Цыпкин Я.З Основы теории автоматических систем

Подождите немного. Документ загружается.

402

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

[ГЛ. 28

на

левее

W(j(o).

И следовательно, граничный коэффициент им-

пульсной системы меньше, чем граничный коэффициент непре-

рывной системы. Таким образом,

если

W(/co)

расположена

левой

полуплоскости,

то вве-

дение

простейшего

импульсного

элемента

непрерывную

систему

приводит

уменьшению

граничного

коэффициен-

та

усиления.

рассмотренных

выше

случаях

замена

не-

прерывной

системы

импульсной

приводит

понижению

запаса

устойчивости.

Рассмотрим в заключение тот случай, когда частотная харак-

теристика приведенной непрерывной части имеет существенный

модуль на частотах, расположен-

ных в правой полуплоскости. Таки-

ми

частотными характеристиками

Рис.

28.10.

Рис.

28.11.

обладают системы, содержащие элементы запаздывания, распре-

деленные параметры, резонансные контуры и т. п. В этом слу-

чае, выбирая надлежащим образом частоту повторения

со

строя

W*(jco)

W(j(d)

(рис.

28.11),

заключаем, что для частот,

близких к

согр,

частотная характеристика

№*(/оо)

располагается

правее

W(jco).

И значит, граничный коэффициент усиления им-

пульсной системы становится выше граничного коэффициента

непрерывной системы. Таким образом,

если

W(j(u)

на

высоких

частотах

имеет

существенную

часть,

расположенную

правой

полуплоскости,

введение

простейшего

импульсного

элемента

надлежащей

часто-

той

повторения

приводит

повышению

граничного

коэф-

фициента

усиления.

Иначе

говоря,

введение

импульсного

элемента

этом

случае

повышает

запас

устойчивости.

ЗАДАЧИ

403

Этот вывод объясняет наблюдаемое на практике явление ста-

билизации

непрерывных систем с запаздыванием при введении

прерывающих устройств.

Задачи

28.1.

Показать, что импульсная система (рис. 24.5), рассмотренная в за-

даче

25.2,

будет

устойчива при выполнении неравенств

0<k<2kJ

Начертить область устойчивости в плоскости

(kiT,k

28.2. Показать, что импульсная система, рассмотренная в задаче 25.3,

будет

устойчива при выполнении наиболее жесткого из неравенств

т1т

Начертить область устойчивости в плоскости

~f-\>

28.3. Показать, что если в импульсной системе, рассмотренной в зада-

че 28.2, имеется запаздывание т< Г, то

существует

такая область для пе-

риода повторения Т, внутри которой граничный коэффициент усиления им-

пульсной системы больше, чем граничный коэффициент усиления предельной

непрерывной

системы.

Глава

СВОБОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

ИМПУЛЬСНЫХ

АВТОМАТИЧЕСКИХ

СИСТЕМАХ

29.1. Мера быстродействия импульсных систем

Рассмотрим временную характеристику замкнутой

импульс-

ной

системы

Записывая

ее в виде

k(mT)

l)T

e№)

l)T

(29.1)

выбирая | так, чтобы выполнялось условие

Re(/?

£)<0,

v=l,

2, ...,

/г,

находим степень устойчивости системы

min|Rep

При

этом, так как для g ^

получаем из (29.1)

Величина |

определяет предельное быстродействие системы,

поэтому далее мы будем называть |

быстродействием,

При

Urn

k{mT)e^>

(29.2)

m-»oo

Поскольку

29.1]

МЕРА БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

405

то по теореме смещения дискретного преобразования Лапласа

(теорема 3 приложения 3)

{k{mT)

<&"*}

(p-h)-

Импульсную систему, передаточная функция которой равна

будем

называть

смещенной.

Из

(29.2)

следует,

что

импульсная

система

обладает

быстродействием,

не

мень-

шим

go,

если

соответствующая

смещенная

система

устой-

чива.

Таким

образом, исследование быстродействия импульсной си-

стемы сводится к исследованию устойчивости смещенной систе-

мы.

Для этой цели к характеристическому многочлену

G*(p—g

)

или

смещенной частотной характеристике разомкнутой системы

W*(/co

—

go)

нужно применить алгебраический или частотный

критерий

устойчивости.

Пример.

