Цыпкин Я.З Основы теории автоматических систем

Подождите немного. Документ загружается.

852

УРАВНЕНИЯ

ИМПУЛЬСНЫХ

СИСТЕМ

1ГЛ.

представить в виде блок-схемы (рис.

23.10).

Вводя обозначение

простейшего элемента в виде «ключа», можно изобразить граф

ПтТ)

шШТ)

i(t)

ФУ

Щ,(р)

нч

z(mT)

Z*(P)

Рис.

23.10.

импульсной автоматической системы, как это показано на

рис.

23.11.

Таким образом,

импульсная

автоматическая

система

представляет

собой

соединение

простейшего

импульсного

элемента

приве-

денной

непрерывной

части,

состоящей

из

формирующего

устройства

непрерывной

части.

Обозначим передаточную функцию приведенной непрерывной

части через

W(p),

так что

W(p)

S(p)W

(p).

Тогда уравнение разомкнутой на

входе

импульсного элемента си-

стемы запишется в виде

Z(p)

S (p)

(р)

W (р)

(р).

Поскольку

уравнение замыкания имеет вид

то изображение входной величины импульсного элемента

будет

F(p)-Z(p),

что представляет собой уравнение замыкания системы относи-

тельно изображений. Исключая из этих уравнений

Z(p),

полу-

чим уравнение замкнутой им-

$Ф)

(p)

пульсной системы

X(p)

F(p)-W(p)X*(p).

(

23Л5

)

Рис.

23.11 Это уравнение содержит изо-

бражения Х(р) непрерывной

величины x(t) и Х*(р) решетчатой величины

х(тТ),

и поэтому

из-за

такой неоднородности его нельзя разрешить относительно

одного из этих изображений. Для того чтобы обойти эту

труд-

ность,

подвергнем обе части

(23.15)

©-преобразованию,

опреде-

ляющему по изображению непрырывной функции изображение

соответствующей решетчатой функции.

§23 41 УРАВНЕНИЯ ИМПУЛЬСНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

353

Применяя

теоремы

линейности (теорема

приложения

3),

получим

{{)}

£*

(23.16)

Замечая,

что согласно теореме

приложения

®{Г(р)Г(р)

вводя обычные обозначения

®{W(p)}

W*(p),

получим

из

(23.16)

Г(р)

Г(р)-ИГ(р)Г(/>),

откуда

следует,

что

Здесь

W* (р)

{W (р)}

{S (p)

(p)}

— передаточная функция разомкнутой импульсной системы.

Зная

Х*(р),

нетрудно определить изображение непрерывных

функций.

Подставляя Х*(р)

(23.15)

и в

выражение для

Z(p),

получим соответственно

F(p)-

{p)

F*{p)

(23.17)

Z(P)=

{

w"\

)

(

Эти уравнения определяют изображения непрерывной ошибки

выходной величины импульсных автоматических систем. Если

подвергнуть уравнение

(23.18)

©-преобразованию,

то

можно по-

лучить уравнение относительно изображения решетчатой функ-

ции

выходной величины:

ИЛИ

'b)

TTWTp)

(P).

(23.19)

Уравнение

(23.19)

для

импульсных

автомагических

систем

по

форме совпадает

аналогичным уравнением

для

непрерывных

автоматических систем. Но теперь

(23.19)

фигурируют изобра-

жения

не

непрерывных,

решетчатых функций. Выражение

™

ТТ¥%Т

(23

20)

определяет передаточную функцию замкнутой импульсной

си-

стемы.

Я. 3

Цыпкнн

354

УРАВНЕНИЯ ИМПУЛЬСНЫХ

СИСТЕМ

1ГЛ.

Принимая

во внимание

(23.20),

уравнения для Х*(р) и Z*(p)

запишутся кратко в виде

Для составления уравнений замкнутых импульсных систем необ-

ходимо прежде всего на основании общей методики (§ 5.4) опре-

делить передаточную функцию непрерывной части

(p),

а за-

тем и приведенной непрерывной части

W(p)

= S(p)

(p).

По

этой

передаточной функции определяется

W*(p)

на

основе

©-пре-

образования,

а затем на основе

(23.20)

находится передаточная

функция

К*(р)

замкнутой системы. Если нас интересует не вы-

ходная величина

а промежуточная величина

то вместо

уравнения

Z(p)=

W(p)X*(p)

будем

иметь

значит,

после замены X* (р) получим

где

(p) = 2)

{W.

(р)}

—

передаточная функция прямой части

разомкнутой импульсной системы.

2(t)

W,(p)

fp)

W^fp)

Zip)

fit)

хШ

f(wT)

x(mT)

at)

S(P)

Щф)

Km,

Щ(Р)

lit)

Рис.

23.12.

Пример.

Найдем

передаточную

функцию импульсной системы, блок-схема

которой изображена на рис.

23.12,

а.

Приведенная импульсная система

будет

иметь вид как на рис.

23.12,6.

