Цыпкин Я.З Основы теории автоматических систем

Подождите немного. Документ загружается.

282

УСТОЙЧИВОСТЬ

НЕЛИНЕЙНЫХ

СИСТЕМ

[ГЛ.

устойчивости состояния равновесия нелинейной системы с неста-

ционарной

нелинейной характеристикой можно сформулировать

следующей форме.

Частотный

критерий

III

(круговой

критерий).

Состояние

равновесия

= 0

нелинейной

системы

нестационарной

нелинейной

характеристикой

будет

абсолютно

устойчивым,

если

характеристика

нелинейного

элемента

<&(xj)

при

всех t

принадлежит

сектору

(г,

)

или,

что то

же,

если

коэффициент

статической

линеаризации

k^{x,

t) при всех t

принадлежит

полосе

(г,

частотная

характеристика

линейной

части

W(/co),

не

пересекая

(ko,

г)-окружности,

охватывает ее в

положительном

направлении,

т.

е.

против

часовой

стрелки,

sJ2

раз, где

-»

индекс

неустойчивости

(рис. 17.11, а).

частном

случае,

если

= 0, то

W(j(o)

не

должна

охва-

тывать

r)-окружность

(рис.

17.11,6).

17.7. Общий критерий устойчивости процессов

Уравнение свободного процесса, определяющее устойчивость

вынужденного процеса

(t),

отличается от уравнения свобод-

ного процесса (17.6), определяющего устойчивость состояния

равновесия

= 0, лишь конкретизацией нестационарной нели-

нейной

характеристики. Поэтому для установления критерия

устойчивости вынужденного режима можно воспользоваться ча-

стотным критерием III (круговым частотным критерием). Рас-

смотрим условия принадлежности

W(x

(t),t)

сектору (г, ko)

Подставляя выражение для

}

¥(x

(t),

t) из (17.7), получим

W(0,

Ф(х

(/))-Ф(х

(0)-0,

(*с

(о

(0)

(х

(0)

<•

х~Щ

°'

Но

для любой кусочно-непрерывной функции

Ф(«с(0+*'

(;))-Ф(*'(0)

я ф

(

С (/))) (17#93)

где

О^б

^!.

Поэтому второе из условий (17.92) эквивалентно

условию

г<Ф'(*

(О)</го-

(17.94)

Но

(0)

(17.95)

17.3]

ОБ

УСТОЙЧИВОСТИ «В МАЛОМ» И «В БОЛЬШОМ»

283

представляет собой коэффициент дифференциальной линеариза-

ции.

Значит, условие принадлежности

W(x

t) сектору

(г,

ko)

эквивалентно

условию принадлежности коэффициента дифферен-

циальной

линеаризации нелинейного элемента

k^(x

(t))

полосе

(г,

ko).

Таким образом, критерий абсолютной устойчивости про-

цессов,

или критерий абсолютной устойчивости нелинейных си-

стем, можно сформулировать в следующей форме.

Частотный

критерий IV (круговой

критерий).

Вынужден-

ные

процессы

нелинейной

системе

будут

абсо

гютно

устой-

чивыми,

если

производная

характеристики

нелинейного

элемента

Ф'(х)

или,

что то

же,

коэффициент,

дифференци-

альной

линеаризации

k^(x)

принадлежит

полосе

(г,

ko)

частотная

характеристика

линейной

части

W(/со),

не пе-

ресекая

(ko,

r)-окружности,

охватывает

ее в

положитель-

ном направлении,

т.

е.

против

часовой

стрелки,

раз,

где

—

индекс

неустойчивости

(рис.

17.11,а).

частном

случае

при

= О

частотная

характеристика

линейной

части

W(jco)

не

должна

охватывать

r)-

окружность

(рис.

17.11,6).

Круговые критерии (критерии III, IV) по своей формулиров-

ке

аналогичны обычному частотному критерию устойчивости ли-

нейных

систем, но теперь роль точки

(

г-,

/0) или также отрезка

(ko,

г)

играет

(Аг

г)

-окружность

(рис.

17.12). Требования абсолют-

ной

устойчивости нелинейных си-

стем более жесткие, чем требования

устойчивости линейных систем. Так,

для частотной характеристики /

(рис.

17.12)

линейная система

будет

устойчива, тогда как об абсолют-

ной

устойчивости нелинейной систе-

мы ничего сказать нельзя, так как

все критерии абсолютной устойчивости являются лишь доста-

точными.

17.8, Об устойчивости «в малом» и «в большом»

Рассмотрим нелинейную систему с произвольной характери-

стикой

нелинейного элемента

Ф(х)

(рис. 17.13). Представим

Ф(х)

в виде

ф()

Ф'(0)

Рис.

