Цыпкин Я.З Основы теории автоматических систем

Подождите немного. Документ загружается.

302

ОЦЕНКИ

КАЧЕСТВА СВОБОДНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 19

ИЛИ

Для оценки /Ф и

воспользуемся неравенством (17.22), которое

представляет собой следствие выполнения условия устойчивости

(t) ^

Полагая в нем q = 0, получим

(6)

1Ф

(х

(6))]

(6))

сЮ

(0)

(х

(0))

dQ.

(19.4)

При

/~^оо

из оценки для р получаем после очевидных преоб-

разований

(;

Так

как характеристика нелинейного элемента принадлежит сек-

тору (0,

&о),

то максимальный статический коэффициент усиле-

ния

kmax

удовлетворяет неравенству

Следовательно,

(19.5)

Правую же часть неравенства

(19.4)

на основании неравенства

Коши

— Буняковского (приложение 4) преобразуем к виду

1/2 , оо

1/2

(19.6)

Принимая

во внимание обозначение для /

и неравенства (19.5),

(19.6),

получим

1/2

19.3]

ОЦЕНКА КВАДРАТИЧЕСКОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО ОТКЛОНЕНИЯ

303

или,

после возведения в квадрат и элементарных преобразо-

ваний,

Поскольку

согласно теореме Парсеваля

где /^ (/со) — спектральная функция

j>(0>

то оценка /Ф может

быть также представлена в виде

Замечая,

что

получаем

оо оо

/Ф

= \ Ф

(х

(9))

(^]

)

(9)

{k%.

(19.8)

следовательно, из

(19,7)

с учетом

(19.8)

получим

Если

характеристика нелинейного элемента Ф (х) принадлежит

не

сектору (0,

a (r,

то в полученных выше оценках I

следует

заменить

на

—

г,

k^\

на

/г^

—

и fe^

на

^min~~"

Таким образом, в общем случае

будем

иметь

где

Пример.

Рассмотрим нелинейную систему, абсолютная устойчивость ко-

торой

была исследована в примере § 18.1. Пусть характеристики нелинейного

элемента

таковы, что

~'-0fi)

kf£\

= 0,3;

=1,3.

Граничное значение

304

ОЦЕНКИ

КАЧЕСТВА СВОБОДНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ

коэффициента

статической линеаризации, как было найдено ранее, равно

гр

1,3. Подставляя эти значения в формулу (19.7), получим

о2

Лф

^ (1,3

-0,6)

или

Аналогично

будем

иметь

или

Оценка

естественно, более грубая, чем /

Оценка

(19.9), как и приведенные выше оценки, пригодна

для любых свободных процессов, имеющих место в нелинейных

автоматических системах, для любых характеристик, принадле-

жащих

углу

(г,

ko)

или (0,

&о),

и любых частотных характери-

стик

линейной части, при которых нелинейная система абсолют-

но

устойчива. Столь малая информация о характеристиках нели-

нейной

системы, естественно,

требует

определенной платы, и эта

плата состоит в том, что для конкретных характеристик оценки

процессов

могут

получиться завышенными.

Задачи

19.1.

Начертить качественный вид смещенной частотной характеристики

(/© — go) при

бо-О;

<№;

2 и

(/со)

- ^

19.2. Показать, что быстродействие

§о

= 0,5 системы в задаче 18 3 дости-

гается при с = 25 и d = 5

19.3. Найти опенку квадратического интегрального отклонения для си-

стемы на рис. 18.10 при условии, что

Глава

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

20.1,

Понятие

периодических

процессах

Характерными периодическими процессами в нелинейных си-

стемах являются

автоколебания.

Автоколебания возможны лишь

тогда,

когда нелинейная система не может быть абсолютно

устойчивой. Поэтому задача исследования возможности суще-

ствования автоколебаний и их свойств возникает, если критерии

абсолютной устойчивости положения равновесия не выпол-

няются.

