Цыпкин Я.З Основы теории автоматических систем

Подождите немного. Документ загружается.

332

ВИДЫ

ДИСКРЕТНЫХ

СИСТЕДА

[ГЛ.

В зависимости

от

типа

в автоматических ситемах,

x(t)

по

времени и уровню всегда имеет место в любой цифровой вы-

числительной машине.

квантования,

которое используется

мы

будем

подразделять их на три

вида:

импульсные

автоматические

системы,

если хотя бы одна из

величин,

характеризующих со-

стояние

системы, квантуется по

времени;

релейные

автоматиче-

ские

системы,

если хотя бы одна

из

величин, характеризующих со-

стояние

системы, квантуется по

уровню;

цифровые

автоматиче-

ские

системы,

если хотя бы одна

из

величин, характеризующих со-

стояние

системы, квантуется и по

времени,

и по уровню.

Отметим, что релейные систе-

мы можно также рассматривать

как

нелинейные непрерывные си-

стемы с нелинейностью релейного

типа и к ним можно применять

методы исследования, описанные

предыдущей части книги. По-

этому

мы их рассматривать

не

будем.

\cc(t)

7(1

О)

/-*

iX(t)

)

22.2. Виды импульсных

цифровых автоматических

систем

Квантование

по времени заме-

няет

непрерывную функцию ре-

шетчатой,

которая определяется

г)

совокупностью выделенных

орди-

Рис.

22.1. нат, или

дискрет.

Эти ординаты,

или

дискреты,

модулируют

неко-

торую

последовательность импульсов. Квантование по времени

модуляция осуществляются импульсным модулятором.

Вход-

ной

величиной импульсного модулятора является непрерывная

величина, а выходной — модулированная последовательность им-

пульсов. Будем обозначать импульсный модулятор, как показано

на

рис. 22.2. Изображенный импульс показывает форму модули-

руемой последовательности импульсов. Модуляция сводится к

изменению

тех или иных параметров импульсов, например ам-

плитуды, длительности или ширины.

22.2]

ВИДЫ

ИМПУЛЬСНЫХ

ЦИФРОВЫХ

СИСТЕМ

333

В зависимости от вида модуляции

будем

различать:

ампли-

тудно-импульсные

автоматические

системы

(АИАС), в которых

yd)

alt)

уШ

ППпП.

О Т 2Т ЗТ

ЬТ

О Г 2Т ЗТ

4Т

Рис.

22.2.

2Т

ЗТ

а)

Т—

ЗТ

гт

импульсный элемент осуществляет амплитудно-импульсную мо-

дуляцию (рис.

22.3,6);

или- ,^.

ротно-импульсные

автома-

тические

системы

(ШИАС),

которых импульсный эле-

мент осуществляет

широт-

но-импульсную

модуляцию

(рис.

22.3, в).

Представим общую

схему

импульсной автоматической

системы в виде соединения

импульсного элемента и не-

прерывной

части (рис. 22.4).

Амплитудно-импульсные ав-

томатические системы

могут

быть как линейными, так

при наличии нелинейно-

го элемента

—нелинейными.

Широтно-импульсные авто-

матические системы принци-

пиально

нелинейны. Нели-

нейными

являются также

цифровые

автоматические

системы, в которых имеется

такая

«нелинейная» опера-

ция,

как квантование по

уровню. Если пренебречь д)

квантованием по уровню,

Рис.

22.3.

что бывает возможным при

наличии

достаточно большого числа разрядов, когда

результат

после округления мало изменяется, то цифровые автоматиче-

ские

системы можно свести к амплитудно-импульсным системам.

В)

а-

4Т

334

ВИДЫ

ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

[ГЛ.

Общая схема цифровой автоматической системы изображена

на

рис. 22.5. Она содержит цифровую вычислительную машину

(ЦВМ),

играющую роль задающего, сравнивающего и управ-

ляющего устройства. Выработанные ею дискретные сигналы

управления с помощью преобра-

зователя дискретных сигналов в

непрерывные

(Д—>Н)

преобра-

зуются в непрерывные управ-

ляющие й

воздействия,

ylt)

которые

zit)

цви

Прбрбр

ДА-Н

Дискретна?

часть

Рис.

22.4.

Рис.

22.5.

рр

часть

изменяют состояние объекта. Переменные состояния объекта

с помощью преобразователя непрерывных сигналов в дискрет-

ные

(Н->Д)

преобразуются в дискретные переменные, которые

вводятся в ЦВМ. Преобразователь играет роль импульсного

элемента.

22.3.

Примеры

дискретных

автоматических

систем

В первой части книги мы уже познакомились с типовыми

импульсными автоматическими системами. Поэтому здесь мы

сделаем упор на некоторые нетривиальные применения дискре-

тизации

и, в частности, приведем примеры сведения к дискрет-

ным

системам некоторых задач преобразования сигналов и чис-

ленного анализа. Рассмотрим также примеры

схем

цифровых

вычислительных машин.

Преобразователь

масштаба

времени.

