Чейз, Ричард, Б., Эквилайн, Николас, Дж., Якобе, Роберт, Ф. Производственный и операционный менеджмент

Подождите немного. Документ загружается.

Дополнение

главе

Управление

очередями

161

ми.

Ограниченная пропускная способность накладывает

отпечаток на управление очередями и одновременно вы-

зывает перераспределение входящего потока. Клиенты,

которым было отказано во вхождении в конкретную оче-

редь вследствие недостатка места,

могут

присоединиться к

данной генеральной совокупности позднее, а

могут

найти

другую

сервисную систему и выйти из генеральной сово-

купности рассматриваемой сервисной системы. И такие

действия клиентов приводят к совершенно разным ре-

зультатам.

В диснеевских тематических парках

Орландо, штат Флорида,

длинными очередями управляют

помощью веревочных

загра-

ждений.

Развешенные плакаты содержат информацию

о при-

близительном времени ожидания,

а по

телевизионным монито-

рам транслируются кино

клипы

для

ожидающих посетителей.

По мере продвижения вперед люди попадают

самые разные

условия проходят

под

несущимися железнодорожными вагона-

ми,

через таинственные пещеры

или

через залы,

де-

монстрирующие

лучшие старые фильмы.

http://www.disney.com

Количество

очереуеп

Очередь называется

однолинейной,

если сервисная сис-

тема работает с одной очередью, выстроенной в одну ли-

нию.

Многолинейные

очереди

состоят из

двух

или несколь-

ких однолинейных очередей, образующихся к

двум

или

нескольким каналам обслуживания. К ним относятся

также несколько однолинейных очередей, соединяющихся

определенной точке перераспределения в одну линию.

Особенностью многолинейных очередей на перегружен-

ных сервисных предприятиях является то, что они не по-

стоянны

и часто смещаются, например, если несколько

заявок

поступили через короткие интервалы, то одна оче-

редь может оказаться более длинной, чем другие, и кли-

енты переходят из нее в более короткие. То же самое

происходит, если очевидно, что на обслуживание клиен-

тов, стоящих в

других

очередях, требуется меньше

времени.

Длина очереди

Количество очередей

Бесконечная

Ограниченная пропускной

способностью

Одна

~\|

Несколько

Дисциплина

очереди

ДИСЦИПЛИНОЙ

очереди называют правило или набор

правил, определяющих приоритетный порядок обслужи-

вания

клиентов в очереди. Выбранные предприятием пра-

вила

могут

оказать весьма серьезное влияние на общую

производительность сервисной системы. От правил на-

значения

приоритета зависит количество клиентов в оче-

реди, среднее время ожидания, диапазон варьирования

длины очереди, продуктивность работы сервисного пред-

приятия

и многое

другое.

Наиболее распространенным правилом назначения

приоритета является правило

первым

прибыл,

первым

об-

служен

(First Come, First

Served

—

FCFS).

Согласно ему

клиенты в очереди обслуживаются в хронологическом по-

рядке прибытия, и никакие

другие

характеристики на по-

рядок обслуживания влияния не оказывают. Это правило

считается самым справедливым, однако на практике оно

зачастую приводит к дискриминации тех клиентов

(заявок),

время обслуживания которых намного короче

времени обслуживания

других

Другими примерами правил назначения приоритета

являются:

первоочередное

обслуживание

по

предваритель-

ным заказам,

первоочередное

обслуживание

случаях

край-

ней

необходимости,

первоочередное

обслуживание

наиболее

доходных

клиентов,

первоочередное

обслуживание

самых

больших

заказов,

первоочередное

обслуживание

постоянных

клиентов,

первоочередное

обслуживание

клиентов,

ожидав-

ших в

очереди

наибольшее

время,

обслуживание

по бли-

жайшей

обещанной

дате.

В реальных условиях

могут

при-

меняться сразу несколько приоритетов, выстраиваемых в

порядке значимости.

Дисциплина очереди

Первым прибыл,

первым

обслужен

Первоочередное обслуживание

клиентов о наименьшим

временем обслуживания

Первоочередное обслуживание

по

предварительным заказам

Первоочередное обслуживание

случае

крайней

необходимости

Ограничение потребностью

Другая

дисциплина

162

Часть

II. Проектирование продукта и производственного процесса

При

использовании любого из этих правил возникает

две основные проблемы практического характера. Первая

заключается в том, что о них необходимо проинформиро-

вать клиентов с тем, чтобы они могли им следовать, а

вторая — в необходимости создании специальной систе-

мы,

позволяющей служащим управлять такими очередями

(например,

ввести номерную систему).

Распределение времени обслуживания

Еще

ОДНОЙ

важной характеристикой очереди является

время, которое клиент или единица потока (заявка) про-

водит в контакте с каналом обслуживания от начала про-

цесса обслуживания. В рассмотренных выше формулах

использовалась интенсивность обслуживания, определяемая

как

пропускная способность канала обслуживания в ко-

личествах единиц потока за определенный период време-

ни

(например, 12 завершенных операций в час), а не как

время обслуживания, которое для данного примера в

среднем составляет пять минут. Если каждое обслужива-

ние

имеет одну и ту же продолжительность, то говорят о

правиле

постоянного

времени обслуживания. Соблюдение

этого правила (так же как неизменный интервал поступ-

ления

заявок) чаще присуще только автоматически вы-

полняемым операциям.