Установление факта существования автоколебаний и ис-

следование зависимости их частоты и амплитуды от параметров

линейной

части и характеристики нелинейного элемента позво-

ляют выяснить возможности устранения автоколебаний или

уменьшения их амплитуды до необходимой величины

тогда,

когда автоколебания нежелательны, либо наметить пути

уста-

новления

нужной частоты и амплитуды

тогда,

когда автоколеба-

ния

являются нормальным, рабочим режимом. Весьма важным

является выяснение поведения нелинейной автоматической си-

стемы при внешнем периодическом или гармоническом воздей-

ствии.

Такое внешнее воздействие может устранить автоколеба-

ния,

навязав системе свою

частоту

либо

частоту,

в целое число

раз меньшую.

Точное решение подобных нелинейных задач возможно для

очень ограниченного класса характеристик нелинейных элемен-

тов, а именно кусочно-линейных и, в частности, релейных авто-

матических систем. Поэтому в общем

случае

широко исполь-

зуются различные приближенные методы исследования автоко-

лебаний и вынужденных колебаний. Среди них выделяется своей

простотой, наглядностью и физичностью метод, основанный на

гармонической линеаризации.

При

исследовании абсолютной устойчивости состояния равно-

весия

и процессов мы использовали статическую и дифференци-

альную линеаризации. Гармоническая линеаризация специально

приспособлена для исследования периодических процессов в не-

линейных

системах.

306

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ

ПРОЦЕССЫ [ГЛ. 20

20.2.

Гармонический баланс для автоколебаний

Как

было показано в гл. 16, возможные автоколебания опи-

сываются нелинейным уравнением вида

оо

(/)==-

(т)

(х

х))

dr.

(20.1)

Точное решение этого уравнения при произвольной характери-

стике нелинейного элемента невозможно. Для приближенного

решения его воспользуемся понятием гармонической линеариза-

ции.

Будем искать решение нелинейного уравнения

(20.1)

в виде

(t)

sin

со/

или,

в комплексной форме,

(f)

т.

(20.2)

Воспользуемся гармонической линеаризацией. При этом урав-

нение

нелинейного элемента у = Ф(х) заменяется на

g()

г)

(Л)

(t) =

(Л)

Ае№.

(20.3)

Подставляя

(20.2)

(20.3)

в уравнение (20.1), получим уравне-

ние

гармонически линеаризованной нелинейной системы:

оо

№

= —

(х)

(Л)

Ае*<*

dx,

или

= —

w (т)

e"№

\ ^

(Л)

Отсюда,

учитывая, что по определению частотной характери-

стики

оо

(x)

e-№

(/со),

получаем основное соотношение:

-W(fa)%M(A).

(20.4)

Это соотношение имеет ясный физический смысл. Разомкнем не-

линейную систему

(рис.

20.1, а) на

входе

нелинейного элемента

приложим ко

входу

разомкнутой системы гармоническое воз-

действие амплитуды А и частоты со

(рис.

20.1,6).

На

выходе

не-

ГАРМОНИЧЕСКИЙ

БЛПАНС

ДЛЯ АВТОКОЛЕБАНИЙ

307

линейного

элемента возникнет периодический процесс, содержа-

щий

также составляющие кратных частот. Если линейная часть

системы устойчива и достаточно хорошо фильтрует составляю-

щие

кратных частот, т. е. подавляет высокие гармоники, то ее

выходная величина z(t)

будет

близка к гармонической частоте со,

но

с иной амплитудой и фазой, отличной от 0 или я. Эта гар-

моническая

величина z(t) представляет собой выходную вели-

чину разомкнутой гармонически линеаризованной нелинейной

f(t)

Щр)

z(t)

а)

Wlja)

z(t)

п)

ff)

lit)

в)

Рис 20.1.

системы (рис. 20.1, в). Чем лучше линейная часть фильтрует вы-

сокие

гармоники, тем гармоническая линеаризация дает более

точные результаты,

Условие

существования

гармонического

режима

требует,

чтобы

амплитуды

на

входе

выходе

разомкнутой

гармо-

нически

линеаризованной

нелинейной

системы

(рис. 20.1, в)

были

равны

друг

другу,

сдвиг

фаз

между

входной

и вы-

ходной

величинами был

равен

я,

т. е.

