Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)

Подождите немного. Документ загружается.

70 Гпава 2

ка, как показано на рисунке

проведем медиану M^N, Из свойств

медианы следует, что M^N

^—М^^^М^

и NM

^-NM^.

Радиус вектор ОМ = R находим как сумму векторов

ОМг

н-

M^N + NM. Вектор OMi =

А^

Представим выраже-

ния векторов M^N и NM через известные векторы

r^^f^.r^

Из треугольника ОМ^М^ находим М^М^^Гъ-гг, тогда

M^N^—(гъ-гг)

Из треугольника M^M^N находим

]Vi\l^ =-(м,м7 +МзА/"); из треугольника ОМ^М^ находим

,+-рз-Г2)]=п--(г2+гз);

М,М^

=Г2-Г\,

Отсюда:

NM^

NM =-

г -

Г\

[гг +

Гъ

Г2-П-

Подставляя найденные значения векторов

выражение суммы

векторов,получим/г =/'2+-(гз-Г2)+- п—(гг+гз) =-(п+Г2+гз).

1.7. Электрический фонарь весом 3кг подвешен к потолку

на шнуре АВ и затем притянут к стенке веревкой ВС

(рис.

2.14).

Определить натяжение шнура

веревки, если известно, что угол

а=60^угол j8=135^

75'

Рис. 2.14

ВЕКТОРНАЯ АПГЕБРА

Решение. На точку В действует две силы fj^.f^viP — вес

лампы. Поскольку система сил находится в равновесии, то рав-

нодействующая этих сил равна нулю.

Построим треугольник

сил.

выбранном масштабе строим

вектор Р (рис. 2.14). Через начало этого вектора проведем ли-

нию действия силы f^ , а через конец — линию действия силы

7J.. Получим треугольник А^В^С^ Векторизуем его сторо-

ны

ДС^

7J.,

C,i4j

= f^ . Модули этих сил найдем по теореме си-

нусов. Для этого определим углы при вершинах треугольника.

По условию задачи угол при вершине А

равен

30°,

при вершине

£j —

45"",

значит, угол при вершине Cj равен 105°.

Учитывая, что sinl05°=sin75°, по теореме синусов имеем

^А

Откуда

т,=ъ

sin45° sin30°

smlS"

'"^''^ 2Л9кг;П=з'-^=^155кг;

sin75° " sin75°

1.8. К вершине О прямоугольного параллелепипеда

ABCOGDEF(рис. 2.15) приложены три

силы,

изображаемые век-

торами 0£, ^G, ОБ, найти величину и направление равнодей-

ствующей f.

72 Гпава 2

Решение. Обозначим ОЛ = а, ^С

6,0D = с, тогда

0Б = а +

а£ = а +

с,

0D =

+ c.

Поскольку ? = ОБ + 0£ + ОС,то

т. е. равнодействующая f^ изображается удвоенной диагональю

параллелепипеда OF.

2.2.

Разложение вектора

по координатным осям

1°.

Всякий вектор в пространстве можно представить как

сумму трех векторов, один из которых расположен на оси Ох,

второй на оси Оу и третий — на оси Oz

aj +aj л-a^k, (1)

где J J ,k — единичные векторы координатных осей.

Модуль вектора а равен

|a| = ^a,4aj+a,'. (2)

Если через а,

j8,

у обозначить углы, которые вектор а со-

ставляет

положительными направлениями координатных осей,

то формулы

cosa =

T-^;

cosp=T-^; cosy =

7--

схл

\а\ \d\ \а\ ^ ^

дают выражения направляющих косинусов вектора а через его

проекции.

Между направляющими косинусами существует зависи-

мость

cos^a +

cos^

+ cos V =

(4)

ВЕКТОРНАЯ АПГЕБРА 73

2°.

Действия над векторами.

Сумма векторов

a±b=(a^±bjJ +

(a^±b^)]^(a,±bJk.

(5)

Умножение на скаляр

Яа = XaJ + XaJ

Xa^k.

(6)

а) Если ^(Xpj^pZj) и

Bix^^y^.z^

—

координаты начала и

конца вектора, то проекции вектора

а^=х^-х,,

а^=у^-у,,

a^=z^-z,.

(7)

б)

Модуль

И =

^1(^2

-х,/ +(у, -y,f+(z, -zj\ (8)

в)

Направляющие косинусы

cosa= ^,^1 ^; cosj8= ,^, ^; cosy= ^|_^, ^ /т

г1 г1 г1

г) Если некоторая ось /составляет

координатными осями

углы а,

/?,

то проекция произвольного вектора а на эту ось

определяется равенством

ПрД

a^cosa

a^cosj3

+ a^cos/.