Передаточная функция линейной части равна

(р)

Г,

(р)

(p)

(р) +

(p)]. (23.21)

23.4]

УРАВНЕНИЯ ИМПУЛЬСНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

355

Умножая

ее на S(p),

определяющую форму импульса, получим передаточную

функцию

приведенной импульсной системы:

W(p)

(p)

(р)

(p)

{

(p)

(р)

(р)].

Подвергая

(23.21)

©-преобразованию,

находим передаточную функцию разом-

кнутой импульсной системы:

(р)

(p)

tp)}

(p)

IF,

(p)

(p)}

Передаточная функция прямой части импульсной

сие^мы

равна

(р)

®{5

(р)

(p)

(p)W

(p)}.

Таким

образом, передаточные функции замкнутой импульсной системы полу-

чим равными

* (р)

Иногда

полезно оперировать уравнением импульсных авто-

матических систем относительно оригиналов. Если

(23.15)

пе-

рейти

от

изображений

оригиналам,

то

мы

получим

x(t)

f(i)-\w(t-x)x*(%)dx.

Заменяя

х* (х) согласно (23.1), получим

оо

\1)

— /

\£/

—~"

кЮ

\Т

•—~

\v)

•—

YtXl,

Clvf

m~~oo

откуда, учитывая свойство б-функций,

будем

иметь

x(t)

= f

(t)

-!>(<-

sT)

{sT),

Г.

(23.22)

При/

тГ

получаем связь

между

решетчатыми функциями;

х (mT)

= f

(mT)

-Zw((m-s)T)x

(sT).

(23.23)

Этот

же

результат

получится, если перейти

от

изображений

оригиналам

уравнении

для

Х*(р)

используя теорему линейно-

сти

свертывания

©-преобразования.

Уравнения (23.22),

(23,23)

12*

356

УРАВНЕНИЯ

ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

[ГЛ.

имеют простой физический смысл:

они

определяют реакцию

не-

прерывной

части системы

на

воздействие последовательности

импульсных функций.

Задачи

23.1.

Показать,

что

передаточные функции

«треугольных»

формирующих

устройств

(рис.

23.13,

а,

б)

равны соответственно

-рт

б)

[

—

е~

"Ту

Какое

из

этих формирующих устройств физически реализуемо? Почему?

23.2. Показать,

что

линейная аппрокси-

мация

непрерывной кривой

(рис.

23.14)

может

быть получена

результате комбинации

двух

«треугольных»

формирующих устройств.

По-

казать,

что

уравнение, связывающее

вход

fit)

а)

Рис.

23.13.

2Т ЗТ t

Рис.

23.14.

выход

такого «трапецеидального» формирующего устройства,

при

(ш

—

1)7

^ ^ ^

тТ

имеет

вид

/ ___.

[х

(mT)

-x[(m-\)T\\,

передаточная функция равна

Тр*

(е

РТ

-\)

23.3. Пусть передаточная функция замкнутой импульсной системы равна

Найти

временную характеристику

k(mT)

при

/п

1, 2, .... 10,

Глава

ОСНОВНЫЕ

СТРУКТУРЫ

ИМПУЛЬСНЫХ

СИСТЕМ

24.1. Система с дискретным фильтром или с ЦВУ

Со

структурой обычной импульсной системы мы уже позна-

комились

в гл. 23. Здесь мы рассмотрим более общие структуры,

включающие в контур дискретные фильтры или ЦВУ. Дискрет-

ный

фильтр или ЦВУ

могут

быть включены

между

импульсным

элементом и непрерывной частью (рис. 24.1, а) либо до импульс-

ного элемента (рис.

24.1,6).

Покажем, что уравнения этих

f(mT)

^jB{mT)

Г*(р)

y*(p)

oipj

Рис

Л/

24.1.

z(rnT)

Z*(p)

z(mT)

f(p)

систем относительно выходной величины одни и те же. Уравне-

ние

дискретного фильтра, как было показано в § 22.3, имеет вид

kT)

((

kT).

(24.1)

k=0

Поскольку

входные и выходные переменные, вообще говоря, не-

прерывны,

то, применяя к

(24.1)

L-преобразование

и учитывая,

что

яЛ

основании теоремы запаздывания

L{y{t

— kT)}

Y (p)

e~P

L{u{t-

kT)}

U (p)

e~P

358 ОСНОВНЫЕ

СТРУКТУРЫ

ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 24

получим

fc-0

(p) -

e~»

(р).

fel

Разрешая это уравнение относительно U

(р),

будем иметь

h*-

pkT

и(р)=-*=*я

Y{p).

+ Z

«*«-"*

Отсюда следует, что передаточная функция дискретного фильтра

равна

fv~

W^(p)

«o=l.

(24.2)

Умножая числитель и знаменатель на

в^^

преобразуем (24.2)

виду

(24.3)

т. е. передаточная функция дискретного фильтра является

дробно-рациональной функцией

РТ

Применяя к (24.3) ©-пре-

образование на основании теоремы запаздывания, получаем

pkT

КФ

<Р)

(

ДФ

Т^

^д

(Р)>

(24.4)

**-*""

т. е. импульсная и обычная передаточные функции в этом случае

совпадают.