(20.5)

что представляет собой иную запись основного соотношения

(20.4).

Таким

образом, основное соотношение выражает собой ба-

ланс амплитуд и фаз и его можно назвать соотношением

гармо-

нического

баланса.

Соотношение гармонического баланса

опре-

308

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ.

деляет амплитуду

частоту

со

возможных автоколебаний.

Хотя физическая интерпретация соотношения гармонического

баланса относится к

системам,

в которых линейная часть устой-

чива, само по себе соотношение гармонического баланса спра-

ведливо в любых

случаях.

Амплитуда

и частота

со

являются

решениями

алгебраических уравнений (20.5). Но эти алгебраи-

ческие уравнения выражают то обстоятельство, что гармониче-

ски

линеаризованная система находится на границе устойчиво-

сти.

Отсюда

следует,

что

условие

существования

автоколебаний

требует

такого

из-

менения

коэффициента

гармонической

линеаризации

за

счет

изменения

амплитуды

А и

частоты

со, при

котором

гармонически

линеаризованная

нелинейная

система

вы-

водится

на

границу

устойчивости.

20.3.

Определение

амплитуды

частоты

автоколебаний

Определение амплитуды и частоты автоколебаний и исследо-

вание

их зависимости от параметров линейной части системы сво-

дится к изучению поведения гармонически линеаризованной си-

стемы на границе устойчивости. Для этой цели можно исполь-

зовать частотный или алгебраический критерий устойчивости

линейных

систем, находя из него условия вывода системы на гра-

ницу

устойчивости. Часто можно

использовать уже готовые резуль-

таты исследования устойчивости

соответствующих линейных си-

стем, представленные в виде об-

ластей и границ устойчивости.

Рассмотрим вначале непосред-

ственное применение соотноше-

ния

гармонического баланса

(20.4). Запишем его в форме

WQco)

(A)

(20.6)

Рис. 20.2.

Если

на комплексной плоскости

изобразить частотную характери-

стику линейной части

W(/co)

и отрицательный обратный

коэффи-

(рис.20.2),то

точ-

(А)

циент

гармонической линеаризации

—

ка

пересечения

их

определит частоту

со

/по

оцифровке

—.

амплитуду

А ( по

оцифровке

—

]

{r)

(A)J

возможных автоколе-

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

АМПЛИТУДЫ И ЧАСТОТЫ АВТОКОЛЕБАНИЙ

309

баний.

Это построение очень

удобно

для исследования влияния

параметров нелинейной системы на

частоту

амплитуду

воз-

можных автоколебаний. Изменение параметров линейной части

приводит к деформации частотной характеристики

lF(/co),

а из-

менение

характеристики нелинейного элемента приводит к

изме-

нению

отрицательного обратного коэффициента гармоничес-

кой

линеаризации.

Отсутствие

точки пересечения

W(jay)

~-~—

(

рис

20.3) свиде-

/^^\W(](o)

(л)

тельствует

лишь о том, что ав-

токолебания искомой формы

отсутствуют.

Описанный выше

способ исследования был осно-

ван

на использовании частот-

ной

характеристики линейной

части и тесно связан с частот-

ным

критерием устойчивости

линейных

систем.

Возможен и иной способ ис-

следования, использующий ха-

рактеристическое уравнение и

тесно связанный с алгебраическими критериями устойчивости.

Для этой цели

введем

понятие

передаточной

функции

гармони-

чески

линеаризованного

нелинейного

элемента-.

fe(r>

(£,

л)

fe<

{А)

(A)

-£

(20.7)

При

р = /со эта передаточная функция совпадает с коэффициен-

том гармонической линеаризации:

——

(Л\

t?^

(Л\

. *

1Ь^

(А\

(00

Рис.

20.3.

В отличие от коэффициента гармонической линеаризации /

передаточная функция гармонически линеаризованного нелиней-

ного элемента

(г)

(—,

ЛЬависит

не только от амплитуды,

ной

от частоты со автоколебаний. Передаточная функция разомкну-

той гармонически линеаризованной системы равна произведе-

нию

передаточных функций гармонически линеаризованного не-

линейного

элемента и передаточной функции линейной части

системы, т. е.

