Цыпкин Я.З Основы теории автоматических систем

Подождите немного. Документ загружается.

Б.

НЕЛИНЕЙНЫЕ

СИСТЕМЫ

Глава

УРАВНЕНИЯ

ХАРАКТЕРИСТИКИ

НЕЛИНЕЙНЫХ

СИСТЕМ

15.1. Понятие о нелинейных системах

Линейные

автоматические системы, свойства и особенности

которых излагались в

предыдущих

главах,

являются, как пра-

вило,

идеализированными моделями реальных автоматических

систем. Поэтому теория линейных систем часто представляет со-

бой лишь первый этап исследования реальных автоматических

систем. При рассмотрении реальных систем мы неизбежно сталки-

ваемся с необходимостью

учета

всякого рода не

линейно

ст

ей,

как

присущих системе вследствие ограниченных энергетических ре-

сурсов, погрешностей в изготовлении отдельных элементов, так

преднамеренно вводимых с целью улучшения динамических

свойств системы в целом. Все эти нелинейности можно подраз-

делить на несущественные, которыми при определенных условиях

можно пренебречь, и существенные, пренебрежение которыми не-

возможно без искажений качественных явлений и свойств.

Важная особенность нелинейностей состоит в том, что для

элементов, содержащих нелинейности, принцип суперпозиции,

которым мы так широко ранее пользовались, несправедлив. Это

обстоятельство ограничивает возможности применения основного

математического аппарата теории линейных систем — преобра-

зований

Лапласа и Фурье.

Нелинейные

системы значительно разнообразнее и сложнее,

чем линейные, и, естественно, они

содержат

себе

линейные

системы как частный, довольно узкий подкласс. Образно выра-

жаясь, линейные системы — это небольшой островок в безбреж-

ном

океане нелинейных систем. При изучении нелинейных авто-

матических систем мы сталкиваемся с новыми явлениями, кото-

рые не наблюдались в линейных системах. Выяснение этих

явлений,

использование их для улучшения свойств нелинейных

систем, установление характерных особенностей нелинейных си-

стем и составляет предмет теории нелинейных систем.

БЛОК

CXFMA И ГРАФ

НЕЛИНЕЙНОЙ

CHCTFMbI

233

Излагаемая в этом разделе теория нелинейных систем суще-

ственно использует основные понятия и методы теории линейных

систем и линеаризацию нелинейных элементов.

15.2. Блок-схема

граф нелинейной системы

Рассмотрим нелинейную систему автоматического регулиро-

вания,

содержащую один нелинейный элемент. Блок-схема такой

fit)

нз

У(Р)

lit)

Рис

15 1

Рис

15.2.

системы изображена на рис. 15.1. Ее можно представить в виде

соединения нелинейного элемента НЭ и линейной части ЛЧ.

б)

ЩФ)Щ(Р)

В)

Рис.

15.3.

Внешние воздействия приведены ко

входу

нелинейного элемента.

Граф,

соответствующий этой блок-схеме, приведен на рис. 15.2.

Утолщенная ветвь на графе соответствует нелинейному элемен-

ту. К подобной простейшей блок-схеме

могут

быть приведены

234

УРАВНЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 15

Пр!

Щ(р)

Wz(P)

Ft))-

Щ1Р]ШР)

.. т

Ццо

1*W

(p)W

(P)

WP)

/Щ(рЩ(р)

ГФ)

lip)

г)

Рис.

{54-

15.3]

НЕЛИНЕЙНЫЕ

ЭЛЕМЕНТЫ

И ИХ

ХАРАКТЕРИСТИКИ

235

блок-схемы любых замкнутых систем, содержащих один нели-

нейный

элемент. Действительно, рассмотрим нелинейную систе-

му автоматического регулирования, блок-схема которой пред-

ставлена

на

рис. 15.3, а. После преобразования блок-схемы на

основе правил алгебры передаточных функций (гл. 5) получим

простейшие блок-схемы на рис.

15.3,6,

в.

Более сложная блок-схема неодноконтурной системы, изобра-

женная

на рис. 15.4, а, приводится к простейшей (рис. 15.4, г)

путем переноса первого

узла

вправо и преобразования выход-

ного соединения с обратной связью к одному элементу

(рис.

15.4,6),

выноса элементов внутренних обратных связей за

пределы замкнутого контура (рис. 15.4, в), объединения парал-

лельно соединенных элементов в цепях внутренней и основной

обратных связей и выноса элемента общей обратной связи за

пределы контура (рис. 15.4, г). На

входе

выходе

этой преобра-

зованной

блок-схемы присутствуют две дополнительные линей-

ные

части. Однако эти линейные части не влияют на устойчи-

вость основного контура, включающего нелинейный элемент, т. е.