Для импульсной системы первого порядка

характеристический

многочлен равен

Смещенный

характеристический многочлен получается заменой р на р —

£:

Теперь

Пользуясь соответствующими неравенствами, находим

Из

первого неравенства получаем

гр

(|)

—

—р-—.

(29.3)

Из

второго неравенства получаем

При |

оо

из

(29.3)

(29.4)

находим

Ь\

гр

(°°)

гр

(°°)

_т

/г

==:

-"т7т\

Г*

406

СВОБОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМАХ

[ГЛ.

Таким

образом, импульсные системы первого порядка при конечных значе-

ниях

параметров непрерывной части могут обладать бесконечной степенью

устойчивости.

Зависимость

&irp(£)

&2г

(£)

от

-=—

при фиксированных

}

значениях

%Ti

изображена на рис. 29.1. Область значений

параметровk

-7=—,

*•

Ut)

'г,

Рис.

29.1.

заключенная

между

кривыми,

соответствующими фиксированным значениям

|о^ь

обеспечивает импульсной системе степень устойчивости, не меньшую

29.2. Определение временной характеристики

по дискретной передаточной

функции

Выражение временной характеристики

(29.1)

очень удобно

для качественных исследований устойчивости и нахождения сте-

пени

устойчивости. Однако определение k(mT) по формуле

(29.1)

требует

предварительного вычисления нулей характеристическо-

го многочлена

G*(p),

что представляет собой сложную задачу.

В отличие от непрерывных систем, в импульсных системах суще-

ствует

возможность определения временной характеристики не-

посредственно через коэффициенты передаточной функции. Для

этой

цели запишем передаточную функцию в виде отношения

многочленов:

К*(Р)

Н'

(р)

G*(p)

...

+ь

•ЯП

или, умножая обе части на

е~

рпТ

(29.5)

29.2]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕННОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

40?

Но

передаточная функция

временная характеристика связаны

друг

другом дискретным преобразованием Лапласа;

(p)

D{k

(mT)}

{mT)

е~?

тТ

(29.6)

m=0

Следовательно,

из

(29.5)

(29.6) получаем

v=l

m=0

k{mT)e-?

(29.7)

е~

Освобождаясь

(29.7)

от

знаменателя, получим после элемен-

тарных преобразований

Приравнивая

коэффициенты

при

одинаковых степенях

рТ

по-

лучим

(пТ)

а^

[(/г

Т]

+ ... +

(Г),

при

гп>

k(mT)

k[(tn-l)T]+

...

[k(m-n)T].

Отсюда находим рекуррентное соотношение

для

значений

вре-

менной

характеристики:

m~\

-s)T]\,

)

{mT)

-1-\ь

-У

[(т

-s)T]\

(29.8)

причем

= 0 при т> п. Это

соотношение позволяет вычис-

лить

k(mt) по

коэффициентам передаточной функции

К*(р)

предшествующим значениям временной характеристики

k(s)

s ^

т — 1.

408

СВОБОДНЫЕ

ПРОЦЕССЫ

ИМПУЛЬСНЫХ

СИСТЕМАХ

[ГЛ. 29

29,3.

Процессы конечной длительности

В общем случае, как следует из описанного выше определе-

ния

временной характеристики, процесс в устойчивой импульс-

ной

системе протекает неограниченно долго. Однако, в отличие

от непрерывных систем, возможны такие условия, при которых

процесс длится конечное время, т. е. условия, при которых, начи-

ная

с некоторого момента времени, временная характеристика

тождественно равна нулю:

k(mT)z==O,

m*^niQ.

(29.9)

В этом случае согласно (29.6) должно иметь место равенство

К*

(п)=

(mT)

p~P

(9Q

]0\

Из

(29.7) очевидно, что это может быть лишь тогда, когда дробь,

стоящая

в левой части равенства, превратится в многочлен. Но

это

может иметь место лишь тогда, когда знаменатель переда-

точной функции не

будет

зависеть от

е~~

рТ

т. е. тогда, когда

а\

==:

...

==:

(29.11)

Действительно, при выполнении условий

(29.11)

из (29.7) полу-

чаем при

учете

(29.10)

п—\

то

e-pvr

{mT)

e-?

/С

(р),

v=0

m==0

откуда следует, что

= п — 1

-^-,

/и

1, 2, ...,

л—I.

