Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)

Подождите немного. Документ загружается.

700 Гпава 12

Решение. Разбиваем шар на элементарные цилиндрические

трубки, осью которых является данный диаметр

(рис.

12.65).

Эле-

ментарный объем трубки равен dV

—

Inrhdr , где г — радиус

трубки. Высота трубки по теореме Пифагора равна

Рис. 12.65

Учитывая, что плотность шара равна 7? находим

dm =

ATuyrsR}

-r^dm элементарный момент инерции dl

r^dm ,

Таким образом, кинетическая энергия шара, вращающего-

ся вокруг своего диаметра, равна

-Г

(O^dl =

—\\'^dm

2K0yr\\'y[¥^dr.

2 Jo

2 Jo Jo

Делаем замену: R^ -r^ =t^, rdr = tdt, тогда

2лсо^у^^(К^

-t^ydt

—KCo'yR',

8.24. Пластинка

форме параболического сегмента враща-

ется вокруг оси параболы с постоянной угловой скоростью (о.

Основание сегмента

а,

высота

Л,

толщина пластинки

плотность

материала у. Найти кинетическую энергию пластинки.

Решение. Расположим координатные оси, как показано на

рис.

12.66, тогда уравнение параболы будет у

2рх^. Зная ко-

ПРИПОЖЕНИЕ ОПРЕПЕПЕННОГО ИНТЕГРАПА 701

ординаты точки M\—,h

раметр параболы: h

2p—, Р^~Т

, из уравнения параболы находим па-

' 2h

^^^

.м

1АГ

^^У N

Рис. 12.66

Разобьем параболический сегмент на элементарные части

плоскостями, параллельными оси Оу, перпендикулярными плос-

кости сегмента и отстоящими друг от друга на расстоянии Аг.

Объем элементарной части будет AV

dAr. Переходя к

дифференциалу, масса элементарной части равна

y\ QN

ddr. Подставляя сюда высоту элементарной части

\QN\=h-y

h-^

= h

4г

получим dm = yhd

2 \

\dr.

Элементарный момент инерции равен dl

г dm

Таким об-

разом, кинетическая энергия сегмента будет

З-Уг

2 ^-Yi

= —yhd

\-^\dr =

^г'

4 г

3 5 а-

= —yhda .

, 60

-'/г

702 Гпава 12

8.25. Определить количество тепла, выделяемое перемен-

ным синусоидальным током / =

^ШШ

течение периода Г

проводнике

сопротивлением R.

Решение. По закону Джоуля-Ленца количество тепла, выде-

ляемого постоянным током за время /, определяется по форму-

ле е =

о,

24/'Л/. Учитывая,

ЧТО у

нас ток переменный, количество

тепла за промежуток времени Ag = 0,24/^ sin^

(OtRAt

или

0,24Rllsm^(Otdt.

Таким образом, количество тепла за период Т - — равно

—

= 0,12/?/' f ^ (l-'CoslcoOdt

0,24^^—^.

Jo Q)

8.26. Вертикальный вращающийся вал веса Р и радиуса а

опирается на подпятник. Найти работу силы трения между осно-

ванием вала и прилегающей к ней поверхностью опоры при од-

ном обороте вала.

Решение. Сила трения между основанием вала (пятой) и

прилегающей к ней поверхностью опоры (подпятником) равна

F = /лрз, где р — давление вала на поверхность опоры в рас-

сматриваемой

точке,

отнесенное

единице площади опоры,

/а

—

коэффициент трения. Поскольку вес вала Р, то давление на еди-

ницу площади опоры равно р

—у.

ла

Рассматривая/7 как функцию радиуса-вектора

при вычис-

лении полного давления, воспользуемся методом суммирования

бесконечно малых элементов.

ПРИПОЖЕНИЕ ОПРЕПЕПЕННОГО ИНТЕГРАПА 703

Разобьем поверхность трения на элементарные концентри-

ческие кольца, так что все давление сложится из элементарных

давлений, соответствующих отдельным кольцам. Рассмотрим

кольцо, ограниченное окружностями

гЛ-dr.

Площадь этого

кольца приближенно равна

2nrdr.

Сила трения от кольца шири-

НОИ

dr, удаленного от центра вала на г, равна ——^"^^.

Работа силы трения на элементарном кольце при одном обо-

ЛттР

роте 2яг равна dA= r^dr. Таким образом, полная работа

силы трения будет

АщР

47CUP

а 4 ^

^-г dr=—^—-^-jqiPa,

а' а' Ъ Ъ

8.27. Найти силу притяжения, с которой действует матери-

альный стержень длины / и массы М на материальную точку

массы т, находящуюся на одной прямой со стержнем на рассто-

янии а от одного из его концов.

Решение. Сила /^взаимодействия двух точечных масс опре-

ктМ

деляется законом Ньютона г = —-—, где

— расстояние меж-

ду точками, т и М — массы точек, к — коэффициент

пропорциональности.

Масса единицы длины стержня (линейная плотность)

— = const — величина постоянная. Выделим элемент стержня

длиной dx, отстоящий от его конца на расстоянии х. Сила взаи-

модействия выделенного элемента с точечной массой т равна

ктМ

(aVxfl

-——J- dx. Отсюда вся сила притяжения будет

/ ктМ , ктМ 1

Jo /Г/7 4- v^2

Ч(а

хУ I а

ктМ

ЛИТЕРАТУРА

Бугров

я.

С, Никольский

С.

М. Элементы линейной алгебры и

аналитическая геометрия. М.: Наука, 1984. — 190с.

Бугров Я. С, Никольский С. М. Дифференциальное и интег-

ральное исчисление. М.: Наука, 1984. —431с.

Воеводин В. В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980. — 400с.

Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. М.:

Наука, 1999.— 232с.

Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. М.: Наука,

1983.

— 317с.

6. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа.

Альфа, т. 1, 1998. — 687с., т. 2, 1998. — 584с.

Архипов Г. И.,

Садовничий

В. А., Чубариков В. Н. Лекции по

математическому анализу. М.: Высшая школа, 1999. —

695с.

8. Беклемишев

Д.

5. Курс аналитической геометрии и линейной

алгебры. М.: Наука, 1984. — 320с.

9. Пискунов П. С. Дифференциальное и интегральное исчисле-

ние.

М.: Наука, т. 1, 2001. — 415с., т. 2,

2001.

— 544с.