Если же время обслуживания имеет произвольную ве-

личину, то для его описания используют закон

экспонен-

циального распределения. Исходя из него определяют

среднее число, обозначаемое ц, единиц потока (заявок)

или

клиентов, которые

могут

быть обслужены в течение

этого периода.

Структура очередей

Как ВИДНО

из приведенного ниже рисунка, поток зая-

вок,

подлежащих обслуживанию, может проходить через

одну очередь, через несколько очередей либо через ком-

бинацию этих

двух

вариантов.

Выбор формата

структуры

частично зависит от коли-

чества клиентов (заявок), нуждающихся в обслуживании,

частично — от ограничений, связанных с конкретным

порядком,

в котором должно проводиться обслуживание.

Одноканальная,

однофазовая

структура

ЭТО

самый простой тип

структуры

очереди и, если

входящие потоки и процесс обслуживания описываются

стандартными распределениями, то

существуют

простые

формулы для решения соответствующих задач. Если же

эти

распределения нестандартные, то такие задачи отно-

сительно легко решаются с помощью компьютерного мо-

делирования. Типичным примером одноканальной и од-

нофазовой

структуры

может служить парикмахерская с

одним парикмахером.

Одноканальная,

многофазовая структура

В качестве иллюстрации такой

структуры

можно при-

вести станцию для мойки автомобилей, поскольку в

ходе

этого обслуживания выполняется целый ряд сервисных

операций в относительно стабильной последовательности:

чистка пылесосом, увлажнение, мытье, ополаскивание,

сушка, мойка окон и парковка. Основным показателем

одноканальной,

многофазовой

структуры

обслуживания с

определенной последовательностью

услуг

является объем

Структуры очередей

Одноканальная

Структура

Многоканальная

Однофазовая

Многофазовая

Однофазовая

Многофазовая

->~

•*•

->-

->•

Комбинированная

Структура

переходом

многоканального

обслуживания

одноканальное

Однофазовая

Многофазовая

Структура

альтернативного пути

Дополнение к

главе

Управление

очередями

163

накопления

единиц потока (заявок) перед каждой опера-

цией,

где также образуются свои отдельные очереди.

Многоканальная, однофазовая структура

Примерами такого типа структуры

могут

служить оче-

реди к окнам банковских клерков или к кассам в крупных

магазинах. Особенностью данной структуры является то,

что вследствие неравномерного времени обслуживания

каждого клиента очереди продвигаются с разной скоро-

стью. При этом некоторые клиенты, прибывшие в систе-

му позже, обслуживаются раньше тех, кто пришел пер-

вым. Это приводит также к определенному перераспреде-

лению очередей, произвольно осуществляемому

клиентами. Для того чтобы соблюдать правило обслужи-

вания

клиентов в хронологическом порядке их прибытия,

необходимо предварительно сформировать одноканаль-

ную очередь, в которой, как только освобождается один

из

каналов обслуживания, обслуживается следующий в

очереди клиент.

Основная

проблема такого формата обслуживания со-

стоит в том, что для соблюдения хронологического по-

рядка требуется очень строгий контроль за движением

очереди, который

дает

возможность четко направлять

клиентов к освобождающимся каналам обслуживания. В

некоторых ситуациях решить эту проблему помогает при-

своение клиентам номеров по мере их

входа

в систему.

Многоканальная, многофазовая структура

Эта ситуация в общем похожа на описанную в преды-

дущем разделе, с той лишь разницей, что в определенной

последовательности выполняется две или несколько об-

служивающих операций. Примером формата такого об-

служивания может служить прием пациента в больнице,

поскольку эта процедура обычно состоит из ряда этапов:

первоначальный контакт с сотрудником приемного отде-

ления,

заполнение медицинских карт, получение иденти-

фикационных

номерков, назначение палаты и отправка в

нее пациента и т.д. Поскольку в этом процессе обычно

задействовано несколько служащих, одновременно обслу-

живаются несколько пациентов.

Комбинированная структура

ЭТОТ

ТИП

структуры подразделяется на две категории:

(1)

структуры

переходом

многоканального

обслуживания

одноканальное

и (2)

структуры

альтернативного

пути. В

первом

случае

разные очереди сливаются в одну для по-

следующего однофазового обслуживания (как, например,

при

переходе через мост, когда две очереди объединяются

одну) либо они сливаются в одну очередь для многофа-

зового обслуживания (например, когда комплектующие,

поступающие с разных линий по сборке подузлов, посту-

пают на основную сборочную линию). Во втором

случае

также возникают два варианта, отличающихся требова-

ниями,

предъявляемыми к упорядочению потока. Первый

вариант напоминает многофазовую многоканальную

структуру,

но с возможностью перемещения клиентов из

одного канала в другой после завершения первой обслу-

живающей операции. Во втором варианте количество фаз

каналов может варьироваться, но также после выполне-

ния

первой обслуживающей операции.

