Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)

Подождите немного. Документ загружается.

10 ПРЕПИСПОВИЕ

ми с индексом

2°.

Номера рисунков — двойные

(4.6).

Здесь пер-

вая цифра указывает номер главы, вторая — номер рисунка в

главе.

Содержание всего учебного пособия определяется програм-

мой курса математики для вузов. Первый том (главы 1-12) со-

держит материал, соответствующий программе 1-го курса вуза.

Второй том (главы 13-20) содержит материал, соответствующий

программе 2-го курса вуза. Третий том (главы 21-34) содержит

материал, изучающийся на старших курсах и связанный в той

или иной степени со специальными дисциплинами и профилями

образования различных вузов.

Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую

признательность коллективу кафедры высшей математики СЗТУ

за ряд ценных замечаний, направленных на улучшение настоя-

щего пособия и подготовку его к изданию. Особенно автор бла-

годарен

доц.

Смирнову В.Н. за помощь в компьютерном наборе

и редактирование ряда

глав,

а также

доц.

Карповой Е. А. и проф.

Турецкому

В.В.

за просмотр глав 1-9 в рукописи. К сожалению,

автор смог лишь частично учесть сделанные ими замечания.

Глава 1

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ*

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

1 »1

.Определители.

Способы вычисления

1°.

Определителем

2-го порядка называется число, обозна-

чаемое выражением

а, 6,

«2 Ь,

= сф^-аф,.

(1)

где «р

а2,

bj,

— элементы определителя.

Определителем 3-го порядка называется число, обозначае-

мое выражением

а,

Ьг

Си

Cl\

Съ\

••(фгСъ

+сфъС\

^сфхСг

-(hh^x "^^i^j

-артРг-

(2)

Определителем п-го порядка называтся число

Гпава 1

deL4 =

^1 ^2 - ^п

^1 ^22 - ^п

а.

'п\

а.

'п2

а^

(3)

где

a.j

— элемент определителя, находящийся на пересечении

/ -й строки иу -го столбца.

2°.

Свойства определителей.

Величина определителя не изменится, если заменить стро-

ки столбцами, а столбцы — строками, не меняя их порядка.

Если поменять местами две строки (столбца) определите-

ля,

то определитель изменит знак.

Чтобы умножить определитель на

число,

достаточно ум-

ножить на это число все элементы какой-нибудь строки (столб-

ца),

т. е. общий множитель, содержащийся во всех элементах

строки (столбца), можно вынести за знак определителя.

Определитель равен нулю, если все элементы какой-ни-

будь строки (столбца) равны нулю.

Определитель с двумя одинаковыми столбцами (или стро-

ками) равен нулю.

6. Если элементы некоторого ряда определителя представ-

ляют сумму двух слагаемых, то определитель может быть пред-

ставлен в виде суммы двух определителей

а.

bi+c,

bj+Cj

«1 b,

Oj ^2

«1 С,

«2 ^21

(4)

Величина определителя не изменится, если к элементам

одного ряда прибавить элементы параллельного ряда, умножен-

ные на одно и то же число

(5)

о, 6,

«2 ^2

О, b^+

kcL^

Оз ^2

•*"

ОПРЕПЕПИТЕПИ и

МАТРИиЫ.

СИСТЕМЫ

3°.

Вычисление определителей.

Значение определителя второго порядка находится

по

фор-

муле (1).

Правило Саррюса. а) Для вычисления определителя

3-го порядка приписывают к нему снизу две первые строки и

берут сумму произведений трех элементов расположенных на

главной диагонали и «прямых», параллельных главной диаго-

нали, со знаком минус берут сумму произведений элементов,

расположенных на побочной диагонали, и «прямых», параллель-

ных ей

а.

\У

а^ьГ)с,

-a^bjC-^

ч-аз^зС]

+аф^2

—а-р^с^ —ар^с^

—a-Jbfy

а, ;Ь,

а.

-"Х

б) Правило Саррюса имеет еще и другой вид. К определи-

телю приписывают справа два первых столбца

вычисляют сум-

му произведений элементов расположенных на главной

диагонали и «прямых» параллельных ей и со знаком минус вы-

числяют сумму произведений элементов, расположенных на по-

бочной диагонали, и «прямых», параллельных ей

а,

а.

Ч/Х К У

аз 6з

а^ Ь^

а, .3

^ ^ \

+ + +

Правило треугольников. Определитель равен алгебраи-

ческой сумме произведений элементов, расположенных на глав-

Гпава 1

ной и побочной диагоналях и в вершинах треугольников с ос-

нованиями параллельными диагоналям. Произведения элемен-

тов,

расположенных на побочной диагонали и в вершинах

треугольников с основаниями параллельными ей, берутся со

знаком минус

Разложение определителя

по

элементам какой-либо стро-

ки или столбца.

а)

Минором

некоторого элемента определителя называется

определитель, получаемый

из

данного путем вычеркивания стро-

ки и столбца, на пересечении которых этот элемент находится.

Так для элемента

а.,

минор обозначается М-..

б)

Алгебраическим дополнением

некоторого элемента опре-

делителя называется

его

минор,

взятый

со

знаком

плюс,

если

сум-

ма номеров строки

столбца, на пересечении которых находится

этот элемент—число четное

и со

знаком

минус,

если эта

сумма —

число нечетное. Алгебраическое дополнение элемента

а.,

будет

в) Всякий определитель равен сумме произведений элемен-

тов какого-либо ряда на алгебраические дополнения этих эле-

ментов

(1еМ

ХаД.. (6)

Данное свойство справедливо для определителей любого

по-

рядка

может быть использовано для

их

вычисления. Так опре-

делитель 4-го порядка может быть, к примеру, разложен по

элементам 2-й строки в виде

ОПРЕПЕПИТЕПИ и МАТРИиЫ. СИСТЕМЫ

а, 6,

^2 ^2

^4 К

С. d,

^2 ^2

С, d,

С4 flf4

(-1Га,

+(-1Г'.,

6, с, rfj

&3 ^3 ^3

^4 ^4 ^4

а^ 6j fl?j

Оз b, d.

