Цыпкин Я.З Основы теории автоматических систем

Подождите немного. Документ загружается.

322

СТОХАСТИЧЕСКИЕ

ПРОЦЕССЫ

[ГЛ.

Для релейного элемента с зоной нечувствительности

(рис.

21.2,6)

плотность распределения представляет собой сово-

купность

трех

6-функций (рис. 21.2, в), т. е.

(У

(0)

r[6(y

(t)

Ы)

(у (/)

(х

)

(у (0).

Таким

образом, нелинейный элемент

всегда

приводит к суще-

ственному изменению плотности распределения

входного

случай-

ного воздействия. Аналогично внешнему периодическому воздей-

ствию, внешнее случайное воздействие, приложенное к нелинейной

а)

в)

-щ

'о

-кх

О\

кщ

Рис.

21.2.

автоматической системе, может изменить параметры возмож-

ных автоколебаний или устранить их вовсе. Оно может также

стабилизировать ранее неустойчивую систему. К сожалению,

точные методы исследования нелинейных автоматических систем

настоящему времени неизвестны. Поэтому мы воспользуемся

приближенным

методом, основанным на стохастической линеа-

ризации

нелинейного элемента (см. § 15.4).

21.2, Дисперсия ошибки

Рассмотрим нелинейную автоматическую систему

(рис.

21.3, а), к которой приложено внешнее случайное

воздей-

ствие

f(t).

Уравнение вынужденного процесса, вызванного этим

21.2] ДИСПЕРСИЯ

ОШИБКИ

323

случайным воздействием (см.

16.1), можно представить

виде

/ (0

(х) Ф

(х

х))

dr.

(21.2)

Удобной характеристикой качества нелинейной системы может

служить дисперсия ошибки

x(t),

которая при М

{*(/)}

0 равна

•—

IYI

\Х

\l)j*

\Zil.O)

Для определения

с|

воспользуемся стохастической линеариза-

цией.

Стохастическая линеари-

^ ^ - .

ы#t

z(t)

зация

нелинейного элемента,

как

было показано

в §

15.4,

со-

стоит

замене уравнения нели-

нейного

элемента

й)

(t)

<3)(x

{t))

(21.4)

линеаризованным

уравнением

{t),

(21.5)

)

Рис.

21.3.

где коэффициент стохастиче-

ской

линеаризации определяется выражением

(15.30)

или (15.32),

т.

е.

оо

fe(cT)

(or,)

-L

[

хФ(х)р

(х)

dx.

(21.6)

от.

Подставляя выражение

для

y(t)

(21.5)

вместо

(21.4)

уравне-

ние

(21.2), получаем

оо

хв

(

)

— ^

(ст)

(а

)

(т)

- т)

dx.

(21.7)

Это уравнение является, естественно, приближенным.

Оно

опи-

сывает стохастически линеаризованную систему (рис.

21.3,6),

которая

получается

из

исходной нелинейной системы (рис. 21.3,

а)

заменой

нелинейного элемента стохастически линеаризованным.

Частотная характеристика этой стохастически линеаризованной

системы, определяемая

по

обычным правилам, равна

K(Jn

)

k{CT)

l°*

)wm

(2L8)

(cx)

(

Qx)

w (/(o)

11*

324

СТОХАСТИЧЕСКИЕ

ПРОЦЕССЫ

[ГЛ. 21

а частотная характеристика для ошибки линеаризованной си-

стемы запишется в виде

(ст)

(о*)

(/со)

(21.9)

В отличие от частотных характеристик линейных систем, частот-

ные

характеристики стохастически линеаризованных систем

/((/со,

)

/(х(/со,

Ох)

зависят от дисперсии ошибки

Найдем дисперсию ошибки в

. По определению

(21.10)

где

((x))—спектральная

плотность стационарного случайного

процесса. Обозначим через

5//

(со) спектральную плотность внеш-

него случайного воздействия. Тогда, используя свойства спек-

тральных плотностей (см. (14.17)), получим

(со) = |

(/со,

)

(со).

(21.11)

Следовательно, согласно

(21.10)

получаем

(21.12)

Правая

часть

(21.12)

может быть вычислена по формулам

(13.15),

(13.16)

или по формулам

табл. 13.1. Обозначим

результат

вычислений через

cp(a

посколь-

ку правая часть (21.11) является

функцией

и параметров систе-

мы.

Таким образом, мы получаем

уравнение относительно искомой

дисперсии:

ФК).