Выход

из системы

После обслуживания клиента

существует

два сценария

его выхода из системы: (1) он может вернуться в исход-

ную генеральную совокупность и сразу стать вероятным

кандидатом на следующее такое же обслуживание; (2)

клиент не возвращается вообще либо вероятность повтор-

ного обслуживания его в данной системе очень мала. Для

иллюстрации первой ситуации вспомним о станке, кото-

рый только что отремонтировали после поломки и опять

ввели в эксплуатацию, но в любой момент он может по-

ломаться снова. Примером второй ситуации служит ста-

нок,

который прошел капитальный ремонт или модерни-

зирован и

существует

небольшая вероятность, что ему в

ближайшем

будущем

снова понадобится такой же

капи-

тальный ремонт. Если говорить несерьезно, то первый

случай можно назвать "рецидивным насморком", а вто-

рой "единовременной аппендэктомией".

—-

Низкая вероятность

повторного обслуживания

Выход

|<d^

'—•

Возвращение в исходную

генеральную совокупность

Очевидно, что если исходная генеральная совокуп-

ность является конечной, то любое поступление клиента

(заявки)

на обслуживание и последующий возврат его в

исходную генеральную совокупность влечет за собой из-

менение параметров интенсивности входящего в сервис-

ную систему потока. Это, разумеется, приводит к измене-

нию

характеристик анализируемой очереди и вызывает

необходимость их уточнения.

Модели очередей

В этом разделе приведены примеры четырех типов за-

дач анализа очередей с решениями. Все они имеют раз-

ную

структуру

(табл. 5.1), и для их решения применяются

разные уравнения (табл. 5.2). Существуют и

другие

типы

моделей, кроме этих четырех, но формулы для их реше-

ния

слишком сложны, такие задачи обычно решаются с

помощью компьютерного моделирования (см. дополнение

главе 17). Кроме того, при использовании представлен-

ных здесь формул

следует

помнить, что они получены

при

допущении, что анализируемый процесс в данный

момент является устойчивым и неизменным. Следова-

тельно, применение их к процессам, в которых интенсив-

ности входящего потока и обслуживания изменяются во

времени, может привести к неточным результатам.

Далее вашему вниманию представлено краткое описа-

ние

четырех задач, иллюстрирующих четыре основные

модели очередей, характеристики которых перечислены в

табл. 5.1 и 5.2. В табл. 5.3 представлена система обозначе-

ний,

использованных в табл. 5.2.

Задача

Количество

клиентов

очереди.

Руководство

банка

хочет

узнать, сколько клиентов ожидает в очереди к

банковскому клерку, обслуживающему автомобилистов

164

Часть

II. Проектирование продукта

производственного процесса

прямо

в автомобилях; сколько времени им приходится

ждать; насколько загружен клерк и какой должна быть

интенсивность обслуживания, чтобы 95% времени в сис-

теме находилось не больше трех автомобилей.

Задача

Выбор

оборудования.

Франчайзинговое пред-

приятие

Robot

Car Wash, специализирующееся на мойке

автомобилей, должно решить, какое из трех доступных

типов оборудования ему

следует

закупить. Более произво-

дительное оборудование стоит дороже, но быстрее обслу-

живает клиентов. Для принятия решения издержки

следу-

ет сопоставить с доходам.

Задача

Определение

необходимого

количества

каналов

обслуживания.

Агентству по ремонту автомобилей пред-

стоит принять решение, сколько клерков необходимо на-

нять

для работы с клиентами в офисе. Увеличение числа

клерков влечет рост затрат на их содержание, но при этом

одновременно возникает экономия вследствие уменьше-

ния

простоев механиков.

Задача

Конечная

генеральная

совокупность.

Во всех

предыдущих задачах рассматриваются ситуации с беско-

нечными генеральными совокупностями, а при решении

задач с конечными очередями используются иные урав-

нения

и формулы. Данная задача заключается в следую-

щем: на фабрике всего четыре ткацких станка, которых в

процессе эксплуатации должны обслуживать механики.

Необходимо решить, сколько механиков

следует

нанять

на

работу с учетом затрат, связанных с простоями станков

затратами на оплату

труда

механиков.

Таблица

5.1.

Характеристики простейших моделей очередей

Модель

Структура

Число

фаз

Исходная Распре-

обслужи- генеральная деление

вания

совокупность потока

Дисци- Распреде-

Допустимая

Типичный

пример

плина

ление

one-

длина

очереди

раций об- очереди

служивания

Таблица

Модель

Однока-

нальная

Однока-

нальная

Многока-

нальная

Однока-

нальная

Одна

Бесконечная

Конечная

.2.

Уравнения

для

решения

задач

—

f\ —

•i (

. П

•

и-А'

F-

•

Т.-7.+1

Пуассо-

новское

Пуассо-

новское

Пуассо-

новское

Пуассо-

новское

для

четырех

1 О

FCFS

моделей

(л

Экспонен-

циальное

Равномер-

ное

Экспонен-

циальное

Экспонен-

циальное

очередей

Неограни-

ченная

Неограни-

ченная

Неограни-

ченная

Неограни-

ченная

Банковский

кассир,

обслу-

живающий водителей;

однополосный мост

платным проездом

Прогулочный катер

парке

отдыха

Стоянка

авторемонтной

мастерской

Поломка

ремонт станка

на фабрике

(5д.З)

(5Д.4)

(В

табл.

