелинейной импульсной системе

(рис. 37.6)

возмож-

ны

периодические движения вида

где

0 < а < 1.

ztml}

Рис.

37.7.

37.2. Показать,

что в

нелинейной импульсной системе

(рис. 37.7) с

релей-

ной

характеристикой нелинейного элемента, изображенной

на рис.

37.8,

суще-

алддчи

505

ствуют

периодические колебания вида +1, +1,

—1,

—1

и Не

могут

существо-

вать периодические колебания вида 0, +1,

—1,

-0,5

Рис.

37 8

—

z(mT)

Z(p)

Рис.

37.9

37.3.

Показать, что в

релейно-импульсной

системе (рис. 37.9) возможны

периодические колеоания частот

©•=*—,

-тт.

Пользуясь методом гармониче-

ского

баланса,

определить амплитуды этих колебаний,

Глава

ИМПУЛЬСНОЕ

МОДЕЛИРОВАНИЕ

НЕПРЕРЫВНЫХ

СИСТЕМ

38.1. Понятие об

импульсном

моделировании

Для импульсных автоматических систем, как мы уже видели,

не

существует

принципиальных трудностей в вычислении процес-

сов при произвольных внешних воздействиях. Применение циф-

ровых вычислительных машин для этой цели особенно просто,

так как разностные или суммарные уравнения представляют со-

бой программы рекуррентного вычисления процесса.

При

стремлении периода повторения к нулю импульсная

си-

стема стремится к некоторой непрерывной системе, т. е.

непрерывная

система

является

предельным

случаем

для

импульсной

системы

при

стремлении

периода

повторения

нулю.

Поэтому при достаточно малом периоде повторения и, воз-

можно, при выполнении некоторых дополнительных условий про-

цессы в непрерывной и импульсной системах

будут

близки

друг

другу.

Это обстоятельство позволяет при изучении процессов

в непрерывных системах заменить их соответствующими им-

пульсными системами и воспользоваться затем рекуррентными

соотношениями. Собственно говоря, все численные методы реше-

ния

дифференциальных уравнений, основанные на замене по-

следних разностными уравнениями, по

существу,

связаны с идея-

ми

замены непрерывной системы соответствующей импульсной,

различие в способах вызвано различными способами этой за-

мены.

Такую замену мы

будем

называть

импульсным

моделиро-

ванием.

Особые возможности импульсное моделирование рас-

крывает в связи с широким применением цифровых вычислитель-

ных машин. Переход от непрерывной системы к ее импульсной

модели возможен различными способами.

Наиболее естественный и простой способ получения

цифро*

вой модели для заданной непрерывной системы состоит в

сле^-

дующем. Строим аналоговую модель (рис. 38.1, а) для

заданной

непрерывной системы и вводим в эту модель импульсный

эле-

38.2]

СВЯЗЬ ИМПУЛЬСНОЙ

НЕПРЕРЫВНОЙ МОДЕЛЕЙ

507

мент. Таким образом

мы

получаем импульсную модель

(рис.

38.1,6).

Для

этой импульсной модели находим передаточ-

ную функцию

К*(р)

выписываем,

Z(p)

JTL

К(р)

как

это

было изложено ранее,

реккурентные соотношения, кото-

рые

используются

качестве

а)

приближенных

при

построении

про-

цесса

на ЦВМ. Для

получения

пе-

редаточной функции импульсной |

модели

К*(р)

нужно знать полюсы

F*(p)

*——* —

передаточной функции непрерывной

части

К(р),

что в

случае

сложной

непрерывной

части представляет

определенные трудности. Этого

Рис 38.1

можно избежать, если ввести

не

один,

несколько импульсных элементов

так,

чтобы следующие

за ними непрерывные части были просты

определение полю-

сов

их не

представляло

бы

труда.

38.2.

Определение передаточной

функции

импульсной модели

по

передаточной функции непрерывной модели

Рассмотрим передаточную функцию импульсной модели,

которой

формирующее устройство генерирует импульсы прямо-

угольной формы

со

скважностью, равной

(р)

—

Соответствующая передаточная функция непрерывной модели

получается

из

(38.1)

при

Т->0.

Действительно, замечая,

что

lim-i—-——г-1

=г

—,

(38.2)

получаем

I>7^7-

(38

v=-l

Найдем связь

между

передаточными функциями импульсной

К*(р)

непрерывной

К(р)

моделей.

Для

достаточно малых

пе-'

риодов повторения, таких,

что

T\p

v=l,

...,

508 ИМПУЛЬСНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ

СИСТЕМ

[ГЛ. 38

приближенно

можно положить

1 +

-9-

(38.4)

(38.5)

и,

значит,

~Р

т "*

I+Pv

Подставляя в (38.1)

вместо

и е

их приближенные

значения

из (38.5) и (38.4), после элементарных преобразований

получим

о пТ

\ -. (38.6)

Но

согласно (38.3)

Следовательно, из (38.6) получим

Таким

образом,

для

получения

передаточной

функции

импульсной

модели

нужно

передаточной

функции

непрерывной

модели

за-

менить

на

""*"-"

рт

+ \

полученный

результат

умножить

на

—=

Соотношение

(38.8) позволяет определить передаточную

функцию

импульсной модели

К*(р)

непосредственно по переда-

точной функции непрерывной модели

К(р)>

минуя предваритель-

ное

определение полюсов

К(р)

и минуя разложение ее на про-

стейшие дроби. Разумеется, эта возможность не дается

бесплат-

38.3] АППРОКСИМАЦИЯ ОПЕРАЦИЙ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 509

но.