17.12.

где

бФ(л:)

содержит степени х не ниже второй. Используя

обозначение коэффициента дифференциальной

линеаризации,

284

УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

1ГЛ.

запишем

Ф(х)

виде

(

)

(0)

х +

6Ф

(х).

(17.96)

Предположим,

что

линеаризованная система,

которой

Ф(х)

заменено

на

k№(Q)x,

устойчива.

Это

значит согласно частот-

ному критерию устойчивости линейных систем

(см. §

11.3),

что

частотная характеристика линейной части ситемы

W(jca)

охва-

тывает точку

(—~7ТГ~Т

/0)

положительном направлении

(0) /

раз, где

—индекс

неустойчивости

(рис.

17.14).

Проведем

Рис.

17.13.

Рис.

17.14.

на

плоскости

окружность достаточно малого радиуса

с цен-

тром

точке

(

—

——-,

]

так,

чтобы

она не

пересекалась

W(jco).

Эта

окружность представляет собой

не что

иное,

как

&0)8,

k№(0)—s)-окружность,

и она

определяет сектор

е,

>(0)

—е),

которому принадлежит начальная часть

характеристики нелинейного элемента.

Всегда

можно выбрать

такое малое

sup|/(0|

или

sup

f^(t)

/J(/)|,

что х не

будет

выходить

за

пределы начальной части характеристики

Ф(л;),

принадлежащей сектору

(й

(д)

(0)—8,

fe(w(0)+e).

этом

случае

выполняются условия кругового частотного критерия

(критерий

IV), но при

малых отклонениях

х от

нуля. Отсюда

мы

приходим

выводу,

что

нелинейная

система

будет

устойчива

«в

малом»,

если

со-

ответствующая

ей

линеаризованная

система

устойчива.

Устойчивость

«в

малом» лишь констатирует факт устойчивости,

но

не

определяет каких-либо границ области устойчивости.

Уве-

личим

до

величины, при которой

(д)

(0)

+Б,

(д)

(0)

—

е)-окруж-

ность касается частотной характеристики линейной

ч^рти

(рис.

17.14).

При

этом раствор сектора

)(0)—е,

)(0)+в)

увеличится

до

максимально возможного

при

заданном

(

д)

(0).

ЗАДАЧИ 285

Характеристика Ф(х) нелинейного элемента принадлежит сек-

тору

)(0)

—

kW(0)-{-e)

для ограниченных значений х, а вне

некоторого отрезка она выходит за пределы сектора. Если вели-

чину

sup|/(/)|

или

sup

(t) +

(/)

| ограничить так,

чтобы х удовлетворяло неравенству

\х\^.

const, то нелинейная

система

будет

устойчива «в большом». Легко установить анало-

гичным путем факт устойчивости «в малом» и «в большом» при

других

способах линеаризации. Применению частотных крите-

риев абсолютной устойчивости состояния равновесия и процес-

сов для исследования устойчивости конкретных систем и устано-

вления

закономерностей, связанных с абсолютной устойчивостью,

посвящена

следующая глава.

Задачи

17.1.

Использовать результаты задачи 15.5 для установления кругового

критерия

абсолютной устойчивости.

17.2. Показать, что геометрическая интерпретация условия устойчивости

при

(?^0и^>г^0

состоит в том, что частотная характеристика

W(/со)

линейной части

системы

должна располагаться при со ^ 0 вне окружности с центром в точке

1/1

. 1 . / 1 1

пересекающей действительную ось в

точках

г-.

17.3. Показать, что q = 0 в задаче 17.2

соответствует

обычному круго-

вому критерию абсолютной устойчивости.

Глава

ИССЛЕДОВАНИЕ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

НЕЛИНЕЙНЫХ

АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

18.1. Абсолютная устойчивость состояния равновесия

типовых систем

Исследование абсолютной устойчивости состояния равнове-

сия

нелинейной автоматической системы основано на примене-

нии

линеарного или параболического критериев, в которых фи-

гурирует

модифицированная частотная характеристика

(/со)

(со) +

(со).

Напомним,

что

£/(со)

и V(co) представляют собой действитель-

ную и мнимую части обычной частотной характеристики линей-

ной

части

W(j(o).

Значения

WV(/co)

W(jco)

совпадают при

со

= 1 и на действительной оси, где

V(to)

= 0

(рис.

18.1, а). При

со = оо значения

(j®)

W(/to)

также совпадают, если сте-

пень

передаточной функции

W(p)

больше единицы, т.е.