5.4

приводится значение п,

при

и числе каналов обслуживания М.)

Модель

3 П^

п,/А;

Р„

п,(М-р)/р

Модель

характерна для конечной генеральной

совокупности.

Задачи этой модели проще всего решаются

-»

^UW^IJJUD

липсчпии I

cnepd)

1ьмии

совокупности,

одесь приведены формулы

>асчета параметров в таких таблицах

(5Д.5)

7+L/

Л/!

(N-n)\

N-L Н'

NFO-X);

т+и

T+U+W

(5Д.6)

Дополнение

главе 5. Управление очередями

Таблица

5.3.

Условные

обозначения, используемые в уравнениях в табл. 5.2

165

Обозначения

для бесконечной очереди

(модели

1-3)

Обозначения

для

конечной

очереди (модель

Интенсивность входящего потока

—

Интенсивность обслуживания

— ц

Среднее время обслуживания

Среднее время между входящими заявками

Вероятность

того,

что единица ожидания должна стать

в очередь

—

Коэффициент эффективности ожидания

очереди

— F

Среднее количество единиц, находящихся

процессе

обслуживания,

— Н

Исходная генеральная совокупность без числа единиц,

вошедших в систему массового обслуживания (N-л),

— J

Отношение интенсивности входящего потока к интенсивности Среднее число единиц в очереди

— L

обслуживания

—

, обозначаемое через

Среднее количество единиц, ожидающих в очереди

— п,

Среднее количество единиц в системе

(включая обслуживаемых)

— n

Среднее время ожидания в очереди

— Т,

Среднее суммарное время пребывания в системе

(включая время обслуживания)

— t

Количество единиц

системе

— п

Количество идентичных каналов обслуживания

—

Вероятность нахождения п единиц в системе

—

Рп

Вероятность ожидания

очереди

—

Количество каналов обслуживания

—

Среднее количество единиц в системе массового обслуживания

(включая обслуживаемых)

—

Количество единиц в исходной генеральной совокупности

(размер

популяции)

—

Л/

Вероятность нахождения п единиц в системе массового

обслуживания — Рп

Среднее время обслуживания

— Г

Среднее время между двумя очередными заявками

на

обслуживание клиентов

— U

Среднее время ожидания в очереди

— W

Коэффициент обслуживания или

доля

необходимого времени

обслуживания в продолжительности одного цикла пребывания

системе

массового обслуживания —

' Для очередей

одним каналом обслуживания этот показатель эквивалентен коэффициенту

загрузки.

Пример

5д.1.

Количество

клиентов

в очереди

Банк Western National Bank рассматривает возмож-

ность открытия пункта обслуживания клиентов

авто-

мобилях. Управленческий персонал оценил,

что кли-

енты будут прибывать

интенсивностью 15 автомобилей в час.

Клерк, назначенный

на эту

работу, может обслуживать

их со

скоростью

один автомобиль

каждые три минуты.

Часть

1. Исходя из распределения Пуассона входящих зая-

вок

экспоненциального распределения времени обслужива-

ния,

определите следующие значения.

Загрузка

клерка.

2. Среднее количество клиентов, ожидающих в очереди.

Среднее количество клиентов

системе.

Среднее время ожидания

очереди.

5- Среднее время ожидания

системе,

включая

время обслу-

живания.

Решение.

Часть

•

Средняя

загрузка

клерка будет

—

75%.

\х 20

2. Среднее количество клиентов, ожидающих в очереди

П\

(15)

ц(/л-Х)

20(20-15)

2,25 (клиентов).

Среднее количество клиентов в системе

Я 15

А1-Л

20-15

Среднее время ожидания в очереди

(клиента).

ti=

Я) 20(20-15)

5. Среднее время ожидания в системе

0,15 часа или

минут.

jU-Я

20-15

0,2 часа или 12 минут.

Часть

2. Из-за ограниченности площади, стремясь обеспе-

чить приемлемый уровень обслуживания, банковский менеджер

хочет

добиться 95%-ной гарантии

того,

что

очередь

системе

не будет превышать трех автомобилей. Какая интенсивность

обслуживания соответствует данному пределу? Какой уровень

загрузки

клерка следует обеспечить

какая должна

быть

ин-

тенсивность обслуживания

этого

служащего, чтобы добиться

95%-ного

уровня обслуживания?

166

Часть

II. Проектирование продукта и производственного процесса

Решение.

Часть

Текущий уровень обслуживания для трех или меньше авто-

мобилей представляет собой вероятность

того,

что в системе

находится 1, 2 или 3 машины. Выбираем из табл. 5.2 для моде-

ли

расчетную формулу

по

которой находим

при

п = 0, Р

= (1-15/20)(15/20)° = 0,250

при

л =

Pi =

(1-15/20)(15/20)

= 0,188

при

= 2, Р

(1-15/20)(15/20)

= 0,141

при

п =

З;

(1-15/20)(15/20)

= 0,106

Итого

0,685 или 68,5%.