{T)

(-£-,

Л) W

(р)

[№

(Л)

{

(Л)

|-]

(р). (20.9)

Но

так как

р,

310

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ

ПРОЦЕССЫ

[ГЛ 20

то,

суммируя знаменатель и числитель (20.9), получаем харак-

теристическое уравнение гармонически линеаризованной замкну-

той системы:

(£'

Л)

(/>)

[kT

(Л)

(А)

£]

Р (р)

(20.10)

этому характеристическому уравнению

могут

быть применены

алгебраические критерии устойчивости.

Если

потребовать, чтобы гармонически линеаризованная си-

стема была на границе устойчивости, т.е. чтобы характеристиче-

ское уравнение

(20.10)

имело пару чисто мнимых корней, а

остальные все корни были левыми, то те значения А

со, при ко-

торых это имеет место, и определяют амплитуды и частоты воз-

можных автоколебаний. Особенно просто определение ампли-

туд и частот возможных автоколебаний в нелинейных системах

с однозначной характеристикой нелинейного элемента. В этом

случае

и,

значит, гармонический коэффициент линеаризации веществен:

Следовательно, —

совпадает с вещественной

fe(r)

(

д\

)

(А)

осью (рис. 20.3). Граничная частота в этом

случае

определяется

полностью линейной частью

системы и не зависит от ха-

рактеристики нелинейного

krp

элемента. Она равна гранич-

ат"*

ной частоте линейной части

системы. Определяя на ос-

нове анализа устойчивости

линейной

системы любым

способом граничный

коэф-

фициент

усиления

гр

и при-

равнивая

его коэффициенту

усиления разомкнутой гар-

монически

линеаризованной системы

kj^

(Л),

находим уравне-

ние

относительно амплитуды возможных автоколебаний:

{

]

{A)

(20.11)

Проще

всего уравнение

(20.11)

решается графически (рис. 20.4).

Изменение

параметров линейной части изменяет

т. е.

правую часть уравнения

(20.11),

а изменение характеристики не-

Рис.

20.4.

20.3]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

АМПЛИТУДЫ И ЧАСТОТЫ АВТОКОЛЕБАНИЙ

311

линейного

элемента изменяет

левую

часть уравнения

(20.11).Та-

ким

образом, можно выяснить влияние параметров и характери-

стик

системы на параметры автоколебаний. Особенно удобно

для этой цели использовать границы устойчивости линейных си-

стем, представляющих собой зависимость

от параметров си-

стемы. Так, в §

11.1

для

линейной

системы третье-

го порядка была построе-

на

граница устойчивости,

разбивающая плоскость

(/г,

Тз/Ti)

на области

устойчивости и неустойчи-

вости. Эта граница устой-

чивости воспроизведена

на

рис. 20.5. Каждая

точка границы устойчиво-

сти соответствует гранич-

ной

частоте. Стрелка на

рис.

20.5 показывает на-

правление возрастания

частоты.

Рассмотрим теперь нелинейную систему третьего порядка,

граф ее изображен на рис. 20.6. Характеристике нелинейного

элемента типа зоны нечувствительности и насыщения (рис. 20.7)

Рис.

20.5.

у-

3J?

Рис.

20.6.

Рис.

20.7,

соответствует гармонический коэффициент линеаризации, изо-

браженный на рис. 20.8. Величина М определяет максимальное

значение

k^(A).

Проводя на графике гармонического

коэффи-

циента

линеаризации горизонтальную прямую

гр

/й

опреде-

ляем амплитуды возможных автоколебаний как абсциссы точек

их пересечения

с этой прямой (рис. 20.8). При

/Т

{

const и изменении

прямая

р/&л

меняет свое положение:

поднимается при уменьшении

опускается при увеличении

Если

ferp/^л

(прямая

/),

то автоколебания

отсутствуют.

При

&гр/&л

(прямая 2) в системе возможны автоколебания ча-

стоты

o)i

с амплитудами

С ростом

амплитуда