Цыпкин Я.З Основы теории автоматических систем
Подождите немного. Документ загружается.
262 УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 17
венства
(17.3)
sup|/°(/)|
заменить на sup |
f$(t)
+
f^(t)\,
а вме-
сто «состояния равновесия» говорить «вынужденный процесс».
Различие
будет
состоять лишь в том, что в уравнении относи-
тельно свободного процесса вместо стационарной нелинейной
характеристики (см. (17.2)) теперь
будет
фигурировать неста-
ционарная
нелинейная характеристика
(*¥(х
с
(t),
t) (17.6), (17.7).
Далее нас
будет
интересовать не определенный вынужден-
ный
процесс, соответствующий фиксированному ограниченному
внешнему воздействию
f^(t)
9
например гармоническому, перио-
дическому, почти периодическому или постоянному, а вся сово-
купность возможных вынужденных процессов, определяемых
уравнением (17.5), при любом ограниченном внешнем воздей-
ствии
f_(t).
Будем говорить, что вынужденные процессы
x
B
(t),
определяемые уравнением (17.5), устойчивы, если для убываю-
щих внешних воздействий
/^
(t)
+
/J
W
таких
>
чт0
sup|^(/)
+
^(/)|
=
r|<oo,
(17.8)
свободный процесс
x
c
(t),
определяемый уравнением (17.6), огра-
ничен
и удовлетворяет условию
Iim*
c
(/)
=
0.
(17.9)
t->oo
Если
в
(17.8)
ц
принимается достаточно малой, то вынужденные
процессы
x
B
(t)
устойчивы
«в
малом».
Если в
(17.8)
ц
—
фикси-
рованная
конечная величина, то вынужденные процессы
x
B
(t)
устойчивы
«в
большом».
Если в
(17.8)
ц
может быть любой ве-
личиной,
то вынужденные процессы
устойчивы
«в
целом».
Нако-
нец,
будем
говорить об
абсолютной
устойчивости
вынужденного
процесса, если он устойчив в целом для семейства характери-
стик
нелинейного элемента. Поскольку состояние равновесия яв-
ляется частным случаем вынужденного процесса, вызываемого
постоянным
внешним воздействием, то из устойчивости в целом
и
абсолютной устойчивости вынужденных процессов
следует
так-
же устойчивость и состояния равновесия. Поэтому в этом
случае
можно говорить об устойчивости в целом или абсолютной устой-
чивости нелинейной системы. Таким образом,
нелинейная
система
абсолютно
устойчива,
если
все воз-
можные
вынужденные
процессы
в ней
абсолютно
устой-
чивы.
Критерий
абсолютной устойчивости состояния равновесия и
критерий
устойчивости возможных вынужденных процессов, т. е.
критерий
абсолютной устойчивости нелинейной системы, разли-
чаются в своих формулировках. Поэтому мы их
будем
рассма-
тривать раздельно,
I
17.2]
АБСОЛЮТНАЯ
УСТОЙЧИВОСТЬ
СОСТОЯНИЯ
РАВНОВЕСИЯ
263
§
17.2.
Условия
абсолютной
устойчивости
состояния
равновесия
Для получения условий абсолютной устойчивости состояния
равновесия
рассмотрим нелинейную автоматическую систему
(рис.
17.1), ко
входу
которой приложено убывающее воздействие.
Предположим,
что линейная часть системы устойчива. Это зна-
чит, что ее временная характеристика удовлетворяет условияхМ
lim
w(t)
t
(17. 10)
и
для всех t
t
t
\
|
w
(T)
I
dx < oo,
\
w
2
(r)
dx < oo,
t
->
°o
.
о
о
Что
же касается характеристики нелинейного элемента, то
Рис.
17.2
будем
считать, что она удовлетворяет условиям принадлежности
Ф(х) сектору [0,
ко]
(рис. 17.2, а), т. е. условиям
Ф(0) =
0,
Поскольку
(17.11)
(17.12)
представляет собой статический коэффициент линеаризации,
то условие принадлежности Ф(х) сектору [0,
&
0
]
эквивалентно
264 УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. \1
условию принадлежности
k^(x)
полосе [0,
к
0
]
(рис.
17.2,6),
т. е.
условиям
Ф
(0)
=
0,
0<ft«>(*)<*
0
.
(17ЛЗ)
Введем
вспомогательную
функцию
x
c
(t)
+
qx
c
(t)
-
|ф(*
с
(0).
(17.14)
Здесь
q
—
вещественный параметр,
x
c
(t)
определяется уравне-
нием
свободного процесса (17.2),
x
c
(t)~-
производная
x
c
(t),
определяемая уравнением
t
х
с
(t)
=
fl
(г)
-
w
(0)
Ф
{х
с
(/))
—
^w
(t
—
т)
Ф
(х (т))
dr,
(17.15)
о
которое получается дифференцированием
по
t
уравнения (17.2).