Отсюда вероятность

того,

что в системе соберется больше

трех автомобилей, будет равна (1,0-0,685 = 31,5%).

Для 95%-ного уровня обслуживания трех или меньше авто-

мобилей

принимаем,

что Р0 + Р1 +Р2 + Р3 = 95%:

0,95= 1-^ -

Это уравнение можно решить методом проб и ошибок, пу-

тем подстановки разных значений для А/ц. Так, при А/ц = 0,50

получаем 0,5(1 + 0,5 + 0,25 + 0,125) = 0,9375, т.е. меньше за-

данного

значения 0,95.

При А/ц = 0,45 получим (1 -

0,45)(1

+ 0,45 + 0,203 + 0,091) =

0,96, т.е. больше заданного значения 0,95.

При А/ц = 0,47 находим (1 -

0,47)(1

+ 0,47 +

0,221

+ 0,104) =

0,9512, что приблизительно равно 0,95.

Таким образом, именно при загрузке р = А/ц = 47% вероят-

ность образования в системе очереди, состоящей из трех и

меньше машин, составляет 95%.

Чтобы

узнать, какая интенсивность обслуживания необхо-

дима для достижения этого 95%-ного уровня обслуживания,

следует просто решить уравнение А/ц = 0,47, где А= 15— ин-

тенсивность прибывающих в течение часа клиентов. Это дает

значение ц = 32 в час.

Таким образом,

чтобы

иметь 95%-ную уверенность в том,

что в системе не будет находиться больше трех автомобилей,

банковский

клерк должен обслуживать по 32 человека в час

(заметьте, что для этого необходимо 60%-ное повышение ско-

рости

обслуживания по сравнению с имеющейся, равной всего

человек в час). Обслуживание можно ускорить, изменив ме-

тоды предоставления услуг, добавив еще одного клерка либо

ограничив количество банковских операций, доступных в систе-

ме

обслуживания водителей в автомобилях. Обратите внима-

ние также на то, что при условии 95%-ной уверенности в том,

что в системе не будет собираться больше трех автомобилей,

клерк

будет простаивать 53% времени.

Пример

5д.2.

Выбор

оборудования

Компания

Robot

на франчайзинговой основе предос-

тавляет

для эксплуатации комбинированные автозапра-

вочно-автомоечные станции в разных точках США.

Если

клиент заправляется, его автомобиль моют бесплатно; если же

он

хочет

только

вымыть

машину, с него взимается

плата

0,50

доллара. Прошлый опыт работы показал, что на станцию

приез-

жает практически равное количество тех водителей, которые хо-

тят только

вымыть

машину, и тех, которые

хотят

прежде запра-

вить ее. Средняя прибыль от заправки составляет 70 долларов, а

стоимость

мойки

одной машины для компании— 0,10 доллара.

Компания

Robot

работает по 14 часов в день.

Компания Robot предоставляет фирмам, получившим право

на эксплуатацию станции, на выбор три типа заправочных бло-

ков

и моечных устройств, из которых нужно выбрать один. Обо-

рудование первого типа может мыть по одной машине каждые

пять минут и за его аренду необходимо платить 12 долл. в день.

Оборудование второго типа несколько мощнее, оно способно

работать с интенсивностью один автомобиль за каждые четыре

минуты,

но стоит оно уже 16 долл. в день. Аренда самого мощ-

ного

оборудования третьего типа составляет 22 долл. в день, но

оно может

вымыть

машину всего за три минуты.

По оценке фирмы, клиенты не намерены ожидать в очереди

на мойку машины больше пяти минут. Более длительное время

ожидания приведет к потере компанией Robot объемов продаж

бензина и прибыли от

мытья

машин.

Учитывая,

что по предварительным оценкам входящий по-

ток

клиентов на мытье автомобиля составляет 10 единиц в час,

определите, какое моечное оборудование следует выбрать

компании.

Решение

При условии, что будет выбрано оборудование 1-го типа,

вычислим среднее время ожидания клиентов в очереди на мой-

ку

(для оборудования 1-го типа ц = 12 в час). Воспользовавшись

уравнениями для модели 2

(см.

табл. 5.2), получаем

г Я 10

Л(д-А)

= 0,208 часа или 12,5 минут.

Показатель ц для оборудования 2-го типа равен 15, следо-

вательно

= 0,067 часа или 4 минуты.

Если

единственным критерием

является

время, которое кли-

ентам приходится проводить в очереди, то компании следует

приобрести

оборудование 2-го типа. Однако, прежде чем принять

окончательное решение, необходимо определить, как отличаются

показатели прибыльности обоих видов оборудования.

