Цыпкин Я.З Основы теории автоматических систем

Подождите немного. Документ загружается.

372 ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

[ГЛ.

2о

Знаменатель передаточной функции замкнутой импульсной

си-

стемы

определяет характеристический многочлен.

Нулями

характеристического многочлена являются полюсы

передаточной функции. Предположим,

что эти

полюсы простые,

обозначим

их как

ePlT

v<lT

...,

Тогда

передаточную

функцию

можно представить

виде разложения

на

простейшие

дроби:

где

Поскольку

на

основании теоремы запаздывания дискретного

преобразования Лапласа

О,

то,

переходя в

(25.18)

от изображений к оригиналам, получим

причем формула разложения

(25.19)

определяет временную

ха-

рактеристику замкнутой системы

по

полюсам передаточной

функции.

Для определения процесса

замкнутой импульсной системе

при

произвольном воздействии подставим

(25.19)

(25.15).

Тогда

после очевидных преобразований получим

(mT)

ZJfzL

e°v

<•+•>

{sT

(25.20)

Эта формула

для

конкретных выражений

f(mT)

поззоляет опре-

делить процесс

z(mT) в

замкнутой форме.

ЗАДАЧИ

373

Задачи

25.1.

Показать, что частотные характеристики элемента, формирующего

прямоугольные импульсы длительности Г, определяются выражением

(/со)

sin

п •

со

-/я—

со

зхсо

со

Нарисовать зависимости

моцуля

и фазы от частоты.

25.2. Показать, что передаточная функция замкнутой импульсной си-

стемы (рис. 24 5) равна

[(2k,

-2k +

]

\ +

W*(p)

[(2k

)T-4]

+ 2 +

-2k

25.3. Пусть передаточная функция линейной части

(p)

равна

(p) = •

Показать,

что передаточная функция замкнутой импульсной системы с им-

пульсным элементом, генерирующим импульсы прямоугольной формы, равна

\{Т

e°

(Г,

+ Т)

Глава

ПРОЦЕССЫ

В ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМАХ

26.1. Понятие о процессах в импульсных системах

Процессы

в замкнутых импульсных системах определяются

уравнениями

(23.22)

или их решениями

—выражениями

(25.14),

(25.15), (25.20). Последние выражения описывают процесс,

возникающий

в замкнутой импульсной системе при прило-

жении

внешнего воздействия в момент т = 0, Если же внешнее

воздействие

f(mT)

будет

приложено в произвольный момент вре-

мени,

например т =

то,

то вместо

(

т)

=Lk((tn-~s)T)f

{sT)

(26.1)

будем

иметь

z(tnT)=

k({m

—

s)T)f{sT),

m^m

Пусть

—-oo.

Это соответствует

тому,

что

между

моментом

приложения

внешнего воздействия

= —оо и моментом на-

блюдения процесса т прошло бесконечно большое время. Такой

процесс естественно назвать

вынужденным.

Обозначим его через

(mT).

Тогда

{mT)=

k{(m-s)T)f(sT)

—

оо

или,

после замены переменной m — s на s и, значит, s на

— s

соответствующего

изменения пределов суммирования

—оо

на

оо

получим выражение для вынужденного процесса

оо

{mT)

=Zk

(sT) f

((tn

-s)T).

(26.1')

Разность

между

общим

процессом

z (mT)

(25.15)

и вынужденным

26 2] ВЫНУЖДЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ

375

процессом

(тТ)

назовем

свободным

процессом

(mT):

(mT)

z{mT)

{mT).

В силу

(25.15)

(тГ)=

k(sT)f((m-s)T).

(26.2)

Свободный

процесс

определяет

отклонение

общего

процес-

са

нелинейной

системе

от

вынужденного

процесса.

26.2,

Вынужденные процессы

Вынужденный процесс

импульсных системах определяется

выражением

(26.Г).

Для

получения общей формулы вынужден-

ных процессов воспользуемся разложением внешнего воздей-

ствия

ряд Тейлора

со

({гп

Г)

(-1)*

-^-

(mT),

(26.3)

где

— производные внешнего

воздействия

дискретных точках

mT,

Подставляя

(26.3)

(26.V)

изменяя очередность сум-

мирований,

получим

(mT)

Ц>

(sT)

{sT)

(-If

f(>((OT

S)r)

(26.4)

Величины

d (k)

(sT)

(sT)\

2, ...,

(26.5)

s=0

представляют собой

моменты

fe-го

порядка решетчатой времен-

ной

характеристики

k(mT).

