Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)

Подождите немного. Документ загружается.

Гпава 1

Рассмотрим определитель

A^33=(-lf

2 8

2 4

2 2

-3

-1

= -4

1 4

1 2

1 1

-3

-1

—А

1 3 -3

1 1 -1

1 0 0

Следовательно, ранг системы

г{А)-\.

Вернемся к расширен-

ной матрице, сократив на

предпоследний столбец

В-

Из первого столбца вычтем последний столбец, а из после-

дней строки вычтем предпоследнюю

-3

-1

-2

1 ,

Е~

в~\

'0 8 -3 3 .

0 4-1 1 2

0 3-21 1

2 2 0 0 0

После простейших преобразований получим

Го 1 0 1 -1^

0 4-11 2

0 3-21 1

2 0 0 0 0

\ )

("0 1 0 1 -Г

0 1 10 1

0 2-11 0

10 0 0 0

Рассмотрим определитель

Л^4,=(-1/

0 0 1

1 0 0

0-10

=1.

-1

ОПРЕПЕПИТЕПИ и

МАТРИиЫ.

СИСТЕМЫ

Следовательно, ранг расширенной системы равен г(5)=3.

Поскольку ранг матрицы

А меньше

ранга расширенной матри-

цы 5, то система несовместна.

9.3.

Исследовать систему уравнений

л:,

+ 9^2 + 6^3 = 3,

[х,+3x2+4^3 = 1.

Решение.

Запишем расширенную матрицу

(\ -3 2 -О

ВА\

9 6 3

13 4 1

Разделим второй столбец на

а третий столбец на

А -1 1 -О

вА\

3 3 3

112 1

К второй строке прибавляем

первую и

сокращаем на

Да-

лее,

из

последней строки вычитаем вторую

(\ -1 1 -\\ ^1

)

-1 1

1 2

0 0

-п

Отсюда видно, что ранг расширенной матрицы равен

(В)

Рассмотрим теперь матрицу системы

А =

-3

6 1

-1 О

3 3

(\ -1

2 2

-1

Ранг матрицы системы тоже равен 2

Гпава 1

а -1

1 1

V« ^ «У

•(Л) = 2.

Поскольку ранг совместной системы меньше числа неизве-

стных, то примем за свободную неизвестную ^з и перенесем ее в

правую часть

^1+9x2= 3-6x3.

Решая полученную систему уравнений по формулам Кра-

мера, определяем базисные неизвестные х^, Xj через свобод-

ную

Х3

х,=

-1-2Хз -3

3-бх, 9

— jx^, Л2

—

1 -1-2X3

1 3-6х.

1-х,

12 '' ^ 12 3

Придавая свободной неизвестной произвольные значения,

находим, что решений у этой системы бесконечно много.

Глава 2

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

2.1.

Векторные и скалярные величины.

Линейные операции над векторами

1°.

Основные определения. Величина называется скалярной,

если она определяется заданием

ее

числового значения, и вектор-

ной,

если для ее определения задается еще и ее направление.

Два вектора считаются равными, если они имеют одинако-

вую длину, параллельны друг другу и одинаково направлены.

Два вектора называются противополоэюными, если они

имеют одинаковую длину, параллельны и противоположно на-

правлены.

Два вектора называются коллинеарными, если они распо-

ложены на параллельных прямых (или на одной прямой), неза-

висимо от того направлены ли они одинаково или

их

направления

противоположны.

Если векторы лежат в одной плоскости или в плоскостях,

параллельных между собой, то они называются компланарными.

Вектор, модуль которого равен

нулю,

называется нуль-век-

тором. Нуль-вектор не имеет направления.

64 Гпава 2

Вектор, модуль которого равен единице, называется еди-

ничным

вектором.

Единичный

вектор,

одинаково направленный

вектором а,

называется ортом вектора а.

Т, Суммой двух векторов а и 6 называется вектор с , по-

строенный следующим образом: перенесем начало вектора Ь в

конец вектора с и построим вектор с так, чтобы его начало

совпадало с началом вектора с , а конец — с концом вектора Ь

(рис.

2.1).

Сумма векторов обладает свойствами сочетательности и

переместительности

а) [а

Ь^л-с =а^{Ьл-су, б) d

+ b

=b+d.

Вектор с называется разностью векторов а и 6

если сум^

ма векторов b я с равна вектору й, т. е. если b +с =а.

Если два вектора приведены к общему началу, то их раз-

ность есть вектор, соединяющий их концы и направленный от

вычитаемого к уменьшаемому (рис. 2.2).

Рис. 2.2

ВЕКТОРНАЯ АПГЕБРА

Свойства

а) й + (~&) = а-6; б)

а-(-б)

= а + 6.

3°.

Произведением вектора а на скаляр Я называется век-

тор Ь=Х а коллинеарный вектору а, модуль которого равен

1ЯИа|.