п — т

1. Если же

= п

—

т — 1, то

(оо) =

lim

coV

(со)

а < О

(0->оо

и,

следовательно, значение модифицированной частотной харак-

теристики

(j(&)

при со = оо

будет

расположено не в начале

координат, а на отрицательной мнимой оси (рис.

18.1,6).

Отме-

ченные свойства позволяют, с одной стороны, легко построить

№

(/<*>)

по

W(jca),

а с

другой

стороны, выяснить возможности,

когда об абсолютной устойчивости состояния равновесия нели-

нейной

системы можно судить непосредственно по частотной ха-

рактеристике

W(/co)

линейной части системы.

Если

модифицированная частотная характеристика

И^м(/со)

построена, то, применяя линеарный или параболический крите-

рий,

нетрудно определить границы изменения статического

коэф-

фициента

усиления нелинейного элемента

k^(x)

при котором

обеспечивается абсолютная устойчивость состояния равновесия

нелинейной

системы. Наибольшая верхняя граница достигается

18.1]

АБСОЛЮТНАЯ

УСТОЙЧИВОСТЬ

СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ

2В7

том случае, когда прямая (рис.

18.2,а)

или парабола

(рис.

18.2,6)

проведены так, что они касаются модифицирован-

ной

частотной характеристики

(joy)

и при этом правый конец

jV(Q)

(/(Я

Рис.

18.1

отрезка

—

-т-,

а\,

отсекаемого ими на вещественной оси,

ми-

нимален

по абсолютному значению. В

тех.^лучаях,

когда

пря-

мую можно провести так, чтобы она касалась

модифицирован-

ной

частотной характеристики

ИР

(/со)

в точке пересечения ее с

Рис

18.2.

вещественной осью и

(/co)

была бы расположена справа от

этой

прямой (рис. 18.3), границы изменения статического

коэф-

фициента

линеаризации совпадают с границей устойчивости по

коэффициенту

усиления Линеаризованной системы. Для подоб-

ных нелинейных систем задача исследования абсолютной устой-

чивости сводится к исследованию устойчивости соответствующей

ИССЛЕДОВАНИЕ

АБСОЛЮТНОЙ

УСТОЙЧИВОСТИ

[ГЛ. 18

(o)

линеаризованной

системы на основе известных критериев

устой-

чивости, приведенных в гл. 10.

Рассмотрим типовые автоматические системы, состоящие из

соединения

нелинейного элемента и линейной части. Предполо-

жим,

что частотная характери-

стика линейной части системы

W(j&)

целиком лежит справа

от касательной, проведенной в

самой левой точке пересечения

с действительной осью. Выяс-

ним,

когда этим свойством

будет

обладать и модифициро-

ванная

частотная характери-

стика.

Пусть

со

—

частота, соответ-

ствующая самой левой точке

Рис.

18.3. пересечения частотной харак-

теристики с действительной

осью. При монотонно убывающем

модуле

частотной характери-

стики

это

— минимальный отличный от нуля корень уравнения

У(со)

Уравнений

касательной имеет вид

где

f/i

(со) и

^i(co)—абсцисса

и ордината касательной. Если

мо-

дуль

частотной

характерисшки

Щ/со)

убывает, то для её орди-

наты справедливо неравенство

-ш

(18.1)

Умножим обе части неравенства на со

О, получим неравенство

для ординаты модифицированной частотной характеристики

Ум(*>)<

°гГ^г[^1И-^/(со

)].

(18.2)

Сравнивая

это неравенство с неравенством

(18.3)

заметим, что последнее неравенство выполняется при

так как

(©,)

(co

)

V'u

с»У

(со

§ 18.1]

АБСОЛЮТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ

289

Кроме

того, для выполнения (18.2) при со =

со

необходимо вы-

полнение

(18.1). Если действительная часть частотной характе-

ристики

принимает в точке

со

минимальное значение, то этого

достаточно для выполнения неравенства (18.3). Следовательно,

если

модуль

частотной

характеристики

системы

убывает

ростом

со, то

модифицированная

характеристика

будет

лежать

справа

от

касательной,

проведенной

самой

левой

точке

пересечения

ее с

действительной

осью.

этом

слу-

чае об

абсолютной

устойчивости

нелинейной

системы

мож-

но

судить

по

устойчивости

линеаризованной

системы.