Принимая

во

внимание (26.5), запи-

шем

(26.4)

окончательно

виде

{

mT)

f]d(*)

/<fe

((OT

s)r)

(26.6)

Таким

образом, вынужденный процесс

импульсной системе

полностью определяется моментами решетчатой временной

ха-

рактеристики

производными внешнего воздействия

дискрет-

ных точках. Моменты

d(k)

(26.5)

можно определить

и по

пере

376 ПРОЦЕССЫ В ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. 26

даточной функции замкнутой импульсной системы

К*{р).

Для

этой

цели воспользуемся определением

D-преобразования

s=0

(26.7)

Дифференцируя k раз обе части (26.7) по р, получим

откуда при р =

будем иметь

[^^]

(26.8)

Это значит, что момент d(k) равен

k-й

производной передаточ-

ной

функции импульсной системы

К*(р)

по р при р = 0.

26.3. Вынужденные процессы при монотонных воздействиях

Рассмотрим вынужденные процессы при монотонных воздей-

ствиях: постоянном, линейном и степенном

Постоянное

воздействие

f(t) = A,

t>0.

В этом случае

и,

значит, при t = mT

f(mT)

fW(mT)

ятО,

k>0.

Из

выражения вынужденного процесса (26.6) следует

(mT)

= d (0) А.

Но

согласно (26.8)

Поэтому

Вынужденный

процесс

при

постоянном

воздействии

также

постоянен

и его

отношение

величине

внешнего

воздей-

ствия

равно

значению

передаточной

функции замкнутой

системы

К*(р)

при /7 = 0,

§28

ПРОЦЕССЫ

ПРИ

МОНОТОННЫХ

ЁОЗЛРЙСТРПЯ*

37?

Линейное

воздействие

этом

случае

и,

значит,

при t

f(mT)

ATm,

(1)

(тГ)

Л,

ЦтТ)

&>2.

(26.9)

Из

выражения

вынужденного

процесса

(26.6) при учете (26.9)

получаем

z»

(mT)

d (0)

ATm

+ d (1) Л,

где

Следовательно,

{пгТ

)

/С

(0)

пгТА

[^М.]^

А.

Вынужденный процесс при линейном воздействии также

линеен,

но с

угловым

коэффициентом,

равным значению

передаточной функции замкнутой

системы

К*

{р)

прир

свободным

членом, равным значению производной

по

передаточной функции при р =

Степенное

воздействие

l, 2,...,

/~1,

и,

значит,

при

тГ

(mT)

АРпг

(пгТ)

fe)!

fit)

(mT)

= Л/!,

/+v)

(шГ)

(26.10)

378 ПРОЦЕССЫ В ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМАХ

[ГЛ.

Учитывая (26.10), получаем из выражения вынужденного про-

цесса (26.6)

(тТ)

d (0)

APm

Yjd{k)A

-ц^гщ

или,

учитывая

(26.8),

(/пГ)=

(26.11)

Вынужденный

процесс

при

степенном

воздействии

степе-

ни

представляет

собой

полином

той же

степени

/, но

иными

коэффициентами.

Легко видеть, что при / = 0, 1 из (26.11) следуют выражения

вынужденного процесса при постоянном и линейном воздей-

ствиях. Вынужденный процесс при полиномиальном воздействии

находится как линейная комбинация вынужденных процессов

при

степенных воздействиях.

26.4. Условия нулевой вынужденной ошибки

Подставим

(mT)

из (26.6) в выражение вынужденной

ошибки

Тогда, обозначая

(О)=1-<ЦО)

1-Г(О),

запишем

выражение вынужденной ошибки в виде

(пгТ) - с

(0)

(шТ)

+ ^ с (s) -^^ .

(26.13)

Коэффициенты

с(0),

...,

c(s),

...

(26.12) будем

называть

коэф-

фициентами

ошибок.

Рассмотрим вначале постоянное воздействие. В этом случае

из

(26.13) получаем

(шТ)

с (0) А

[1 -

К*

(0)]

А,

Вынужденная ошибка

будет

равна

нулю,

26.4] УСЛОВИЯ НУЛЕВОЙ ВЫНУЖДЕННОЙ

ОШИБКИ

379

при

условии

—

/Г

(0)

(26.14)

или

поскольку

(p)

W*(p)

то условие

(26.14)

принимает вид

—

1С

(0) =

——r-S

—

(26.15)

\+W

(0)

V ;

Но

это условие совпадает с условием нулевой ошибки (6.8), если

последнем принять

= 0. Таким образом,

условие

нулевой

вынужденной

ошибки

при

постоянном

воздействии

является

частным

случаем

условия

идеальной

системы

нулевой

ошибкой

при р = 0.