а, b.

+(-1ГЧ,

(-!)"*"<'=

а, с, flf,

Оз Сз ^3

^4 ^4 <^4

О^ 6, С,

Оз 6з ^3

^4 ^4

При вычислении определителей высших порядков целе-

сообразно, используя 7-е свойство определителей (2°), добить-

ся того, чтобы все элементы какого-либо ряда, кроме одного,

стали нулями. В этом случае определитель будет равен про-

изведению этого элемента на его алгебраическое дополне-

ние,

т. е. на определитель, на один порядок меньший

исходного.

Метод приведения к треугольному виду. Суть метода

заключается в таком преобразовании определителя с помощью

его свойств, когда все элементы, лежащие по одну сторону од-

ной из его диагоналей, равны нулю. В этом случае определи-

тель равен произведению элементов, расположенных на этой

диагонали.

4°.

Теорема

аннулирования.

Сумма произведений элементов

какой-либо строки на соответствющие алгебраические допол-

нения другой строки равна нулю

^/1^1

4-2^,2+-ЧЛ^^О

при 14^ J.

Отсюда следует фундаментальное тождество теории опре-

делителей

^/l^yi+M,2+

^'^ ^'^ [о при i^j

гпава 1

Аналогичные тождества справедливы и в отношении

столбцов

ГА

при i = /

'"^^^ 2' ^' '^""J [о при ii^i

5°.

Произведение

определителей.

Произведение двух опре-

делителей одинакового порядка равно определителю того же

порядка с элементами равными сумме произведений /-й строки

на соответствующие элементы у-го столбца

^21 ^22

^1п

^т

^п2

а„

к 6,2

^1п

Ь„.

h^ ... h„

ni nl nn

^21 ^22 ^2rt

^nl ^nl

где

*=i

6°.

Определитель

A =

1 a, of

/l-l

1 a^ a] ... Oj"

1 a„ at

^n-\

образованный элементами «y,«2' .... ,a^ называется определи-

телем Вандермонда

или

степенным.

Определитель равен нулю,

если какие-либо два элемента

а.

равны между собой.

Вычислить опредлитель Вандермонда позволяет метод ре-

куррентных

соотношений,

который выражает данный опреде-

литель, разлагая его по элементам столбца или строки, через

определители

более

низкого порядка

Д.

=K-^i)K-i-^i)-.(a2~^i)A.-i-

ОПРЕПЕПИТЕПИ и МАТРИиЫ. СИСТЕМЫ

1.1. Вычислить определители:

а)

|3 -Л

1 sinx cosx

-cosx siru:

Решение, а) По формуле (1) имеем:

б)

3 -4

2 5

=3-5-(-4)-2=23.

1 siiw cosxl

|-cosx sinx]

= sin^x+cos^A:=l.

1.2. Вычислить определители:

а)|

2 -A 1

3 1 -2

1 5 3

a 1 -a

1 a 1

-a 1 -a

)

0 X

x 1

-1

no правилам Саррюса и треугольников.

Решение, а) Используем первую схему Саррюса, т. е. при-

пишем первые две строки снизу

2-4 1|

3 1 -2

=2-1

•

3+3- 5-1+1(-4)(-2)-1

• 1 •

1-2- 5(-2)-ЗИ)3=84.

1 5 з|

2 -4 1

3 1 -2

б) Используем вторую схему Саррюса, т. е. припишем пер-

вые два столбца справа

а I -а

1 а 1

-а 1 -а

а 1

1 а =

а-

а{-а)-\-\\{-а)+{-а)\Л-{-а)а{-а)-

-а 1

-\Л- a-i,-a)\\=-2a{a^+\).

Гпава 1

-1

х\

х'

-8

-2

-1

-2

в) Используем правило треугольников

= 1JCJC+0- 10+2(-1)X-0XJC-1(-1)1-20X=

=jc2-2x+l=(x-l)2.

1.3. Упростить

вычислить определитель

Решение. Проще всего получить три нуля в третьем столб-

це.

Для этого прибавим элементы второй строки к элементам

четвертой

А=:

Теперь умножим элементы первой строки на(-1)

сложим с

элементами третьей строки

Умножая элементы второй строки на (-2)

складывая

эле-

ментами первой строки,получим

-8

-4

-2

-1

4 3

-8 5

-1 1

-4 3

-2

-3

-1

ОПРЕПЕПИТЕПИ И MA

ТРИиЫ.

СИСТЕМЫ

20 -7 10

-1 1 -3

^3-1

20 -7 О 10

-8 5 1 -2

-1 10 -3Ul.(-l)(3+2)

|-4 3 О -l|

Складывая второй столбец с первым, будем иметь

13 -7 10|

= (-1)

-1

1 -3

3 -1

Умножим второй столбец на

и сложим

третьим

= (-1)

-1

-7

= (-1)

-1

-11

-93.

1.4. Вычислить определитель

п-то

порядка

|1 1 1 ... 1

1 О 1

1 1 О

II 1 1 ... О

Решение. Воспользуемся свойством

и прибавим элементы

первой строки, взятые со знаком минус, к элементам всех дру-

гих строк, тогда, разлагая по элементам 1-го столбца, получим

111..

0-1 0 ..

0 0 -1 ..

0 0 0..

. 1

. 0

. -1

Ч-1)

1+1

-1 о

о -1

-1

=(-1)

/1-1