(21.13)

Это уравнение может быть реше-

но

различными итеративными или

графическими

методами. Изображая на плоскости (ф,

)

зави-

симость

ф(а

)

и проводя параболу

о\

(рис. 21.4), находим

точку пересечения их а*, определяющую значение дисперсии

ошибки

21.4]

ИССЛЕДОВАНИЕ

ПРОСТЕЙШЕЙ СИСТЕМЫ

325

21.3. Реакция нелинейной системы на случайное

воздействие

После

нахождения дисперсии ошибки

коэффициент

стоха-

стической линеаризации

(ст)

(а^)

становится полностью опреде-

ленным,

значит, полностью определена

частотная характери-

стика замкнутой системы (21.8). Учитывая

это,

легко найти

дис-

персии

различных переменных

02,

а|

нелинейной автоматической

системы, которые характеризуют реакцию системы

на

стохасти-

ческое воздействие. Поскольку спектральные плотности

(co),

Sz(со)

для

стохастически линеаризованной системы соответ-

ственно равны

(<*\

(21.14)

(со)

= |

(/со,

)

№

(а

)

(/со)

(со),

(21.15)

то согласно формуле, аналогичной (21.10), получаем

(/со

х)

fe(CT>

РS

((0)

{21Л6)

оо

а\

\\К

(/со,

or,)

*'«)

(о

)

(/со)

(со)

da>.

(21.17)

В этих формулах

определяется уравнением (21.13). Есте-

ственно,

что

точность определения дисперсии выходной вели-

чины

нелинейного элемента невысока.

21.4. Исследование простейшей автоматической системы

Рассмотрим простейшую нелинейную автоматическую систе-

му

(рис. 21.5, а).

Пусть нелинейный элемент представляет собой

идеальное реле

> 0,

х =

(21.18)

—

x<0,

а частотная характеристика линейной части равна

Ко

входу

этой нелинейной системы приложено стационарное

случайное воздействие

f(t),

спектральная плотность которого

326

равна

СТОХАСТИЧЕСКИЕ

ПРОЦЕССЫ

[ГЛ.

(21.20)

Дисперсия входного случайного воздействия

а|

находится

по

формуле, аналогичной (21.10):

оо

(

)

rfa

тг

d(S

•

(21.21)

Для дальнейшего удобно выразить спектральную плотность

входного воздействия

(21.20)

через дисперсию

crjr.

В си-

лу

(21.21)

н2

ЧР

вх

J6)(TfJQ+f)

z(t)

(21.22)

Найдем дисперсию вход-

ной

величины нелинейного

элемента

Для

этой цели

Рис.

21.5.

определим прежде всего

ко-

эффициент

стохастической линеаризации

(ст)

(а

)

для

идеаль-

ного релейного элемента согласно (21.6)

при

нормальном

за-

коне

распределения:

2х

(ст)

(<У

)

_Л

л:

signхр

(х)

dx =

~т

. —-

V2jt

™Х

-оо 0

Вводя новую переменную

-ъ—,

получаем

оо

(21.23)

(21.24)

или

так как

то окончательно

(21.25)

21.4]

ИССЛЕДОВАНИЕ

ПРОСТЕЙШЕЙ

СИСТЕМЫ

32?

Таким

образом, схема стохастически линеаризованной системы

примет вид, изображенный на рис. 21.5, б. После замены в (21.9)

(/со) из

(21.19)

будем

иметь

1 26)

Подставляя

{fa,

)

(21.26)

(со)

(21.22)

в (21.12), получаем

оо

-.-IS

j®

dco,

или

(21.27)

Для вычисления правой части

(21.27)

воспользуемся формулой

из

табл. 13.1. Принимая

1 +

Г,

й«

получим после элементарных преобразований

зг|

а?-

(21.28)

Это уравнение справедливо для нелинейного элемента любого

вида. В частности, для релейного элемента, принимая во внима-

ние

выражение для

№

^(о

)

(21.25), из

(21.28)

будем

иметь

Зависимость правой части от

при фиксированных

у-

и раз-

личных

дана на рис. 21.6. Проведя горизонтальную прямую

328

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

[ГЛ. 2]

а?,

легко найти

как функцию

Для малых коэффициентов

усиления

&л&р

имеем

а/

чго

свидетельствует о плохом

ре-

жиме работы системы. С ростом

а?

^р

отношение

—^

уменьшается,

г^

т е

ежим

работы системы

улуч-

шается.

Это отношение при

&р->

оо достигает предела, равного

^а?

