Цыпкин Я.З Основы теории автоматических систем

Подождите немного. Документ загружается.

202 ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ

[ГЛ. 13

При

этом / (13.29) достигает наименьшего значения

»«--

&Г

-s~W+s^T

d(i>

)

--ОО

Подставляя значения

/(со)

(co)

в (13.30), получаем выра-

жение оптимальной частотной характеристики замкнутой си-

стемы:

об

(/со)

полу-

опт

(/<*)

f(/co)

|f(/ffl)|2 + r

WMM

Умножая числитель и знаменатель (13.32) на

чаем

Лопт

(/Сш

===

Т"7^

7~-—ГТ?—i—Г5"

•

(13.33)

uni VJ 7

и/

(/со)

Я^

После подстановки значений

^(со)

эм

(со)

(13.31) находим

минимальное значение функционала:

с©

F (/со)

Таким

образом,

оптимальная

частотная

характеристика замкнутой

систе-

мы

определяется

частотной

характеристикой

объекта

^об(/со)

весовым

множителем

Показатель качества

зависит,

естественно,

также от

спектральной

плотности

энергии

возмущающего

воздействия.

При

= 0 из (13.33) и (13.34) следует:

= О,

что соответствует идеальной системе.

Пример.

Пусть частотная характеристика равна

(/СО)

/соГ,

•

Тогда согласно (13.33) оптимальная частотная характеристика замкнутой си-

стемы

будет

иметь вид

Копт

(/СО)

1 +

Fi/co

РЕАЛИЗУЕМЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

203

или

! 1 1

Копт

(/©)

)

T\<s>

д/l+Я

ЯГ

/со

л/1

+Я

-ЯГ

/со

(13.35)

Вводя обозначения эквивалентных коэффициента усиления и постоянной

вре-

мени

^=—

—j~

запишем

(13,35)

такой

форме:

ту

1 +

Ту©

1 -

TJa

или,

после разложения дроби на простейшие,

Если

заменить в

(13.36)

/со на

р,

^то

получим выражение для оптимальной

передаточной функции:

Но

оптимальная передаточная функция такого вида не может соответствовать

никакой

физически реализуемой системе. Это связано с тем, что импульсная

характеристика,

соответствующая

передаточной функции

(13.37),

равна (см.

приложение

k(t):

(13.38)

Отсюда видно, что импульсная характеристика

k(t)

(13.38)

не удовлетворяет

условию физической реализуемости k(t)

при t < 0. Возникает задача оп-

ределения такой оптимальной частотной характеристики /((/со) и соответ-

ствующей передаточной функции

К(р)>

которые удовлетворяли бы условию

физической

реализуемости.

13.5. Реализуемые оптимальные характеристики

Условие

физической

реализуемости

состоит

в требовании

ра-

венства

нулю импульсной характеристики системы при t

Но

это может иметь место, как видно из примера § 13.4, лишь

тогда,

когда соответствующая передаточная функция

К(р)

имеет все левые полюсы и, значит, все верхние полюсы частот-

ной

характеристики

/С(/со).

Для определения оптимальной

pea*

изуемой

частотной характеристики представим

((o)

(13.28)

виде

(со)

-1

(/со)

/со),

(13.39)

204

ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ 13

где функции

^(/со)

имеют все нули и полюсы в верхней полу-

плоскости (верхние нули и полюсы), a

F(—/со)

имеют все нули

полюсы в нижней полуплоскости (нижние нули и полюсы). Та-

кая

операция называется

факторизацией.

Подставляя

(co)

из

(13.39)

в выражение для

Л(со),

получим

(со);

{a>)

(- /со)

(со)

Разобьем теперь

-^,__

на две части:

•

{

sf(<»)

/СО)

/со)

(13,40)

(13.41)

одна из которых, обозначенная символом

{•}+,

имеет только

верхние полюсы, а другая, обозначенная символом

{•}-",

имеет

только нижние полюсы. Эта операция, связанная с разложением

на

простейшие дроби и соответствующей группировкой слагае-

мых, называется

расщеплением.