на

устойчивость простейшей блок-схемы. Результаты исследова-

ния

простейшей блок-схемы легко использовать для исследова-

ния

процессов в дополнительных линейных частях, а значит, и в

исходной блок-схеме. Отметим, что первая дополнительная часть

изменяет лишь внешнее воздействие простейшей блок-схемы,

тогда

как вторая дополнительная линейная часть изменяет ее

выходную

величину.

Таким

образом,

любую

автоматическую

систему,

содержащую

один

нели-

нейный

элемент,

можно

привести

простейшей

блок-схе-

ме. Эта

блок-схема

состоит

из

нелинейного

элемента

и ли-

нейной

части,

включающей

себя

линейные

элементы

исходной

системы.

15.3.

Типовые

нелинейные

элементы

и их

характеристики

Нелинейные

элементы в автоматических системах

могут

быть

подразделены на две группы: 1)

неизбежно

присутствующие

системах, или

естественные,

преднамеренно

вводимые

в си-

стему для придания ей нужных свойств, или

искусственные.

первой группе относятся нелинейные элементы, обладаю-

щие

насыщением, зоной нечувствительности, гистерезисом. Ха-

рактеристика типа насыщения изображена на рис. 15.5. Такой

характеристикой обладают разнообразные усилители. При ма-

лых значениях входных сигналов х выходная величина у пропор-

циональна

х. При больших значениях входных сигналов х из-за

ограничений

мощности источников энергии, питающих усилители,

эта

пропорциональность нарушается. Характеристика типа зоны

236

УРАВНЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

[Г

1§

нечувствительности изображена на рис. 15.6. Она также при-

суща многим усилителям, не реагирующим на слишком малые

значения

входных сигналов. Наглядной механической моделью

зоны

нечувствительности может служить механическое сочлене-

ние,

состоящее из входной оси с пальцем и выходной оси с вил-

кой,

удерживаемой в вертикальном положении пружиной

Рис.

15.5.

Рис.

15.6.

(рис.

15.7). При повороте входной оси на

угол

ср

выходная ось

остается неподвижной до тех пор, пока палец не придет в сопри-

косновение

с вилкой. При дальнейшем увеличении

угла

выход-

ная

ось

будет

поворачиваться одновременно с входной осью.

При

повороте входной оси в обратную сторону из-за наличия

Рис.

15.7.

Рис.

15.8.

пружины выходная ось

будет

следить за движением входной оси

до тех пор, пока вилка не займет вертикальное положение. Ха-

рактеристика типа гистерезиса приведена на рис. 15.8. Механи-

ческая модель гистерезиса (рис. 15.9) отличается от модели

зоны

нечувствительности отсутствием пружины и тем, что те-

перь выходная ось вращается с трением. Движение до зацепле-

ния

пальца и вилки аналогично описанному выше. При повороте

же входной оси в обратную сторону выходная ось теперь из-за

15 3]

НЕЛИНЕЙНЫЕ

ЭЛЕМЕНТЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

237

наличия трения

будет

неподвижна до тех пор, пока палец не

придет снова в соприкосновение с вилкой. При наличии

всех

этих нелинейностей получается

более сложная характеристика,

например,

изображенная на

рис.

15.10.

Характеристики на рис. 15.5,

15.6 однозначны. В этом

случае

выходная величина нелинейного

элемента зависит только от зна-

Рис

15.9.

чений входного сигнала х и урав-

нение

нелинейного элемента может быть представлено в виде

Ф(х).

(15.1)

Характеристики на рис. 15.8, 15.9 неоднозначны. В этом

случае

выходная величина нелинейного элемента зависит не только

ог

Рис.

15.10.

значений входного сигнала x(t) в данный момент времени t, но

от предшествующего этому моменту времени характера его

изменения.

Поэтому, строго говоря, уравнение нелинейного эле-

мента с неоднозначной характеристикой представляет собой не

Рис.

15.11.

Рис.

15 12.

функцию,

функционал,

т. е.

функцию

от

функции, который

устанавливает соответствие

между

значениями выходной вели-

чины

y(t)

момент времени

t и

входного сигнала

x(t),

опреде-

ленным

интервале

от 0 до t.

Уравнение нелинейного элемента

238

УРАВНЕНИЯ

ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

[ТЛ

с неоднозначной характеристикой, строго говоря, нужно записы-

вать

виде

у(*)

Ф(*ЮК)

(15-2)

или

Ot(x(t)).

(15.3)

Ко

второй группе нелинейностей относятся различного рода

релейные характеристики,

также дополнительные нелинейно-

сти,

включаемые

системы

для той или

иной цели.

К ним

отно-

сятся

характеристики релейного типа: идеальная характеристика

Рис.

15.13.

реле

(рис.

15.11),

характеристика реле

зоной нечувствительно-

сти

(рис.