Образуем теперь функцию
t
9
{t)=^(Q)O(^(Q))dQ,
(17.16)
0
или,
после подстановки
if>(/)
из
(17.14),
t
t
Р
(0
=
$
[*
с
(6)
- |
Ф
(х
с
(9))]
Ф
(х
с
(9))
rf9 +
^ *
с
(6)
Ф
(^
с
(6))
dQ.
о
о
(17.17)
Подставляя
в
(17.17)
x
c
(t)
из
(17.2)
и
i
c
(/)
из
(17.15)
и
исполь-
зуя очевидное тождество
t
ф
(х
с
(/))
=
J
ф
(х
с
(9))
б
(/
—
9)
d0,
(17.18)
о
где
6(/)
—
дельта-функция, приведем, после очевидных преоб-
разований, функцию
p(t) к
виду
Р
(0
= \
Щ
(
0
)
+
яН
Щ
Ф
(х
с
(6))
^е
-
0
t
~~
j
J
{^(
9
~~
v)
+
qw(Q
—
x)
+
[qw(O)
+
-j-]&{Q
—
т)|х
о
о
т.
(17.19)
§
17 2]
АБСОЛЮТНАЯ
УСТОЙЧИВОСТЬ
СОСТОЯНИЯ
РАВНОВЕСИЯ
265
Второе слагаемое в
(17.19)
представляет собой квадратичную
форму относительно характеристики нелинейного элемента
Ф(я).
Предположим, что эта квадратичная форма, которую мы обозна-
чим через T(t), неотрицательна при всех k из диапазона
(О,
k
o
+
е),
т. е.
о
о
+
\qw(0)
+
-{-I
6(9
- т)
}
Ф
(х
с
(9))
Ф
(х
с
(т)) dQ dx
>
0
(17.20)
при
любом сколь угодно малом 8. Тогда можно показать, что
sup |
x
c
{f)
|<J
с <
оо
и
\\mx
c
(t)
=
0
(17.21)
t
t->oo
при
любой нелинейности, удовлетворяющей условиям (17.11),
т.
е.
состояние равновесия нелинейной системы абсолютно устой-
чиво.
Действительно, отбрасывая
в
правой части равенства
(17.19)
T(t),
получим неравенство
t
?(t)<\
[f'i
(В)
+
qf\
(9)]
Ф
(х
с
(9)) dQ
(17.22)
о
или
после замены p(t) в левой части этого неравенства его яв-
ным
выражением из
(17.17)
получим
t t
\
[х
с
(9)
-
-»
Ф
(х
с
(9))]
Ф
{х
с
(9))
dQ
+ q
Jj
i
c
(9) Ф
(х
с
(9)) dQ
<
t
\
ф
Это неравенство,
по
предположению,
справедливо при любом k
из
диапазона
(0,
k
o
+s).
Принимая
во внимание условие при-
надлежности Ф(х) сектору [0,
ko],
можно написать неравенство
t
и
заменить первое слагемое неравенства
(17.23)
правой
частью
неравенства (17.24). Второе слагаемое левой части неравенства
266
УСТОЙЧИВОСТЬ
НЕЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ
[ГЛ.
17
(17.23) преобразуем следующим образом:
t
x
c
(t)
x
c
(t)
x
c
(0)
J
JC
C
(G) Ф
(x
c
(9))
rf9
=
jj
<${x
c
)dx
c
=
J
O(x)dx
—
J
<D{x)dx.
0
x
c
(0)
0
°
(17.25)
Наконец,
правую часть неравенства (17.23) оценим с помощью
неравенства
Коши
— Буняковского (приложение 4):
t
12
(
t
V
/2
|
J
Ф»(J^(в))rf9
1 . (17.26)
Пользуясь
t
е
0
$Ф
2
(х
с
(<
0
Г
(17
B))fl
t
\i
.24)-(17.26),
x
c
(t)
IQ
+ q
J
Ф(д
0
усилим
ч
1/2
frfej
неравенство
X
е
(0)
0
ч
0
(17.23):
ft]
(17.27)
Введем обозначения
*
о
x(t)
I
x{
t,=
\
Ф{х)йх>0.