Если

приобрести оборудование 1-го типа, то, несомненно,

вследствие длительного времени ожидания (12,5 минут) некото-

рые клиенты не станут в очередь либо

сначала

станут, но вскоре

покинут

ее. Кроме

того,

хоть

это и значительно затрудняет мате-

матический анализ, мы можем получить приблизительную оценку

потерянных объемов продаж при использовании оборудования 1-

го

типа. Для этого мы изменим время ожидания на 5 минут

(f,

= 5) или 0,12 часа (среднее время, которое готовы ожидать

клиенты) и решим уравнение для А. Это даст нам показатель ин-

тенсивности входящего потока клиентов:

вчас

Таким образом, поскольку первоначальный показатель А со-

ставлял

10 клиентов в час, то по предварительным расчетам

Дополнение

главе 5. Управление очередями 167

получается, что фирма будет терять 2 клиента в час. При этом

не полученная компанией прибыль составит:

2 клиента в час х 14 часов х

х 0,2 (прибыль 0,70 долл. за заправку +

прибыль 0,40 долл. за мойку) = 15,40 долл. в день.

Таким образом, поскольку дополнительные затраты на при-

обретение оборудования 2-го типа по сравнению с оборудова-

нием 1-го типа составляют всего 4 долл. в день, потеря 15,40

долл. в день несомненно указывает на то, что приобретать сле-

дует оборудование 2-го типа.

Кроме

того,

данное оборудование удовлетворяет исходному

требованию относительно предельного времени ожидания, ко-

торое составляет 5 минут. Вариант же приобретения оборудо-

вания 3-го типа не рассматривается вообще, во всяком

случае

до

того,

пока специалисты не спрогнозируют увеличение вхо-

дящего потока.

Пример

5д.З.

Определение

количества

каналов

обслуживания

В автосервисном отделе компании

Glenn-Mark

Auto

Agency механики, которым понадобились запасные

части для ремонта и технического обслуживания ав-

томобилей,

предоставляют бланки-заявки в отдел запасных

частей.

Клерк отдела заполняет эти заявки в присутствии меха-

ника.

Механики приходят произвольно (распределение Пуассо-

на),

со средней интенсивностью 40 человек в час; клерк

спосо-

бен заполнить 20 заявок в час (экспоненциальное распределе-

ние).

Если

стоимость труда клерка составляет 6 долл. в час, а

стоимость труда механика — 12 долл. в час, определите

опти-

мальное количество клерков для обслуживания механиков.

(Поскольку интенсивность входящего потока велика, можно ис-

ходить из предположения, что источник бесконечный.)

Решение

Для

начала

предположим,

что будут работать три

клерка,

поскольку

при

одном

или двух служащих будут образовываться

бесконечно

длинные очереди (исходя из

того,

что X =

40,

И =

20).

В данном случае будут использованы уравнения для

модели 3 (см. табл. 5.2). Но

сначала

необходимо получить

среднее количество клиентов в очереди, для чего следует вос-

пользоваться табл. 5.4,

Воспользовавшись этой таблицей и выбрав значения А/ц = 2

М= 3, получаем значение л, = 0,8888 (механика).

Таким образом, мы видим, что в среднем очередь на протя-

жении дня состоит из 0,8888 механика. Следовательно, если

исходить из

того,

что рабочий день механика составляет 8 ча-

сов,

а его работа стоит 12 долл. в час, получаем потери рабоче-

го

времени в долларовом выражении: 0,8888 механи-

ка

х 12 долл. в день х 8 часов = 85,32 долл.

Следующий этап заключается в определении времени ожи-

дания в очереди при наличии еще одного клерка. Затем можно

будет сравнить дополнительные затраты на использование до-

полнительного служащего со временем, сэкономленным меха-

никами

в результате его найма. В данном

случае

следует опять

воспользоваться табл. 5.4, но выбрать показатель М = 4:

л,

= 0,1730 (механика в очереди).

Получаем, что в этом

случае

затраты на одного механика,

ожидающего в очереди, составят

0,1730 х

долл. х 8 часов = 16,61 долл.

Стоимость времени, сэкономленного механиками в резуль-

тате введения дополнительного клерка:

85,32 долл. -

16,61

долл. = 68,71 долл.

Затраты на дополнительного клерка:

8 часов х 6 долл. в час = 48 долл.

Сокращение затрат в результате ввода дополнительного

клерка:

68,71 долл. -48 долл. =

20,71

долл.

Данную задачу можно расширить, если учесть стоимость найма

дополнительных рабочих, доставляющих запасные части механи-

кам;

в этом

случае

необходимо определить количество этих рабо-

чих. Однако в таких условиях нужно также учесть дополнительную

стоимость

времени, потерянного вследствие ошибок в заявках на

запасные

части.

Ведь если механик может определить, что для него

выписана не та запасная часть, еще стоя у стойки клерка, то рабо-

чий-подносчик

такой

возможности не имеет.

Таблица

5.4.