(10)

3°.

Задачи на точку.

Расстояние между точками Mj(Xj,j^pZj) и М2(х2,;^2'^2)

определяется

по

формуле

Если начало отрезка совпадает с началом координат, то

формула

(11)

примет вид

ylx'+y'+z\

(12)

74 Гпава 2

Деление отрезка МуМ^ в заданном отношении Я. Коор-

динаты точки M{x,y,z) делящей отрезок М^М2 в отношении

ММ

ММ^

находятся по формулам

или

Я 1

^ г +

Яг.

л=-1-^.

(14)

Если точка М делит отрезок

М^М^^

пополам, то

Я =1

и фор-

мулы (13) примут вид

+ у. г, + г.

х = ^—^,

г/

= ^^-^, г = ^~^. (15)

2 2 2 ^ ^

Координаты центра тяжести системы п материальных

точек массы

т^.,

расположенных

пространстве, находят по фор-

мулам

2.1.

Заданы начало ^4(3,2,-1) и конец Д1,5,2) вектора АВ.

Найти разложение вектора АВ по координатным осям, его мо-

дуль и направляющие косинусы.

Решение. Найдем по формулам (7) проекции вектора на ко-

ординатные оси

(^Б) =1-3=-2; (v45) =5-2=3; (^Б).=2+1=3.

Отсюда вектор равен АВ = -2i + 3/ +

3fe

, а его модуль

АВ

= ^(^-2/+ЗЧЗ'=л/22,

По формулам (9) направляющие косинусы

2 „ 3 3

cosa

—i=^,

cos р = .—, cosy

= —r=r

V22 V22 >/22 •

ВЕКТОРНАЯ АПГЕБРА 75

2.2.

Найти единичный вектор для вектора

а =

Ъ1

-5/ -Ak .

Решение. Находим модуль вектора

по формуле (2)

\а\ = 7з'+Г-5/+М/ - 5л/2.

хО

Единичный вектор а находим по формуле

-.0 а 3 г 1 т 4 -

|а| 5V2 V2 5л/2

2.3.

Найти сумму векторов а

з1

5k,

b =4i-J

3k, с=-1 -^-ij

lk .

Решение. По формуле (5) находим

b+с

(3-\-4'-1)1+ (2-1

2)]+ (5

+ 3 +

2)k=6i-h3j-\-\0k.

2.4.

Найти разность векторов а(2;4;-\), Ь(4;'-3;5).

Решение. По формуле (5) находим

d-b =(2-4)1

3)]

(-l-5)k

=-2l

1] -6k,

2.5. Определить координаты вектора

, если известно, что

j6|

5 ,

он коллинеарен вектору а =

yjll-

2^ и его направле-

ние совпадает с направлением вектора а.

Решение. Обозначим координаты вектора Ь через х, у, z,

т. е. b ={x,y,z}. Поскольку векторы коллинеарны, то

b = Ха = yjlXi-5Xj + 2Xk , Из равенства векторов

X i +

л/тЯ

- 5Я/ + 2Я^ следует равенство их координат:

х=л/УЯ, у

-5Я,

г =2Я. Так как

|& 1

, то по формуле (2) имеем

^УтЯ^ +(-5Х)^ +(2Xf

5, откуда

= ±-

•

Поскольку напрвле-

^ _ ^ 5

ния векторов а иЬ совпадают, то следует взять

>0,

т. е. ^ = 7

•

Таким образом, координаты искомого вектора будут:

5 25 5

-,у

,г = -.

6^6 3

Гпава

2.6.

На векторах а (3;1;4) и b

(-2;7;1)

построен параллелог-

рамм. Найти величину и направления его диагоналей.

Решение. Из точки А отложим векторы а и В и построим

параллелограмм ABCD (рис. 2.16).

Векторизуем стороны и диагонали параллелограмма.

Из

тре-

угольника ABC диагональ fiD = b -d = (-2 -

Ъ)Т +

(1 - 4)J +

-\-(l-'4)k =-5i +6j -3k. Модуль вектора BD равен

\BD\

yj(-'5f'

+ (-3)^ = v70. Направляющие косинусы оп-

ределим по формулам (3)

5^6 3

cosa = —r=, cosp=—р=-, cosy = —p=.

л/то

VTO VTO

Вектор ЯМ = -Б5 = ~2,5Г + З7-1,5£ Из треугольника

2 ^

ABM находим вектор AM: AM = а + ВМ = -Г + 4/ + 2,5fe.