0
Тогда неравенство (17.27) запишется более компактно:
/Ф
(0
+
-f
ixit)
<
7-
7
f
W
/ф
W
+
f"**
(0)
-
(I7
'
29)
Прибавляя
к обеим частям этого неравенства
—irl)
(oo)
и
заме-
4е
0
чая,
что для исчезающих функций
/>(/)
и
f^(/),
как видно
из
(17.28),
) (17.30)
§
17 2] АБСОЛЮТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ
267
преобразуем неравенство
(17.29)
окончательно
к
виду
+
±I
x{t)
^-±I
f
{oo)
+
-2-I
x{0)
= A. (17.31)
е
о
J
8
о
48
о
8
о
Правая
часть этого неравенства постоянна. При
q^O
слага-
емые левой части неравенства неотрицательны. Отсюда заклю-
чаем,
что при
любом
t
имеет место неравенство
t
/Ф
(0
=
\
Ф
2
(*
с
(Q))
dQ
<
с,
<
оо.
(17.32)
О
Но
из
уравнения свободного процесса (17.2)
следует,
что
t
(17.33)
или,
в
силу неравенства
Коши
—
Буняковского,
О
?
-it'
2
\w4t~x)d%\
/ф(0.
(17.34)
Для
устойчивой
линейной
части
(17.10)
при
любом
t
t
\
w
2
{t
—
x)dx
<
оо.
о
Учитывая ограниченность
/Ф
(/),
заключаем
из
(17.34),
что
|л:
с
(/)|
ограничено,
т. е.
|л:
с
(0
|<с
2
<
оо.
Поскольку
Ф{х)
принадлежит сектору
[0,
k
Q
],
то
при ограничен-
ных
|х
с
(/)|
будет
также ограничена
Ф(#
с
(/)),
т. е.
При
этом условии из выражения для производной процесса
(17.15)
убеждаемся
в
ограниченности
\x
c
(t)\,
так как в
силу
(17.11)
Если
|#
с
(01
и
|i
c
(0l
ограничены,
то из
ограниченности /ф (t)
(17.32)
следует,
что
Ф(л:
с
(^))
стремится
при
/~>оо
к
нулю,
а
значит,
из
условия принадлежности сектору
[0,
ko]
(17.11)
сле-
дует,
что
limx(t)
=
Q.
t->oo
26S УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [ГЛ.
17
Это свидетельствует об абсолютной устойчивости состояния рав-
новесия.
Сделанное заключение об абсолютной устойчивости состоя-
ния
равновесия было основано на предположении неотрицатель-
ности
T(i)
(17.20). Поэтому неравенство (17.20) для
(f^O
и
О<С&<С&о
~Ь
8
?
а
значит,
и
для
0<Zk^k
0
и
представляет со-
бой
условие
абсолютной
устойчивости
состояния
равновесия.
Та-
ким
образом,
для
того
чтобы
состояние
равновесия
нелинейной
автомати-
ческой
системы
с
устойчивой
линейной
частью
и
характе-
ристикой
нелинейного
элемента
Ф(х),
принадлежащей
сектору
[0,
ko],
было
бы
абсолютно
устойчивым,
доста-
точно,
чтобы
выполнялось
условие
t
e
о
о
+
[qw
(0)
+
-^тт]«(в
-
т)}
Ф
(*
с
(в))
ф
(*
с
00)
(17.35)
всех
t
^ 0,
сколь
угодно
малом
е>0
«
некотором
Хотя вывод условия абсолютной устойчивости состояния рав-
новесия
проведен для
q
^
0
и однозначных характеристик нели-
нейного
элемента, далее после вывода частотных неравенств бу-
дет
показано,
что эти неравенства справедливы
и
для
q
<
0,
а
при
надлежащем выборе знака
q
также
и
для
гистерезисных
(неоднозначных) нелинейных характеристик.
Обратимся к установлению условия абсолютной устойчивости
вынужденных процессов
x
B
(t)
В этом случае уравнение свобод-
ного процесса (17.2) следует заменить уравнением (17.6). При
этом условие принадлежности сектору
(0,
ko)
(17.11) заме-
нится
на
¥(0,0
=
0,
0<-^§^-<й
0
.
(17.36)
Поскольку
W(x
c
(t),t)
зависит еще и от
t,
что соответствует не-
кой
нестационарной характеристике нелинейного элемента,
то
используемое при выводе преобразование (17.25) и третье усло-
вие положительности
в
(17.28) не имеют места, Значит, общее
условие абсолютной устойчивости вида (17.35)
в
этом случае
несправедливо. Но если положить
q
— 0, то необходимость в пре-
образовании (17.25)
отпадает.
Поэтому, полагая
в
условии
(17.35)
q =
0 и заменяя
в
нем
Ф(х
с
)
на
%(х
с
(/),
/), мы получим
условие
абсолютной
устойчивости
вынужденных
процессов.
§
17.3] ЧАСТОТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 269
Для
юго
чтобы
вынужденные
процессы
x
B
(t)
в
нелинейной
автоматической
системе
с
устойчивой
линейной
частью
и
преобразованной
нелинейной
характеристикой
W(x
c
(t),t),
принадлежащей
углу (О,
&
0
),
были
бы
абсолютно
устойчи-
выми,
достаточно,
чтобы
выполнялось
условие
t
о
(17.37)
при всех
i^O
и
сколь
угодно
малом
г > 0.