Соотношение

(38.8)—приближенное,

и оно тем точнее вы-

полняется, чем меньше период повторения. По

К*(р)

можно

определить

k(mT)

известными способами.

38.3. Аппроксимация операций интегрирования

Одной из основных операций в непрерывных моделях яв-

ляется

интегрирование.

Попытаемся аппроксимировать эту опе-

рацию, не

осуществимую

точно в импульсных моделях, с по-

мощью тех операций, которые легко осуществляются в них. Речь

идет

о замене непрерывного интегратора некоторым дискретным

интегратором, который уместно назвать

дигратором.

Для этой

цели рассмотрим уравнение интегратора

-^Г"

/(/),

2(0)

(38.9)

или

$(т)Лг.

(38.10)

Передаточная функция интегратора, очевидно, равна

K(P)

(38.11)

Положим в

(38.10)

t =

mT\

тогда

тТ

г(шТ)=

f(x)dx

(38.12)

и,

значит,

(m-k)T

z((m-k)T)=

f(x)dx.

(38.13)

Вычитая

(38.13)

из (38.12), получаем

тТ

(тТ)

((m

-k)T)

(т)

(38.14)

(m-k)T

ИЛИ

(тТ)

—

k)T)

(r)

(4R

*Л

ХНЫ

I ——

\\iIIf

1 J

i i

/ \

•

\OO.

Соотношения

(38.14),

(38.15)

представляют собой разностные

уравнения

й-го

порядка. Смысл уравнения

(38.15)

весьма прост.

510

ИМПУЛЬСНОЕ

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ

ГГЛ

Площадь под кривой f(t) в интервале (0,

тТ),

обозначаемая

как

z(mT),

равна сумме площади под кривой

/(/)

в интервале

(0,

(пг—

k)T),

обозначаемой как

z((m—

k)T),

и площади в

ин-

тервале

((пг—

k)T

mT).

В частном случае при

й==

(рис.

38.2)

получаем из

(38.15)

шТ

f(x)dx.

(38.16)

{m-\)T

Конкретный

вид разностных уравнений (38 15),

(38.16)

зависит

от вида аппроксимации интеграла, связанного с тем или иным

fit)

(m-f)T

тпТ

Рис. 38.2

/А

f((m-1)T)

(m-f)T

mT t

Рис. 38.3

способом вычисления элементарной площади f(t) в интервале

((пг

—

й)Г,

тГ),

т.е. способом

численного

интегрирования

Рас-

смотрим известные способы численного интегрирования.

а)

Способ

прямоугольников

(рис. 38.3

(/,

2)). В этом случае

(рис.

38.3 (1))

тТ

f(x)dx&Tf((m-l)T)

(38.17)

(m-\) T

и,

значит, из

(38.16)

мы получим

z(mT) = z((m— l)T) +

Tf((m—

1)Т).

(38.18)

Подвергая

(38.18)

D-преобразованию,

находим передаточную

функцию

ICi^

(38.I9)

В случае как на рис.

38.3(2)

тТ

f{x)d%ttTf(mT)

(га-1)

(38.20)

§38

АППРОКСИМАЦИЯ ОПЕРАЦИЙ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

поэтому

из

(38.16)

имеем

511

(38.21)

Подвергая

(38.21)

D-преобразованию,

находим передаточную

функцию

К,

(р)

, _

рт

-р—.

(38.22)

—

— 1

б)

Способ

трапеций.

этом случае

f(T)

аппроксимируется

прямой

(рис.

38.3 (3))

(т) dx

-J

(mT)

f{(m-

Т)]

fit)

(m-l)T

(38.23)

и,

следовательно, уравнение

(38.16)

при-

нимает

вид

(38.24)

(m-Z)T(m-1)TmT

Рис.

38.4.

Соответствующая передаточная функция

будет

равна

jf*

1 —

е~

рт

рТ

-4-1

(Р)

—

рт

рТ

Т\

(38.25)

в)

Способ

Симпсона.

этом случае

f(f)

аппроксимируется

параболой (рис.

38.4)

(38.26)

(m-2)

Уравнение

(38.15)

при

принимает

вид

z(mT)

z({m-2)T)

^[f(mT)

4f{{m--l)T)

f({m--2)T)].

(38.27)

Отсюда находим передаточную функцию:

4е~

рт

е~

2рт

_ Т

2рТ

4е

рТ

+ 1

КАР)

(38.28)

Аналогичным путем можно получить передаточные функции

для

более сложных способов численного интегрирования.

Од-

нако

мы этого делать

не

будем.

Таким образом,

зависимости

©т

выбраннего

способа числен-

ного интегрирования

мы

заменяем передаточную функцию