Предположим, что передаточная функция линейной части си-

стемы имеет вид

(18.4)

где Q (р) — многочлен

п-и

степени, корни которого все веществен-

ны

и отрицательны. Один из нулей многочлена Q (р) может быть

равен нулю. Степень этой передаточной функции равна порядку,

т. е. п, а индексы неустойчивости, неминимально-фазовости и ко-

лебательности равны нулю. Полагая в (18.4) р = /со, находим

частотную характеристику линейной части:

Q-I

arg

(/fi))

При

возрастании со от 0 до оо модуль частотной характеристики

ее фаза монотонно убывают. В этом случае границы измене-

ния

статического коэффициента линеаризации, обеспечивающие

абсолютную устойчивость состояния равновесия, совпадают с

предельными.

Для

системы

второго

порядка

абсолютная

устойчивость

состояния

равновесия

будет

иметь

место

при

любой

одно-

значной

характеристике

нелинейного

элемента,

располо-

женной

первом

третьем

квадрантах (рис. 18.4, а), а

для

систем

выше

второго

порядка

абсолютная

устойчи-

вость

состояния

равновесия

будет

иметь

место,

когда

ха-

рактеристика

нелинейного

элемента

будет

однозначна

расположена

секторе

(О,

)

(рис.

18.4,6),

где

гр

—

граничный

коэффициент

усиления

соответствующей

ли-

нейной

системы.

Эти выводы остаются справедливыми и для характеристик

нелинейного

элемента, обладающих отрицательным гистерези-

сом.

Заметим, что в этих случаях условия абсолютной

устойчи-

Я. 3 Цыпкин

290

ИССЛЕДОВАНИЕ

АБСОЛЮТНОЙ

УСТОЙЧИВОСТИ

[ГЛ.

вости

состояния

равновесия

являются

не

только

достаточными,

но

необходимыми.

Таким

образом,

для

типовых

автоматических

систем,

передаточная функ-

ция

линейных частей которых определяется выражением

(18.1),

исследование абсолютной устойчивости состояния

равновесия сводится к исследованию устойчивости соот-

ветствующей

линейной системы.

Это

обстоятельство

позволяет

использовать

результаты ис-

следования

устойчивости

линейных

систем

для

исследования

аб-

солютной

устойчивости

нелинейных

систем.

Итак,

чтобы состояние равновесия типовой нелинейной системы

было

абсолютно

устойчивым,

необходимо и достаточно,

чтобы

статический

коэффициент линеаризации

kW(x)

——^

нелинейного

элемента при всех х был

положите-

лен

и не превосходил граничного коэффициента усиления

гр

линеаризованной системы, т.

е.

/г<

с)

(*)

< k

гр-

Этот

же вывод

остается

справедливым

и для

типовых

систем

у-ФШ

а)

Рис.

18.4.

запаздыванием,

передаточная

функция

линейной

части

которых

отличается

от (18.4)

наличием

множителя

е~

рх

т. е.

Частотная

характеристика

линейной

части

этом

случае

равна

ттг/

/;._\ с

/>-/

[arg

(/(0)+Т(0]

18.2]

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ

КОЭФФИЦИЕНТЫ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

291

Ее

модуль

и фаза монотонно

убывают

при возрастании

о)

от 0 до

оо.

В общем же

случае

линеарный критерий абсолютной устой-

чивости состояния равновесия является лишь достаточным.

Пример.

Рассмотрим систему, передаточная функция линейной части ко-

торой

равна

Р\

{)

Модифицированная

частотная характеристика

(со

—16,45)

(/со)

+ со

)

[(16

со

)

(0,45со)

]

(1,45со

— 16)

(1 +со

)

[(16

—

со

)

}

45со)

]

построена

на рис. 18.5. Граничный коэффициент усиления линеаризованной си-

стемы равен

"Тр,

гл

Проводя

прямую, касательную к модифициро-

ванной

частотной характеристике, находим на

основании

линеарного критерия граничное зна-

чение

для статического коэффициента линеа-

ризации:

гр

0,77

""*

Положение

равновесия нелинейной системы

будет

абсолютно устойчивым, если

с)

(х)

1,3.

Рис.

18.5.

Отсюда видно, что в рассматриваемом случае область устойчивости нелиней-

ной

системы меньше области устойчивости соответствующей линейной си-

стемы.

18.2. Абсолютная устойчивость состояния равновесия

при

любых

положительных коэффициентах

статической линеаризации

Выше было показано, что нелинейные системы второго по-

рядка

обладают

абсолютно устойчивым положением равновесия

при

любой однозначной характеристике нелинейного элемента,

расположенной в первом и

третьем

квадрантах. Типовые нели-

нейные системы

третьего

и более высокого порядка

всегда

имеют

конечный

граничный коэффициент усиления, определяющий пре-

делы

изменения статического коэффициента усиления нелиней-

ного элемента. Выделим классы нелинейных систем, в которых