Уравнение ЦВУ, как было отмечено в § 23.3, получается из

(24.1) при t =

mT,

т.е.

N N

(mT)

Шп

-k)T)~

{{m

k) T).

В этом случае входные и выходные переменные представля-

ются решетчатыми

функциями,

Применяя

этому уравнению

24.1]

СИСТЕМА

ДИСКРЕТНЫМ

ФИЛЬТРОМ

ИЛИ

ЦВУ

359

©-преобразование, получим

(Р)

he~

pkT

(р)

e-P

(p).

(24.5)

Разрешая

уравнение

(24.5)

относительно

£/*(р),

получаем

(р) =

—^

Г (р).

ркт

Отсюда

следует,

что передаточная функция ЦВУ равна

,Е

he~

PkT

^-^*

11/^*

^Г)"^

——

———-

••

-——

цву

N N *

— '

т.е.

передаточные функции дискретного фильтра

W*(p)

и ЦВУ

^цву

)

совпадают

между

собой. Поскольку передаточные

функции

дискретного фильтра и ЦВУ являются дробно-рацио-

нальными

функциями

то их можно выносить за знак опера-

ции

ная

функция разомкнутой импульной системы в

случае

ЦВУ бу-

дет равна (теорема 6 приложения 3)

(р)

(p)

(р)}

г;

ву

(р)

(p)

(p)}

а передаточная функция

К*

(р) замкнутой системы запишется

так:

(24.6)

значит, уравнение импульсной системы представится в обыч-

ном

виде:

(р)

«J!^zi^!^

Г*

(р).

(24.7)

ВУ

(Р)^(Р)

Для структуры на рис.

24.1,6

передаточная функция разомкну-

той системы

будет

равна произведению передаточных функций

lF*

(p)

—

дискретного фильтра или ЦВУ

—

и W(p)~ разомкну-

той исходной системы, т. е.

360

ОСНОВНЫЕ

СТРУКТУРЫ

ИМПУЛЬСНЫХ

СИСТЕМ

[ГЛ.

Следовательно, передаточная функция замкнутой системы отно-

сительно

Z*(p)

будет

по-прежнему иметь

вид

(24.7). Уравнения

относительно иных переменных, например переменных

на

входе

импульсного элемента, разумеется,

будут

различны.

Как

видно

из

структуры

на

рис.

24.1,6,

введение

дискретного

фильтра

или ЦВУ

меняет

закон

из-

менения

входной

величины

импульсного

элемента,

изме-

няя тем

самым

свойства

импульсной

системы

целом.

24.2.

Система

с непрерывным

фильтром, охватывающим

импульсный

элемент

Рассмотрим импульсную систему,

которой импульсный

эле-

мент охвачен непрерывным элементом (рис. 24,2,

а).

Пусть пере-

даточная функция этого непрерывного элемента равна

i(p).

Для составления уравнения этой системы перенесем точку

съема

выхода формирующего устройства

на

вход

его

-Xtp)

tp)

StP)

(p)

z(mT)

\z*w

ftmT)

—^»

f*tp)

JtmV

S(pj

(p)

Sfpj

Рис.

24.2.

(рис.

2,6).

Контур обратной связи можно рассматривать

как

некоторую обычную замкнутую импульсную систему.

Ее

переда-

точная функция равна

(24.8)

Г,

(р)

где

§ 24.3]

РАЗОМКНУТО

ЗАМКНУТАЯ ИМПУЛЬСНАЯ

СИСТЕМА

361

Передаточная функция разомкнутой общей системы равна про-

изведению передаточных функций

(p)

W*(p),

т. е.

а передаточная функция замкнутой импульсной системы

относи-

тельно

будет

равна

(24.9)

(p)

или,

учетом

(24.8),

r(p)=

{р)

(р)

Если

выбрать

ij7*

\ "

\Р)

tj7*

то,

как видно

из

(24.6)

(24.9), передаточные функции замкну-

тых систем

с ЦВУ и

охватом импульсного элемента соответ-

ствующим непрерывным элементом совпадают,

значит,

сов-

падают

их

динамические свойства. Физически

это

ясно,

так

как

охват

импульсного элемента непрерывным элементом,

так же

как

введение ЦВУ, меняет закон изменения входной величины

импульсного элемента.

24.3. Разомкнуто-замкнутая импульсная система

разомкнуто-замкнутой

импульсной системе измеряется

вход-

ное

воздействие, которое после преобразования

его с

помощью

ПтТ)

S(p)

_4_

/(W;

Zip)

A(P

(p)F(p)

f(mT)

НПО

Рис

24.3

дискретного филыра

или ЦВУ

действует

на

приведенную

непрерывную часть системы (рис. 24.3, а).

Эту

систему можно

рассматривать

как

импульсную систему

двумя внешними