Таким

образом,

при

выполнении

условий

(29.11)

процесс

имеет

конечную

длительность,

равную

(п—

1)Г,

где

—

порядок

переда-

точной

функции К (р).

При

выполнении условия (29.10) характеристический много-

член G*(p) превращается в одночлен

При

замене р на

р—•£

получаем

29.4]

ПРОЦЕССЫ

ПРИ

ПРОИЗВОЛЬНЫХ

ВОЗДЕЙСТВИЯХ 409

откуда

следует,

что смещенная система

будет

устойчива при лю-

бом значении

£,

в том числе и при

= оо. Это значит, что

система

конечной

длительностью

процесса

обладает

бес»

[

конечной

степенью

устойчивости.

29.4.

Процессы при произвольных воздействиях

Если

к системе приложено произвольное воздействие

f(mT)>

то выходная величина определяется выражениями

-s)T),

m<n-\,

s=0

ИЛИ

(mT)

((m

Г)

(sT),

n -

(29.12)

s=o

Подставляя

(29.12)

значение

k(mT),

получим после преобразо-

ваний

m m

(mT)

psT

{mT).

(29.13)

V=l S=0

Это соотношение удобно для определения процесса, если извест-

ны

нули характеристического многочлена.

Рассмотрим

процессы для типовых воздействий при выпол-

нении

условий конечной длительности. В этом

случае

согласно

(29.11)

из

(29.12)

получим

n-l

5=0

В частности, при постоянном внешнем воздействии

Л,

т>0,

0, т < 0,

получаем

^k(sT),

т^п—1,

(29.14)

k(sT),

m>n—\.

410 СВОБОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМАХ

Сопоставляя

(29.14) с (29.10), получаем

[ГЛ. 29

Отсюда следует, что

системе

конечной

длительностью

переходный

процесс

при

постоянном

во

времени

воздействии также устанавли-

вается за п — 1

периодов

повторения

и его

установившееся

значение

пропорционально

значению

передаточной

функ-

ции при р = 0.

Задачи

29.1.

Показать, что в импульсной системе (рис. 29 2) невозможно подо-

брать параметры системы k и Т, при которых осуществлялась бы конечная

длительность процесса.

29.2. Показать, что в импульсной системе (рис. 24.5), рассмотренной

задаче 24.1, конечная длительность

—7

(

т)

процесса достигается при выборе

—"—

коэффициентов усиления равными

МШЖ;

л.

Рис.

29.2.

29.3. Найти процесс в импульсной системе (рис. 24.5) при выполнении

условий конечной длительности, если внешнее воздействие постоянно:

т<0,

линейно:

AmT, m

га

Глава

СИНТЕЗ

ИМПУЛЬСНЫХ

АВТОМАТИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

30.1.

Задача

синтеза

Задача

синтеза

импульсных систем сводится к

определению?

передаточной функции

(p)

или частотной характеристики

(j(d)

ЦВУ, при которых замкнутая импульсная система обла-

дала бы заранее заданными свойствами. Эти свойства не

могут

быть произвольными. Они должны быть согласованы с возмож-

ностями

замкнутых импульсных систем, которые зависят от

предъявляемых требований, например, в виде тех или иных кри-

териев оптимальности, и особенностей неизменной части им-

пульсной системы. Поэтому важно выяснить эти возможности

для последующего

учета

при синтезе замкнутых импульсных

систем.

Естественно, передаточная функция ЦВУ

(p) должна

быть прежде всего

осуществимой.

Это значит, что реакция ЦВУ

на

внешнее воздействие не должна предшествовать моменту

приложения

этого воздействия.

Кроме

того, синтезированная замкнутая система должна

быть

грубой.

Под грубой системой подразумевается система,

которой при малых отклонениях параметров элементов си-

стемы отклонения величин, характеризующих состояние си-

стемы, также малы. Наряду с основными требованиями

синтезируемой замкнутой системе, например оптималь-

ности

с точки зрения минимума того или иного критерия, часто

необходимо учитывать

дополнительные

требования:

конечную

длительность процесса, астатизм заданного порядка и т. п. Та-

ким

образом, задача синтеза замкнутой импульсной системы

сведется к определению передаточной функции

{p)

или ча-

стотной характеристики

{j(u)

ЦВУ, которая должна быть

осуществимой и при которой замкнутая система должна

быть,

грубой.