Пусть задана некото-

рая

периодическая функция времени вида последовательности

импульсов произвольной формы (рис. 22.6,

а),

Квантование по

времени,

осуществляемое импульсным элементом, фиксирует дис-

кретные

значения

—

дискреты

—

этих импульсов (рис. 22.6, б,

в).

Если

интервал квантования Т кратен периоду импульсной после-

довательности, то фиксированные дискреты

будут

равны

друг

другу,

т. е. в этом

случае

останавливается, или замораживается,

определенное значение импульса. Изменяя фазу квантования по

времени,

можно таким же образом зафиксировать иное значение

импульса (рис.

22.6,6).

Следовательно, квантование по времени

позволяет наблюдать

любую

точку высокочастотного периодиче-

ского процесса благодаря ее фиксации на неопределенно долгое

время.

Если выбрать интервал квантования V не кратным пе-

риоду импульсной последовательности, то форма огибающей

§22 3]

ПРИМЕРЫ

ДИСКРЕТНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

335

полученных дискрет представит собой

растянутую

по времени

форму импульса (рис.

22.6,в).

В этом

случае

импульсный эле-

мент осуществляет преобразование масштаба времени. Очевидно,

Ю-

-f-f

t-'i-F--—-Н

Рис.

22.6.

преобразователь масштаба времени использует известный стро-

боскопический

эффект.

Двушкальная

система управления. Эта система состоит из

модели объекта и модели управляющего устройства (рис. 22.7),

работающей в убыстренном масштабе времени с повторением,

которое отыскивает наи- ,

лучшее

с той или иной

точки зрения управление.

Это управление периоди-

чески повторяется в моде-

ли

системы. Преобразова-

тель Д

—>

Н, содержащий

импульсный элемент, про-

изводит преобразование

масштаба времени этого

Объект

Исполни-

трпниор

устройство

Модель

объекта

Мо&ель

упоадляю-

щего

устройства

Нормальный

масштаб

Времена

Убыстренный

масштаб'

Времени

управления и осуществ-

ляет через исполнитель- '

ное

устройство управле-

Рис.

22.7.

ние

реальным объектом.

Преобразователь

Н->Д

при изменении режима работы реаль-

ного объекта вносит коррекции в модель управления. Такая дву-

шкальная

система позволяет осуществлять оптимальное управ-

ление объектом без предварительного расчета оптимального

управления.

Дискретно-непрерывные фильтры, Такие фильтры осуществ-

ляют над входными переменными операции сдвига и взвешива-

ния.

Уравнение дискретно-непрерывного фильтра может быть

336

ВИДЫ

ДИСКРЕТНЫХ

СИСТЕМ

[ГЛ. 22

представлено в виде

(/)

£-0

- kT)

(22.1)

где

y(t)

—

входная величина,

u(t)

—

выходная величина, fi

(k =

0, 1, 2, ..., N) и

аи

—

1, 2, ...,

W)—весовые

коэффици-

енты входных и выходных

«сдвинутых»

переменных соответ-

ственно.

Уравнение

(22.1)

представляет собой разностное урав-

нение

с непрерывно изменяющимся аргументом t. Основным

элементом дискретного фильтра является элемент памяти, за-

держки или запаздывания, который, не меняя формы, сдвигает

„

0Л

ait)

Рис.

22.8.

входную

величину на величину Т. Схема фильтра, описываю-

щегося уравнением (22.1), изображена на рис. 22.8. Вторая сумма

соответствует обратным связям, а

первая

—

прямым связям.

Частным случаем дискретно-непрерывных фильтров является

так

называемый

нерекурсивный

фильтр,

который не содержит

обратных связей. Его уравнение получается из

(22.1)

при

аи

0, k= 1,

...,

(22.2)

Схема нерекурсивного фильтра изображена на рис. 22.9. Если

на

вход

такого фильтра подать импульс произвольной формы и

длительности, меньшей Г, то реакция этого фильтра представит

собой конечную последовательность «взвешенных» импульсов, и

при

-\-

\)Т эта реакция

будет

тождественно равна нулю.

Рассмотрим частные случаи этого

фильтра.

Полагая в

(22.2)

получим

(22.3)

22.3]

ПРИМЕРЫ

ДИСКРЕТНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

337

что представляет собой первую разность входных величин.

Структурная схема, соответствующая (22.3), имеет простой вид

)А

Рис.

22.9.

(рис.

22.10). При малых Т первая разность приближенно про-

порциональна

первой производной:

dy(t)

Л*/«:

(22.4)

Осуществление

дифференциатора

в виде дискретно-непрерыв-

ного фильтра может дать определенные выгоды. Так, предполо-

жим,

чго

y(t) состоит из медленно из-

меняющегося низкочастотного сигнала

yo(t)

и аддитивной высокочастотной

периодической помехи, т. е.

(/)

a Sin

со/.

(22.5)

Рис.

22.10

В этом

случае

идеальный непрерывный дифференциатор

дает

на

выходе

величину

' (0

(t)

/л

асо cos

®*'

(22.6)

При

достаточно большой частоте со полезная составляющая бу-

дет полностью маскироваться интенсивной помехой амплитуды

асо.