т. е. чем больше постоянная вре-

ис

21.6. мени системы

тем эффектив-

нее

работа системы.

Дисперсия

выходной величины системы

а|

может быть най-

дена по формуле (21.28):

°f-

или,

в частном

случае/для

релейной системы

Это соотношение определяет эффект подавления помех на вы-

ходе

релейной системы. Чем больше — , тем больше этот эффект.

Задачи

21.1. Показать, что коэффициент

стохастической

линеаризации

г)

—j-

л:Ф

(х)

flfx

— 00

для нелинейного элемента

релейной характеристикой

х >

О,

(

)

0, х

О,

л:

О,

при различных плотностях распределения р

(х):

ЗАДАЧИ

329

а) равномерной

б) треугольной

в) нормальной

0, | х | >

УЗ"

а;

0<х

а;

г) лапласовой

равен соответственно:

а)

У2

Г)

Убедиться, что

(ст)

(от) мало зависит от вида типовых плотностей рас-

пределения.

21.2. Показать, что

ст

>(сг)

мало зависит

г вида типовых плотностей

распределения для нелинейного элемента с характеристикой вида

Ф (х)

X >

Начертить зависимости

(ст)

(a)

(ст)

—

при

—

21.3. Показать, используя результаты задачи 15.2, что при замене нор-

мального распределения на равномерное коэффициент стохастической линеа-

ризации

приближенно может быть представлен в виде

/е

(ст)

(о*)

-—j=

330 СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. 21

21.4.

Показать, что для системы на рис. 21.7 при спектральной плотности

воздействия, равной Sf (со) =

т2

» имеет место равенство

1, 2.

Для нормального распределения

или,

согласно

результату

задачи 21.3, приближенно

если

| t

V»4,1/114

'-'V

**^ /— >

7Z=

, если

>—

7=г

<*х

определение

о^

сводится к графическому решению уравнения

("a^)

/ '- т \

•\-\ —), i = 1,2. Найти

при

используя

Vat

T +

Рис.

21.7.

приведенные выше определения ^

(ст)

(о

^).

Сопоставить вычисленное значе-

ние

при коэффициентах гармонической линеаризации

)

ст)

(сг^.).

21.5. Найти значение

о%

при котором система на

рис.

21,5, а теряет устой-

чивость.

Часть

третья

ДИСКРЕТНЫЕ

АВТОМАТИЧЕСКИЕ

СИСТЕМЫ

Глава

ВИДЫ

ДИСКРЕТНЫХ

СИСТЕМ

22.1. Квантование и его особенности

В рассмотренных ранее непрерывных автоматических систе-

мах сигналы, несущие информацию об ошибке, а также осталь-

ные сигналы представляли собой, вообще говоря, непрерывные

функции

времени (рис. 22.1, а). Наряду с непрерывным спосо-

бом передачи и преобразования сигналов в настоящее время ши-

роко применяются дискретные способы, в которых используется

в том или ином виде дискретизация сигнала. Дискретизация

сигнала состоит в замене непрерывного сигнала теми или иными

дискретными значениями и может быть

осуществлена

по време-

ни,

по уровню либо по времени и по уровню.

Дискретизация сигнала по времени, или квантование по вре-

мени,

соответствует выделению значений сигнала в заранее фик-

сированные моменты времени. Обычно эти моменты времени от-

стоят

друг

от

друга

на постоянную величину Г, называеемую ин-

тервалом

квантования

по

времени

(рис. 22.1,

б).

Дискретизация сигнала по уровню, или квантование по уров-

ню,

соответствует выделению значений сигнала при достижении

им

заранее фиксированных уровней. Эти фиксированные уровни

сигнала обычно отстоят

друг

от

друга

на постоянную величину а,

называемую

интервалом

квантования

по

уровню

(рис. 22.1, в).

Дискретизация сигнала по времени и по уровню соответствует

выделению в заранее фиксированные моменты времени значений

сигнала, ближайших к заранее фиксированным уровням

(рис.

22.1,г).

Типичный пример квантования по времени пред-

ставляет собой кинолента, которая на своих кадрах фиксирует

мгновенные события непрерывно изменяющихся явлений.

Кван-

тование по времени всегда имеет место в импульсных способах

передачи данных. Типичным примером квантования по времени

уровню или, точнее, по аргументу и функции являются таб-

лицы функций.

Аргументы

заданы дискретно, а значения функ-

ций

округлены до определенного количества

цифр.

Квантование