Если

О,

направления векторов а и b совпадают; если

— направления векторов противоположны.

Свойства

а) X(iid)

{X/i)d;

б) Ы

аХ;в) Х(а

Ь)

ХЬ.

4°.

Отношение вектора к его длине или модулю называется

единичным

вектором. Любой вектор а можно представить с по-

мощью единичного ветора а^, того же направления, что и век-

тор й, т. е. а = |а|• а°, откуда а^ =-—

\а\

1.1. Даны два вектора а и 6 (рис. 2.3). Найти их сумму и

разность.

Решение, а) Векторы а и b перпендиулярны. Сложение

выполняем по правилу треугольника

(рис.

2.4).

Рис. 2.3 Рис. 2.4

От произвольной точки А отложим вектор а, совместим

начало вектора b с концом вектора а, вектор, идущий от нача-

ла вектора а в конец вектора b, есть вектор-сумма. Модуль

вектор-суммы находим по теореме Пифагора

66 Гпава 2

\АС\

a-\-b\

.^Ja'+b\

б) Совместим начала векторов а иЕ и соединим их концы.

Вектор, идущий из конца вектора - «вычитаемого»в конец век-

тора - «уменьшаемого», есть вектор-разность (рис. 2.5).

Длина вектора

\СВ\

может быть найдена по теореме Пифа-

гора

\СВ\

\d-b\

= yja}

^b'^.

Рассмотрим еще один способ нахождения разности векто-

ров а и b.

Поместим начало вектора b в конец вектора а и построим

вектор -ft,

т.

е.

вектор противоположно направленный. Посколь-

ку под разностью двух векторов а и b понимают третий век-

тор,

равный

сумме

векторов а

-й

то векторь-разность находим

по правилу треугольника, т. е. это вектор идущий из начала век-

тора а в конец вектора -Ь (рис. 2.6).

Рис. 2,6

Нетрудно заметить, что вектора-разности (рис. 2.5 и

рис.

2.6) равны по величине

направлению, следовательно, они

равны.

1.2. Дан вектор а (рис. 2.7). Построить векторы: а) За;

б) --а.

^ 2

Решение, а) Увеличиваем модуль вектора а в 3 раза, со-

храняя его направление.

ВЕКТОРНАЯ АПГЕБРА

Получаем вектор

\0Щ

= За (рис. 2.8)

б) Строим вектор

ОА

180°.

Получим искомый вектор

= г-^, а затем поворачиваем О А на

= -—^

(рис.

2.9).

Можно по-

^ 2

ОБ

строить сначала вектор -а, а затем изменить его модуль в

раза.

За

Рис. 2.7 Рис. 2.8

Рис. 2.9

1.3. Доказать, что в произвольном четырехугольнике век-

тор,

соединяющий середины диагоналей, равен геометрической

полусумме двух векторов, образующих противоположные сто-

роны четырехугольника.

Решение. Построим четырехугольник и векторизуем сторо-

ны и диагонали, как показано на рис. 2.10. Требуется доказать,

что

~ЁР =

-('ВСл-Ш) или JF =

-('CD-^'AB).

На основании

правила сложения векторов вектор EF равен сумме векторов

Рис. 2.10

Гпава 2

Представим векторы EF и AF через векторы сторон че-

тырехугольника ^=^^;

'ЁЬ^]Ш;

£^

~1(Ш

ЛВ);

Подставляя найденные

векторы

исходное

векторное равен-

ство, получим ЁР=-~(Ш+]Й)+Ш+-(Л5+БС)=-(Ш+В^^

что и

требовалось доказать.

Аналогично доказывается

второе векторное равенство.

1.4.

Разложить

высоту DO правильной треугольной пира-

миды

(рис.

2.11) по некомпланарным векторам а,

,с ,

Решение. Поскольку пирамида правильная, точка пересе-

чения высоты

DO и

основания является точкой пересечения ме-

диан

основания.

Используя свойство точки пересечения медиан

треугольника, запишем

DO = DA +

АО

-AD

л-—AM

ПосколькуЛЛ1

^(ЛВ +

ЛС),

то Ш=-АО+-(ЛВ+ЛС)

ВЕКТОРНАЯ АПГЕБРА

1.5. В параллелограмме ABCD точки M,N,P,Q середины

сторон

(рис.

2.12).

D М

Выразить векторы AC,AQ,

QD,

СР как линейные комбина-

ции векторов АР

а и AN = b.

Решение.

АС = АВ + AD = 2a + 2b , AQ = AS + BQ = 2а +b ,

QD = QC

b'-2a,

^-a .

1.6. Однородный треугольник задан радиус-векторами

/^, fj,

Гз

своих вершин

М^,М2,М^.

Найти радиус-вектор R

центра тяжести.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 2.13).

Рис. 2.13

Центр тяжести однородного треугольника находится

точ-

ке М пересечения его медиан. Векторизуем стороны треугольни-