Дискретно-непрерывный дифференциатор в этом

случае

дает

на

выходе

(/) =

z/o

-y

(t-T)

+ a [sin

со/

sin

со

Т)].

(22.7)

При

выборе Т

, где s — целое число,

sin со

—

)

= sin со/

со

(t)

(22.8)

(22.9)

т.

е.

влияние помехи устраняется,

338

ВИДЫ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ [ГЛ.

Полагая

(22.1)

получим

= fe=

...

Рлг

. . .

<х#

= 0,

(22.10)

(22.11)

что представляет собой разностное уравнение. Структурная

схе-

ма, соответствующая

ему,

изображена

на

рис.

22.11.

Она

представляет собой

дискретно-непрерывный фильтр

поло-

жительной

обратной связью.

Из

(22.11)

легко получить

u(t-T)

Рис.

22.11.

(m—

(22.12)

Таким

образом, этот фильтр осуществляет операцию суммиро-

вания

входных сигналов.

Цифровая

вычислительная машина. ЦВМ

может быть пред-

ставлена

виде дискретного фильтра, осуществляющего преоб-

разование входной последовательности чисел

у{пгТ)

выходную

и(тТ)

Рис.

22.12.

u(mT)

= 0, 1, 2, ...) (рис.

22.12). Если пренебречь кванто-

ванием

по

уровню,

т. е.

конечностью разрядов обрабатываемых

ЦВМ данных,

ограничиться

линейными

операциями,

то

урав-

нение

ЦВМ

можно представить

виде, аналогичном (22.1),

по-

ложив

в нем t =

mT:

(ml)

•

-k)T]-Za

u[{m-k)T].

(22.13)

§22

ПРИМЕРЫ

ДИСКРЕТНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

339

Структурная схема

ЦВМ,

определяемая уравнением (22.13),

совпадает

изображенной

на

рис. 22.8,

одной лишь разницей,

что входными

выходными сигналами являются

не

непрерыв-

ные,

дискретные функции

(рис.

22.12). Уравнение

(22.13)

можно назвать условно програм-

мой

ЦВМ.

Рассмотрим

каче-

стве примеров программы

соот-

ветствующие

им

структурные

схе-

мы численного интегрирования.

Пусть

(22.14)

irn

f)T

t-mT

Рис.

22.13.

Положим

тТ\

тогда

получим следующие выражения:

u(mT)=

(т-1)Г

rnT

y{x)dx,

(22.15)

т.

е.

u{mT)-u[{m-\)T]=

(г)

dr.

(22.16)

(т-1)Г

Численнные методы интегрирования отличаются

друг

от

друга

способом приближенного вычисления интеграла, стоящего

г*

фТ)

Рис.

22.14

правой части (22.16).

Так, при

аппроксимации трапецией

(рис.

22.13)

получаем

(22.17)

340 ВИДЫ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ [ГЛ.

следовательно, после подстановки приближенного значения

интеграла

(22.17)

(22.16)

получим

(тТ)

[(m-l)T]=*l(y[(m-l)T]

+ y

(пгТ)).

(22.18)

Этому методу численного интегрирования соответствует струк-

турная схема, изображенная

на рис.

22.14.

Она

является част-

ным

случаем общей схемы (рис. 22.8)

при

Ро

Рг

===

Эз

• • •

Р^/

0»

= —

= ... =

= 0.

Таким

образом, операции, осуществляемые ЦВМ, можно анали-

зировать, изучая соответствующие дискретные фильтры.

В автоматических системах ЦВМ часто применяется

каче-

стве управляющего устройства, которое

мы

будем

назы-

вать

цифровым

вычислительным

устройством

(ЦВУ).

А.

ЛИНЕЙНЫЕ

СИСТЕМЫ

Глава

УРАВНЕНИЯ

ИМПУЛЬСНЫХ

СИСТЕМ

23.1. Блок-схема и

граф

импульсных

систем

Блок-схему импульсной автоматической системы можно пред-

ставить в виде соединения импульсного элемента и непрерыв-

ной

части. В амплитудно-импульсных системах, которые мы бу-

дем далее рассматривать, на непрерывную часть воздействует

последовательность импульсов, амплитуда которых пропорцио-

нальна

значению входной величины

импульсного элемента — ошибки

x(t)

в дискретные моменты времени

t =

тТ

(рис. 23.1). Таким образом,

импульсная система реагирует

лишь

на дискретные значения

ошибки

т. е.

при

f(mT)-z(tnT),

2Т

ЗТ

Рис.

23.1.

пТ

не реагирует на изменение внешне-

го воздействия f(t) и выходной ве-

личины

непрерывной части системы

z(t)

между

этими дискретными мо-

ментами времени. Поскольку непре-

рывная

часть системы линейна, то

она

может быть описана системой линейных дифференциальных

уравнений, либо интегральным уравнением, либо, наконец, урав-

нением

относительно изображений. Мы здесь

будем

использо-

вать описания непрерывной части, включающие временную

характеристику

(t)

или передаточную функцию

(p).