Подставляя

(13.41)

в (13.40),

получаем

Л(со)

(G>).

(13.42)

Для определения оптимальной устойчивой частотной характери-

стики

приравняем нулю алгебраическую сумму (первых

двух)

реализуемых слагаемых в (13.42). Тогда получим

(13-43)

При

этом

Л(со)

достигает минимального в этих условиях значе-

ния,

но уже отличного от нуля:

(ш).

(13.44)

Соответственно функционал

(13.29)

достигает своего

минималь-

ного значения, равного

S-*((b)

S..

((

Сопоставляя

(13.45)

(13.34),

заключаем, что

13 5] РЕАЛИЗУЕМЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 205

Поскольку

(о)

после подстановки значений

^(со),

(co)

равно

(со)

^Цу

(IW

об

(/со)

то для устойчивого, минимально-фазового объекта и типового

задающего воздействия

(/со)

(/©)

]

(

/(о) =

тёт^м

[

(/со) р

я2]

значит, оптимальная реализуемая частотная характеристика

замкнутой системы

(13.43)

будет

равна

F (/С0)

Wo6

(

°"

/Ш)

(13.46)

Определив оптимальную реализуемую частотную характеристику

замкнутой системы, можно по ней для заданной частотной ха-

рактеристики

управляемого объекта

(/со) найти частотную

характеристику управляющего устройства

№

(/со).

Для этого

воспользуемся известным соотношением

~T+~W

(/ю)

об

(/со)

•

Разрешая

его относительно

(j<o),

получим при

(/со) =

Ко

(/<*>)

опт

(/<*>)

- ~^-—

у^

пт

(/С

°!—.

(

)

где

/Сопт(/со)

определяется выражением (13.46).

Пример.

Пусть

об

(/со)

j~^~,

(/со)

-у-™-^-.

Составляем выражение

+ Л + Л

}С0

Произведем факторизацию:

. /• \

121

— ^^

"Т"

XTj/co

/со

0 ±

Tj/to

Г|/со

где

определяются,

как и

ранее. Подставляя

эти

значения,

также

^об

(/со) и

(/со) в

(13.46),

получим

/G>

Гэ/со)

Гэ/(0

)

•

206

ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ

[ТЛ

Произведем расщепление. Пусть

(l+/co)(l-r

/0)

1+/C0 '

1-Г

Очевидно

1(1+

/со) (1 -

ТУ»)

1 +

/ш

а из

(13.48)

имеем, что

(13.48)

1+7V

Следовательно,

(/co)

°п

т1У

M1+7V®)

(1+Г

)(1+/С0)

1+Г

Подставляя

/С£

пт

(/со) и

(/со) в

(13.47)

находим частотную

характеристику

управляющего устройства:

и^у,

опт

(/0))

или

Эта частотная характеристика управляющего устройства может быть физи-

чески реализована

Для более полного анализа реализуемости оптимальной ча-

стотной характеристики рассмотрим соотношение

ид®)

(/со)

F (/со)

Гоб

(/со) •

Если

частотная характеристика управляемого объекта обладает

индексом

неминимально-фазовости, отличным от нуля, и содер-

жит, например, элементы запаздывания, т.е.

об

(/со)

е-**",

(13.49)

то

U (/со)

/С

(/со)

lmt

(/со)

Го,

(/со)

и,

значит, частотная характеристика должна обладать ненуле-

вым индексом неустойчивости и содержать упреждающие звенья.

Такая

система физически нереализуема. Для преодоления этих

трудностей необходимо наложить дополнительные ограничения

на

искомую передаточную функцию, включив в них, например,

требование, чтобы она в качестве множителя содержала (13.49),

т. е. нужно потребовать, чтобы она имела вид

ЗАДАЧИ

207

Тогда

Таким образом,

частотная

характеристика замкнутой систечы

/((/со)

мо-

жет

быть

физически

реализована,

если она содержит в ка-

честве множителя частотную характеристику неизменной

части системы

1^(/)

Более подробно вопрос о реализации частотной характери-

стики замкнутой системы

будет

рассмотрен в гл. 14.