15.12),

гистерезисом

положительным

или

отрицатель-

ным

(рис.

15.13,

а, б),

характеристика реле

зоной нечувстви-

тельности

и с

гистерезисом

(рис.

15.14). Часто

качестве

Рис.

15.14.

нелинейных

внутренних связей используются нелинейные

эле-

менты

параболическими характеристиками, подобные

изобра-

женным

на рис.

15.15,

15.16.

Т5.41

ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

239

Характеристики нелинейных элементов обычно задаются

графической форме. Аппроксимация

их

теми

или

иными

аналитическими формулами приводит

соответствующим

Рис.

15.15.

Рис.

15.16.

аналитическим, формульным выражениям. Часто используется

кусочно-линейная

или

полиномиальная аппроксимация.

15.4.

Линеаризация

нелинейных элементов

Под линеаризацией нелинейного элемента подразумевается

замена

его

нелинейной характеристики линеаризованной.

При

этом нелинейный элемент

Ф{х)

(15.4)

описывается линеаризованным уравнением

£ =

#.>(.)^

(15.5)

где

(#)

(')—коэффициент

линеаризации.

Аргумент

коэффициента

линеаризации зависит

от

вида линеаризации. Будем разли-

чать четыре вида линеаризации: статическую, дифференциаль-

ную, гармоническую

стохастическую.

Все эти

виды

ли-

неаризации

мы

будем

широко использовать

при

изучении

раз-

личных режимов работы нелинейных систем.

Коэффициент

статической

линеаризации

k^(x)

определяется

отношением выходной величины нелинейного элемента

у***Ф(х)

входной величине,

т. е.

°I*L

(15.6)

Уравнение статически линеаризованного элемента

(15,7)

240 УРАВНЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 15

представляет собой лишь иную форму записи уравнения нели-

нейного элемента. Если же фиксировать в (15.6) значение

(с)

const, то уравнение статически линеаризованного элехмента

можно рассматривать как линейную аппроксимацию (15.4).

Коэффициент

дифференциальной

линеаризации

k№(x)

опре-

деляется производной выходной величины нелинейного элемента

у = Ф(х) по входной величине:

i^L.

(15.8)

Уравнение дифференциально линеаризованного элемента

(15.9)

отличается от уравнения нелинейного элемента (15.4) как при

нефиксированном,

так и при фиксированном значении х в

k№(x).

Уравнение (15.9) можно рассматривать как линейную аппрокси-

мацию (15.4) при малых изменениях входной величины относи-

тельно некоторого значения аргумента.

Предположим теперь, что x(t) изменяется по гармоническому

закону:

sin©/. (15.10)

Тогда

(15.11)

будет

периодической функцией времени.

Коэффициенты

гармонической

линеаризации

kj\

опреде-

лим из условия наилучшего квадратического приближения y(t)

(15.11)

гармонически изменяющейся величиной

(/) =

A{kf

sin

со/ +

cos со/],

(15.12)

т. е. из условия

[y(t)-p(t)]

d<i>t->

min , (15.13)

Г)

или, в раскрытой форме,

2л

{Ф

sin

a>t)-A[k

(

]

sin

(ot

{

cos

at'JYdat-^

min.

(15.14)

15.41

ЛИНЕАРИЗАЦИЯ

НЕЛИНЕЙНЫХ

ЭЛЕМЕНТОВ 241

Дифференцируя левую часть

(15.14)

по

{

и приравнивая

результат нулю, получим

2п

[

{Ф (Л sin со/)

—

[kT

sin

©/

cos 0/]} sin

disA

= 0,

(15.15)

[

(ф

(Л sin 0/) — A

{

]

sin

со/

{

}

cos 0/]} cos 0/

йЫ

= 0.

Отсюда, учитывая, что

2я 2я 2я

sin

cos

d®t

= 0,

sin

0/d0/=\

cos

йЫ

я,

(15.16)

0 0

найдем искомые коэффициенты гармонической линеаризации:

2я

{

(

(Л)

-L

(Л sin 0/) sin 0/

disA,

(15.17)

г)

(Л) =

-jl-

Ф (Л sin 0/) cos

do/.

Величину y(t)

(15.12)

можно еще записать в эквивалентной

форме:

д (t) =

А№

(Л) sin (со/

(Л)),

(15.18)

где

^f,

(15.19)

или,

используя комплексную форму записи

x(t) =

окончательно получаем

g(t) =

kM{A)Z(t),

(15.20)

где

{т)

(Л)

{

]

(А)

jkT

(Л)

{T)

(A)e~

(15.21)

Таким образом, гармонический коэффициент линеаризации

(15.21)

представляет собой комплексную функцию амплитуды

гармонического воздействия Л. Для однозначных нелинейностей

2л

(A) =

{A sin

Ш)

cos

art

da>t

= 0

(15.22)