Ожидаемое

количество

клиентов

Количество

каналов

обслуживания,

Мц

1 2 3 4 5 6

очереди

(л,)

для

различных

значении

10 11

Ми

0,10

0,0111

0,15

0,0264 0,0006

0,20

0,0500 0,0020

0,25

0,0833 0,0039

0,30

0,1285 0,0069

0,35

0,1884 0,0110

0,40

0,2666 0,0166

0,45

0,3681 0,0239 0,0019

0,50

0,5000

0,0333

0,0030

0,55

0,6722 0,0149 0,0043

0,60

0,9090 0,0593 0,0061

0,65

1,2071

0,0767

0,0084

0,70

1,6333

0,0976 0,0112

168

Часть

II. Проектирование продукта и производственного процесса

Продолжение табл. 5.4

Количество

каналов

обслуживания,

Л/ц

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0,75 2,2500 0,1227 0,0147

0,80

3,2000

0,1523

0,0189

0,85

4,8165

0,1873

0,0239

0,0031

0,90 8,1000 0,2285 0,0300 0,0041

0,95 18,0500 0,2767 0,0371 0,0053

1,0 0,3333 0,0454 0,0067

1,2 0,6748 0,0940 0,0158

1,4 1,3449 0,1778 0,0324 0,0059

1,6

2,8441 0,3128 0,0604 0,0121

1,8

7,6731 0,5320 0,1051 0,0227 0,0047

2,0 0,8888 0,1730 0,0390 0,0090

2,2 1,4907 0,2770 0,0059 0,0158

2,4 2,1261 0,4205 0,1047 0,0266 0,0065

2,6 4,9322 0,6581 0,1609 0,0425 0,0110

2.8 12,2724 1,0000 0,2411 0,0659 0,0180

.°

1,5282 0,3541 0,0991 0,0282 0,0077

2,3855 0,5128 0,1452 0,0427 0,0122

3,9060 0,7365 0,2085 0,0631 0,0189

7,0893 1,0550 0,2947 0,0912 0,0283 0,0084

16,9366

1,5181

0,4114 0,1292 0,0412 0,0127

'°

2,2164 0,5694 0,1801 0,0590 0,0189

3,3269 0,7837 0,2475 0,0827 0,0273 0,0087

5,2675 1,0777 0,3364 0,1142 0,0389 0,0128

4l6

9.2885 1,4857 0,4532 0,1555 0,0541 0,0184

4р8

21,6384

2,0708

0,6071

0,2092 0,0742

0,0260

2,9375 0,8102 0,2785 0,1006 0,0361 0,0125

°04

1,0804 0,3680 0,1345 0,0492 0,0175

4 6

6609

L4441 0,5871 0,1779 0,0663 0,0243 0,0085

11,5178 1,9436 0,6313 0,2330 0,0683 0,0330 0,0119

8 26

3726

2,6481 0,8225 0,3032 0,1164 0,0443 0,0164

3,6878 1,0707 0,3918 0,1518 0,0590 0,0224

5,2979 1,3967 0,5037 0,1964 0,0775 0,0300 0,0113

8,0768 1,8040 0,6454 0,2524 0,1008 0,0398 0,0153

13,7992

2,4198 0,8247 0,3222 0,1302 0,0523 0,0205

1270 3

2441 1

-0533 0,4090 0,1666 0,0679 0,0271 0,0105

4471 1

'3471 0,5172 0,2119 0,0876 0,0357 0,0141

3133 1

728

8 0.6521 0,2677 0,1119 0,0463 0,0187

5102 2

2324

0,8202 0,3364 0,1420 0,0595 0,0245 0,0097

7,6

16,0379 2,9113 1,0310 0,4211 0,1789 0,0761 0,0318 0,0129

. 35,8956 3,8558 1,2972 0,5250 0,2243 0,0966 0,0410 0,0168

о,и

2264 1

.6364 0,6530 0,2796 0,1214 0,0522 0,0220

7,3441 2,0736 0,8109 0,3469 0,1520 0,0663 0,0283

Дополнение

главе 5. Управление очередями

169

Количество

каналов

обслуживания,

щ 1 2 3 4 5

8 9

Окончание табл.

14 15

5.4

8,4

8,6

8,8

9,0

9,2

9,4

9,6

9,8

10,9592

18,3223

40,6824

2,6470

3,4160

4,4805

6,0183

8,3869

12,4183

20,6160

45,4769

1,0060

1,2484

1,5524

1,9366

2,4293

3,0732

3,9318

5,1156

6,8210

0,4288

0,5236

0,6501

0,7980

0,9788

1,2010

1,4752

1,8165

2,2465

0,1891

0,2341

0,2885

0,3543

0,4333

0,5267

0,5437

0,7827

0,9506

0,0834

0,1043

0,1208

0,1603

0,1974

0,2419

0,2952

0,3699

0,4352

0,0361

0,0459

0,0577

0,0723

0,0899

0,1111

0,1367

0,1673

0,2040

Пример

5д.4.

Источник

конечной генеральной

совокупности

Анализ

работы

четырех

ткацких станков на тек-

стильной фабрике компании Loose Knit показал, что в

среднем

каждая машина ежечасно нуждается в наладке

наладчику требуется на эту работу в среднем 7,5 минут. Исходя

из

распределения Пуассона входящего потока и экспоненциаль-

ного

распределения времени обслуживания, а также из

того,

что

простой

станка обходится в 40 долл. в час, определите, не следу-

ет ли компании

нанять

второго наладчика (при условии, что его

скорость

наладки также будет составлять 7,5 минут). Труд рабо-

чего-наладчика оплачивается по 7 долл. в час.

Решение

Эта задача связана с конечными очередями и решается она

с использованием специальных таблиц параметров конечной

генеральной

совокупности,

аналогичных табл. 5.5.