Это условие
абсолютной
устойчивости
вынужденных
процес-
сов можно также назвать
условием
абсолютной
устойчивости
не-
линейных
автоматических
систем.
Непосредственное применение
условий абсолютной устойчивости (17.35) и (17.37) для иссле-
дования
устойчивости конкретных систем невозможно, так как, с
одной
стороны, они зависят от неизвестных свободных процессов
х
с
(t),
а с другой стороны, они представляют собой бесконечное
множество неравенств. Поэтому дальнейшая задача состоит в
установлении на основе этих условий абсолютной устойчивости
частотных неравенств, которые были бы эффективно проверяе-
мы
и которые можно было бы использовать для формулировки
критериев устойчивости.
§
17.3. Частотные неравенства
Запишем
для краткости левую часть условий абсолютной
устойчивости состояния равновесия (17.35) в такой форме:
t
в
Г
(/)
=
\
J
s (9 -
т)
у (9) у (т)
m
dx,
(17.38)
о о
где
обозначено
8(0
=
w
(0 +
~^~
Щ+q
№
(0
+
по
(0)
6 (0],
(17.39)
у(1)
=
Ф(хЦ0).
(17.40)
Поскольку
временная характеристика линейной части и ее
производная
удовлетворяют условию
w{t)
=
w(t)
=
0
при
/<0,
(17.41)
то
и
s(0
в
0 при
t<0.
(17.42)
270 УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ.
17
Принимая
во
внимание,
что
t
ь
t t
\
\s{B-x)y{B)y(x)dBdx=\
\s{x-B)y(x)y(B)dBdx,
(17.43)
0
0 0 0
преобразуем
Г
(/)
к
виду
t
t
Г
(t)
=
\
J J
[s
(9
-
т)
+
s
(x
-
9)]
у
(6)
у
(т) dx
dd.
(17.44)
0
0
Обозначая
получим
Г(/)
=
J
<
\
j
s(B-x)y(B)y(x)dBdx.
(17.46)
о
о
В отличие
от
односторонней функции
s(t)
y
существующей
лишь
при
t
^
0,
функция
s(t),
как
видно
из
(17.45), двусторон-
няя:
она
существует
как при
положительных
t,
так и
при
отри-
цательных
t.
Спектральная функция
5
(со)
и
соответствующая
ей
функция
времени
s(t)
связаны между собой преобразованием
Фурье:
§(©)=
J
$(f)e-i»*dt
9
(17.47)
(17.48)
Заменяя
в
i(^)
(17.48)
аргумент /
на
9
—
т и
подставляя
£
—
т)
в
(17.46), получим после очевидных преобразований
Г
(t)
=
•—
(со)
( ' '
V
(т)
d9
dx
| rfa,
(17.49)
или
day.
(17.50)
Условие абсолютной устойчивости состояния равновесия
не-
линейной
системы
(17.35)
на
основании
(17.50)
запишется
в
виде
S(&)
(17.51)
§
17.3]
ЧАСТОТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
271
Это условие
будет
выполнено при любых
/^0,
если при всех со
S(co)>0.
(17.52)
Найдем явное выражение
5(со).
Полагая
в
(17.45)
/
=
0, получим
S(Q)=:^[s{Q)-s{-e)]
и,
значит, согласно (17.47)
оо
§
(со)
=
~
\[s
(9)
+ s (-
6)]
e~i«*
dQ,
(17.53)
—
оо
или
5(со)
=
—-1
\
5
(9)^~
/<о9
d9-f-
\s(
9)£~
/
со9
<i9
I,
(17.54)
L
0
-oo
J
Производя
во
втором интеграле замену
9 на
—
9,
получим,
что
оо
S
(/со)
=
(
s
(9)
е~№
d%
(17.55)
представляет собой спектральную функцию, соответствующую
односторонней функции
s{t).
Следовательно,
S
(со)
=
1
[S (/со)
+ S
(-
/©)]
=
Re
S
(/со). (17.56)
То есть S(co) равна вещественной части спектральной функции
5(/ш).
Таким образом, условие (17.52) записывается
в
виде
не-
равенства
ReS(/co)>0.
(17.57)
Но
из
(17.39)
и
(17.55) следует,
что
оо
S (/со)
=
^
[ш
(0
+
j~-
в
(0
+
<7
(«*>
(0
+
ш
(0) б
(*))]
е-/»'
Л
=
о
i
W'
(17
-
58)
Следовательно, неравенство (17.57) запишется
в
виде частот-
ного неравенства
Re (1
+
<?/со)
W (/со)
+
-£-L_-
>
о.
(17.59)