Задачи

13.1.

Показать,

что для

системы

на рис. 13.9 при

о,

интегральная квадратическая ошибка равна

13.2. Показать

что,

вводя коэффициент демпфирования

• —^

-~-J

системы

(рис.

13.9),

можно квадрати-

ческую

ошибку представить

виде

к,

z(t)

ftp)

Убедиться

том,

что

минимум

дости*

Рис 13.9

гается

при

= — н

равен

min

/ = —.

(Оо

13.3. Показать,

что при

произвольном задающем воздействии

(t)

пере-

даточная функция

Д'

(р) оптимальной системы

при

которой достигается

ми-

нимум квадратичного критерия

(/)

(/)]2

rf/

с?Л

равна

(р)

-1.

СИСТЕМЫ

ПРИ

СЛУЧАЙНЫХ

ВОЗДЕЙСТВИЯХ

14.1. Основные понятия

До сих пор предполагалось, что все воздействия, приложен-

ные

к системе, детерминированные. На практике мы часто стал-

киваемся

с такими воздействиями, которые носят случайный, не

предсказуемый точно, характер. Такими воздействиями являются

изменения

нагрузок энергосистем, зависящие от потребления

энергии

и поэтому носящие случайный характер. Порывы ветра,

действующие на самолет, управляемый автопилотом, также

имеют случайный характер. В высококачественных системах ре-

гулирования и следящих системах, содержащих усилители с

большим коэффициентом

усиления,

на протекающие процессы

существенное влияние

могут

оказывать флуктуационные шумы

усилителя. В радиолокационных следящих системах задающее

воздействие также носит случайный характер, вызванный как

случайностью полезного сигнала, так и наличием мешающей со-

ставляющей. В экономических системах случайная составляю-

щая

вызывается, например, непредсказуемым спросом. При на-

личии

случайных воздействий состояние системы в какой-либо

момент времени обуславливает лишь определенную вероятность

наступления возможного состояния ее в последующие моменты

времени.

Возмущения, описанные выше, называются

случай-

ными

возмущениями.

Принципиально

можно применить для исследования систем

при

наличии случайных возмущений оценки отклонения регули-

руемой величины от заданного значения в наихудшем случае,

т. е. для случая возмущения, произвольно ограниченного по мо-

дулю.

Однако, ведя расчет на максимальное значение случайного

возмущения, вероятность появления которого, вообще говоря, не-

велика, мы

будем

предъявлять заведомо более жесткие требова-

ния

к системе, чем это вызвано

сутью

дела. Поэтому к значи-

тельно лучшим и технически более приемлемым результатам

приводят методы, характеризующие усредненное поведение си-

стемы при наличии случайных возмущений, т. е. методы, которые

учитывают статистическую природу возмущений.

§14.1]

ОСНОВНЫЕ

ПОНЯТИЯ

209

Случайным

процессом

называется процесс, который может

принимать

тот или иной конкретный вид, заранее не предсказуе-

мый.

Этот конкретный вид процесса представляет собой реали-

зацию случайного процесса. Для простоты

будем

обозначать как

случайный процесс, так и реализацию его одной и той же бук-

вой,

например x(t). Вероятность того, что функции x(t) прини-

мают в некоторый фиксированный момент времени

значения,

лежащие в интервале

(х,

-f-

dx),

зависит от значения

х,

выбран-

ного момента

и пропорциональна

т.е. она равна

{

(х,

)dx.

Вероятность того, что функции x(t) в момент

принимают зна-

чения,

лежащие в интервале

(х

X\-\~dx\)

а в момент

— зна-

чения,

лежащие в интервале

(х

~\-dx

зависит от значений

моментов

и пропорциональна

т. е. она равна

Рг(*ь

)dx

Функции

p\{xji),

)

представляют собой одномер-

ную и

двумерную

плотности распределения случайного процесса

x(t).