Отсюда вектор Л С = 2ЛМ равен

'АС

+ 8/ +

5^.

Длина

диагонали А С равна Л С = Vl^+8^+5^ = V90, а ее направление

определяется направляющими косинусами

1^8 5

cosa, = 7==г, cosp, =—7=^, COST, = p=r.

ЗлЯо Зл/Го Зл/Го

ВЕКТОРНАЯ АПГЕБРА 77

2.7. Даны точки А (1,2,-1) и В (А-Ъ,2), Найти проекции

вектора АВ на

ось,

составляющую

координатными осями рав-

ные острые углы.

Решение. По условию задачи направляющие косинусы рав-

ны друг другу и из условия cos^a +

cos^

+ cos V =

следует, что

^ ^^ _ 1 _

cosa-cosp-cos/--^. Вектор АВ имеет проекции

АВ(Ъ,

-5,3/

Отсюда по формуле

(10)

находим, что искомая про-

екция на ось равна Пр,АВ

—^—^+-7=^ =—.

л/з

л/з 7з 3

2.8.

Найти величину и направляющие равнодействующей

^ трех сил F,

{14,5,4},

{-6,2,7},

^з {4,2,9} .

Решение. Находим проекции равнодействующей как сум-

му проекций компонентов

R=l2i+9j-^20k,

Величина равно-

действующей LR = V144

4-81

+ 400 = 25 . Направление

равнодействующей определяется направляющими косинусами

12 ^ 9 4

cosa=—, cosp=—, cosr = ~

25 25 5'

2.9.

Даны точки ^(1,2,3) и Б(-1,4,2). Найти длину отрезка

АВ

координаты точки

С,

делящей отрезок в отношении

= -.

Решение. Применяя формулу (11), находим длину отрезка

Координаты точки С находим по формулам (13)

+ -(-1) ,

+ -4 .

+ -2 ,,

_ 3_1 _ 3_5 _ 3_11

~ 1 ~?' 1 "?' ~ 1 ~4

3 3 3

78 Гпава 2

2.10. Отрезок АВ делится точкой

С в

отношении, равном 2.

По данным точкам А (3,4,-1) и С (2,-3,1) найти точку В,

Решение. Используя формулы деления отрезка в данном

отношении (13), выразим координаты точки В (х^, у^, z^

_(l + A)x~Xj

_{у^Х)у-у^

_^(1

+ A)z-Zj

""'' Я ' ^'^ Я ' '^" Я •

Подставляя данные условия, получаем

З'2-З ^^ 3(-3)-4 31 +

^2=—-— = 15;

у^^^—^

-6,5;

Z2=——— = 2.

2.3.

Скалярное произведение

1°.

Скалярным

произведением

двух

векторов

а и b называ-

ется скаляр (число), равное произведению модулей перемножа-

мых векторов на косинус угла между ними

Й-6 =|а|р|со8ф. (2)

2°.

Свойства

Переместительность

d'b=bd.

(2)

Распределительность

[d-hb)-c={d-c)+{bc), (3)

Скалярный множитель можно выносить за знак скаляр-

ного произведения

(^Xdb^

X(^dby (4)

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля

a^. (5)

Скалярное произведение единичных векторов определя-

ется формулами

ВЕКТОРНАЯ АПГЕБРА

i-i=j-j=k-k=l,

i-j=jk=ki=0.

(6)

3°.

Выражение скалярного произведения через проекции

перемножаемых векторов. Скалярное произведение двух векто-

ров равно сумме произведений одноименных проекций перемно-

жаемых векторов

d'b=a^b^+ayby+a^b^.

(7)

Угол между двумя векторами

(•OS,"--"*-

"А+чА+аА

\а\\ь\

(8)

^al+a]^a]^bl+bl+bl'

Условие перпендикулярности двух векторов

^А+^Л+^А=0-

(9)

Косинус угла между двумя направлениями

пространстве

равен сумме произведений одноименных направляющих коси-

нусов этих направлений

cos(р

cosц cos«2

-ь

cos

р2

+ cos7i cos72•

(Щ

Условие перпендикулярности двух направлений

cos «J cos «2 + cos

cos

cos 72

(11)

4°. Работа A силы

равна скалярному произведению век-

тора силы на вектор перемещения

= \F

cos

[F,S).

(12)

3.1.

Найти

скалярное произведение векторов 2а-ЪЪ

ис

Лс!.

Решение. Находим (25 -3^)(c

4J)=25c+85(i-

-ЗЬ-с-ПЬ!

3.2. Дан ромб ABCD

(рис.

2.17). Доказать, что его диагона-

ли пересекаются под прямым углом.