Естественно, условия нулевой вынужденной ошибки

(26.15)

значительно менее стеснительны, чем условия идеальной систе-

мы с нулевой ошибкой, и если последние условия часто принци-

пиально

невозможно осуществить, то условия (26.15), как пра-

вило,

легко осуществимы. Так, условия

(26.15)

выполняются,

если

1Рк(0)1Г(0)

оо,

т. е. если передаточная функция разомкнутой системы имеет, на-

пример,

индекс нейтральности, равный 1, или если выражение

представимо в виде

Это имеет место, если непрерывная часть содержит интеграторы

либо ЦВУ содержит диграторы, т. е. если разомкнутая система

содержит запоминающие элементы. Для степенного или, в об-

щем случае, полиномиального воздействия степени

*•

(тТ)

* (0) f

(mT)

с (ft)

Щ^

вынужденная ошибка

будет

равна нулю,

при

условиях

Первое из этих условий совпадает с (26.15). Все эти условия

будут

выполнены, если индекс нейтральности передаточной

функции

разомкнутой системы

{p)W*{p)

равен /. При

380

ПРОЦЕССЫ

ИМПУЛЬСНЫХ

СИСТЕМАХ [ГЛ. 26

мы приходим к ранее рассмотренному частному случаю. Оче-

видно,

что увеличение индекса нейтральности не меняет вывода

нулевой вынужденной ошибке. Таким образом,

средство

достижения

нулевой

вынужденной

ошибки

при

полиномиальном

внешнем

воздействии

состоит

исполь-

зовании

или

введении

систему

надлежащего

числа

инте-

граторов

или

диграторов.

26.5.

Вынужденный

процесс

при

гармоническом

воздействии

При

гармонических внешних воздействиях число слагаемых

общей формуле вынужденного процесса бесконечно велико, и

для получения явных формул приходится прибегать к суммиро-

ванию бесконечных рядов. Хотя это в общем и не сложная опе-

рация,

мы изберем для определения вынужденного процесса при

гармоническом воздействии более простой путь. Запишем решет-

чатое гармоническое воздействие в комплексной форме:

Be*

(©«г+ф)

где

В—амплитуда,

г|)—

угловая частота, или начальная фаза.

Подставляя его в уравнение вынужденного процесса (26.1), по-

лучим выражение для вынужденного процесса также в ком-

плексной

форме:

(пгТ)

(sT)

или,

после очевидных преобразований,

Полагая

в выражении (26.7), определяющем связь

между

пере-

даточной функцией и временной характеристикой, р = /со, по-

лучим

оо

значит, принимая во внимание

(26.11),

запишем выражение

для

(mf)

окончательно в такой форме:

Величина

/С*(/со)

показывает характер преобразования гармони-

ческого воздействия

f(mT)

замкнутой импульсной системой. Она

называется

частотной

характеристикой

замкнутой импульсной

системы.

26.6]

ОСНОВНЫЕ

ХАРАКТЕРИСТИКИ

ЗАМКНУТОЙ

СИСТЕМЫ

381

26.6.

Основные

характеристики

замкнутой

импульсной

системы

Основными

характеристиками замкнутой импульсной системы

являются: передаточная функция

/С*(р),

временная характери-

стика

k(mT)

частотная характеристика

К*(/со).

Каждая из этих

характеристик однозначно определяет свойство замкнутой им-

пульсной системы.

Первая

характеристика —

передаточная

функция

представ-

ляет

собой

сокращенную

запись

уравнений,

описывающих

со-

стояния

импульсной

системы

дискретные

моменты

времени.

В отличие от непрерывных систем, эти уравнения не дифферен-

циальные,

а разностные. Само по себе составление разностных

уравнений импульсной системы по дифференциальным уравне-

ниям

ее приведенной непрерывной части представляет собой

весьма громоздкую процедуру. Эту процедуру удалось избежать

благодаря установлению связи

между

передаточными функция-

ми

разомкнутой импульсной системы

W*(p)

и ее приведенной

непрерывной

части

W(p).

Вторая

характеристика

—

временная

характеристика

опреде-

ляет

временные

свойства

импульсной

системы,

а третья

харак-

теристика —

частотная

характеристика

определяет

частотные

свойства

системы.

Все эти характеристики тесно связаны

друг

с другом. Осо-

бенно

проста связь

между

частотной характеристикой и переда-

точной функцией:

Частотная характеристика /С*(/со) определяется частным значе-

нием

аргумента р передаточной функции

К*(р),

расположенным

на

отрезке

--2"

<со<

—

мнимой

оси комплексной плоскости (рис. 25.1). Связь переда-

точной функции К{р) с временной характеристикой

k(mT)

оп-

ределяется дискретным преобразованием Лапласа, а связь час-

тотной характеристики

К*(jay)

с временной

характеристикой

—

дискретным преобразованием Фурье, получаемым из

(23.4)

при

/со. Связь временной характеристики с частотной характе-

ристикой

дается обратным преобразованием Фурье, которое

имеет вид

Юо/2

k{mT)

— [ К*

(/со)

de>.

-Юо/2