Аналогично можно определить и многомерные плотности

распределения случайного процесса высших порядков. Совокуп-

ности

плотностей распределения с возрастающей мерностью ха-

рактеризуют случайный процесс тем подробнее, чем больше со-

ответствующая мерность. Практически ограничиваются обычно

рассмотрением одномерных и

двумерных

плотностей распреде-

ления

либо иных характеристик случайных процессов, которые

тем или иным образом зависят от этих плотностей распреде-

ления.

Если

плотности распределения вероятностей не зависят от

выбора момента времени

т. е. инвариантны относительно на-

чала

отсчета

то случайный процесс называется

стационарным.

Стационарный

случайный процесс

обладает,

таким образом, тем

свойством, что его характеристики не зависят от выбора начала

отсчета

или момента наблюдения. Для стационарного случай-

ного процесса вероятность того, что значение х лежит в интер-

вале

(лг,

dx), равна

р,

{х)

dx,

вероятность того, что два значения х

лежат

в итервалах

(х

dxi)

(я

равна

р2

(

)

dxi

х =

—

будем

предполагать, что задающие и возмущающие

оздейсгвия

представляют собой стационарные случайные про-

Че.

В основном нас

будут

интересовать вынужденные или,

210

СИСТЕМЫ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ [ГЛ. Т4

точнее, установившиеся процессы, вызываемые стационарными

случайными воздействиями. Ясно, что эти установившиеся, ста-

ционарные

процессы также являются случайными процессами,

но,

вообще говоря, с иными статистическими характеристиками.

14.2. Характеристики случайных процессов

важным характеристикам стационарных случайных процес-

сов,

которые далее

будут

использоваться, относятся

математиче-

ские

ожидания,

корреляционные

функции

спектральные

плот-

ности.

Математическое

ожидание

случайного

процесса

оо

Т(0

xpi

(x) dx

определяет среднее значение

случайного

процесса и геометриче-

ски

соответствует центру тяжести плотности распределения

Математическое

ожидание

квадрата

случайного

процесса

оо

(/)—

{

(х)

определяет среднее значение квадрата

случайного

процесса и

геометрически соответствует моменту инерции плотности распре-

деления относительно начала координат.

Дисперсия

случайного

процесса

оо

Щ-1Щу

(х -

(х)

— оо

характеризует меру рассеивания значений случайного процесса

относительно его среднего значения и геометрически соответ-

ствует

моменту инерции относительно центра тяжести. Раскры-

вая

под знаком интеграла квадрат разности, получим

Дисперсия

случайного процесса равна разности среднего значе-

ния

квадрата процесса и квадрата среднего значения процесса.

Корень

квадратный из дисперсии определяет

среднеквадратиче-

ское отклонение

так что

2] ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

211

Корреляционная

функция

x)p

(x(t),

x(t +

x),

t + x)dx(t)dx(t

представляет собой среднее значение произведения случайных

процессов x(t) и

x(t-\-x).

Корреляционная функция случайного

процесса характеризует степень зависимости, корреляции

между

значениями

процесса, отстоящими

друг

от

друга

на время т.

Определения математического ожидания случайного процес-

са и его квадрата, а также дисперсии и корреляционной функ-

ции

основаны на усреднении по множеству реализаций случай-

ных процессов, которые характеризуются одномерной и двумер-

ной

плотностями распределения. Наряду с усреднением по

множеству возможно усреднение по времени. Пользуясь

усред-

нением по времени, определим среднее значение случайного

процесса выражением

\ С

(/) = lim

-^jT

х (t) dt.

т->оо

Среднее значение квадрата случайного процесса

будет

равно

(/)

= lim

-о-г

(t)

dt»

Дисперсия найдется как

-Щ)

lim

(x(t)-J^))

Г->оо

ИЛИ

Наконец,

корреляционная функция

будет

определяться выра-

жением

x(t)x{t

+ x) = lim

4г

\x(t)x(t

+ x) dt.

Т->оо