В данном примере необходимо сравнить стоимость простоя

станков (как во время ожидания наладки, так и в процессе об-

служивания) и затраты на одного наладчика со стоимостью

простоя

станков и затратами на

двух

рабочих. Для

этого

следу-

ет определить среднее количество станков в сервисной

систе-

ме

и умножить это число на стоимость простоя в час. К полу-

ченному значению добавляются затраты на рабочую силу.

Прежде чем приступить к расчетам, следует привести ус-

ловные

обозначения параметров, принятых в табл. 5.5 :

Л/—

количество станков в генеральной совокупности

(размер

популяции);

М— количество наладчиков;

Г—

время,

необходимое для обслуживания одного станка;

U — среднее время эксплуатации станка между двумя оче-

редными наладками;

X— коэффициент обслуживания или

доля

времени обслу-

живания каждого

станка

(X=T/(T+U);

L — среднее число станков, пребывающих в очереди на об-

служивание;

Н — среднее количество станков, находящихся в процессе

обслуживания.

Таблица 5.5. Параметры конечной генеральной совокупности для популяции из четырех элементов (станков)

0,015

0,022

0,030

0,034

0,038

0,042

0,046

0,048

0,052

0,054

0,058

0,060

0,062

0,045

0,066

0,090

0,102

0,114

0,126

0,137

0,143

0,155

0,161

0,173

0,179

0,184

0,999

0,998

0,997

0,996

0,995

0,994

0,993

0,992

0,991

0,990

0,989

0,988

0,987

0,180

0,190

0,200

0,210

0,220

0,479

0,088

0,503

0,098

0,526

0,008

0,108

0,549

0,009

0,118

0,572

0,011

0,129

0,899

0,991

0,887

0,990

0,874

0,999

0,988

0,862

0,999

0,986

0,849

0,999

0,984

0,400

0,420

0,440

0,460

0,480

0,064

0,372

0,866

0,074

0,403

0,884

0,085

0,435

0,900

0,097

0,466

0,914

0,111

0,992

0,915

0,595

0,990

0,903

0,572

0,986

0,891

0,551

0,985

0,878

0,530

0,983

170

Часть

II. Проектирование продукта и производственного процесса

Окончание

табл.

5.5

0,064

0,066

0,070

0,075

.0,080

0,085

0,090

0,095

0,100

0,105

0,110

0,115

0,120

0,125

0,130

0,135

0,140

0,145

0,150

0,155

0,160

0,165

0,170

0,190

0,196

0,014

0,208

0,016

0,222

0,018

0,237

0,021

0,251

0,023

0,265

0,026

0,280

0,028

0,294

0,031

0,308

0,034

0,321

0,037

0,335

0,041

0,349

0,044

0,362

0,047

0,376

0,051

0,389

0,055

0,402

0,058

0,415

0,062

0,428

0,066

0,441

0,071

0,454

0,075

0,466

0,079

0,986

0,985

0,999

0,984

0,999

0,981

0,999

0,978

0,999

0,975

0,999

0,972

0,999

0,969

0,999

0,965

0,998

0,962

0,998

0,958

0,998

0,954

0,997

0,950

0,997

0,945

0,997

0,941

0,996

0,936

0,996

0,931

0,995

0,926

0,995

0,921

0,994

0,916

0,994

0,910

0,993

0,904

0,993

0,230

0,240

0,250

0,260

0,270

0,280

0,290

0,300

0,310

0,320

0,330

0,340

0,360

0,380

0,593

0,012

0,140

0,614

0,014

0,151

0,634

0,016

0,163

0,654

0,018

0,175

0,673

0,020

0,187

0,691

0,022

0,200

0,708

0,024

0,213

0,725

0,027

0,226

0,741

0,030

0,240

0,756

0,033

0,254

0,771

0,036

0,268

0,785

0,039

0,282

0,798

0,047

0,312

0,823

0,055

0,342

0,846

0,835

0,999

0,982

0,822

0,999

0,980

0,808

0,999

0,977

0,794

0,998

0,975

0,780

0,998

0,972

0,766

0,998

0,968

0,752

0,998

0,965

0,738

0,997

0,962

0,724

0,997

0,958

0,710

0,997

0,954

0,696

0,996

0,950

0,683

0,996

0,945

0,670

0,994

0,936

0,644

0,993

0,926

0,619

0,480

0,500

0,520

0,540

0,560

0,580

0,600

0,650

0,700

0,750

0,800

0,850

0,900

0,950

0,498

0,926

0,125

0,529

0,937

0,141

0,561

0,947

0,157

0,592

0,956

0,176

0,623

0,963

0,195

0,653

0,969

0,216

0,682

0,975

0,275

0,752

0,985

0,343

0,816

0,991

0,422

0,871

0,996

0,512

0,917

0,998

0,614

0,954

0,999

0,729

0,979

0,857

0,995

0,864

0,511

0,980

0,850

0,492

0,976

0,835

0,475

0,972

0,820

0,459

0,968

0,805

0,443

0,964

0,789

0,429

0,959

0,774

0,415

0,944

0,734

0,384

0,926

0,695

0,357

0,905

0,657

0,333

0,880

0,621

0,312

0,852

0,587

0,294

0,821

0,555

0,786

0,526