Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)
Подождите немного. Документ загружается.
20
Гпава 1
1.5. Перемножить определители
Реш(
2 -3 1
4 0 5
1 -2 3
ение.
и
1
4
-2
3
1
4
2
4
1
-3 1
0 5
-2 3
1 3 4
4 1 5
-2 4 3
21+(-3)-4+1(-2)
2-3+(-3)-1
+
1-4
2-4+(-3)-5
+
1-3
4И-0-4+5(-2)
4-3
+
01 + 5-4
4-4+0-5
+
5-3
М+(2)-4+3(-2)
1-3+(-2)-1
+ 3-4
1-4+(-2)-5+3-3
1-12 7 -41
-6 32 31 =-363.
-13 13 з|
Если вычислить непосредственно данные определители, то
получим тот
же
результат
=
-11;
33 (-11) =
-363.
2
4
1
-3 1
0 5
-2 3
=
33;
1 3 4
4 1 5
-2 4 3
'^ 2
1
=
0.
1.6.
Найти X из
уравнения
I
3 X
-1
X
I
1 О с
Решение.
Раскроем определитель:
А
= 3ах
+
л:^
-2x
+
ax^
=x('3a
+
x-2
+
axj = 0.
Откуда х = (2-Ъа)/(а + \),
jc
=
0.
ОПРЕДЕПИТЕПИ И МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ
21
1.7. Вычислить определитель Ван дермоида
\ а а} а?
\ b Ь^ Ь'
А4 =
\ с с^ с"
|1
d cf rf"
Решение. Вычтем первую строку из остальных строк, тогда
получим
О Ь-а Ь--а- Ь'-а'\
\ =
О с-а с^-а^ с^-а^
О d-a d^-a^ d^-a^
(-1)
1+1
b-a {b-a){b
+
a) (6-а)(б"+а6 + а^)
с-а (с-а)(с + а) (с-а)(с^+ас + а^)
d-a {d-a){d-{-a) {d-a)(^d^+ad
+
a^^
1
b +
a b^+ab-\-a^
1 c
+
a c^+ac
+
a^
1 d
+
a d^+ad
+
a^
= {d-a){c-a){b-a)
Снова вычтем первую строку из остальных
А4 ={d-a)[c-a){b-a)
1
6
+ а
b^+ab
+
a^
О
с +
а-Ь-а с^ -^ас-Ь^ -аЬ
О d
+
a-b-a d^ +ad-b^ -ab
= {-lf\d-a){c-a){b-a)
c-b {c-b){c
+
b)+a{c-b)
d-b {d-b){d+b)-ha{d-b)
22
Гпава 1
М
ci + b +
c
= {d-a){c-a){b-a){c-b){d-b)].^ ^^^^^
Вычитая из второй строки первую, получим
ч|1 а
+ Ь +
с
A,={d-a){c-a){b-a){c-b){d-b)\ ^_^
= {d-a){c-a){b-a){c-b){d-b){d-c).
1Л
Системы Аинейныых уравнений*
Правило Крамера
1°.
Решение системы двух линейных уравнений
с
двумя не-
известными
по формулам Крамера имеет вид
А
(1)
^ А ' ^ А
(2)
где
А
=
а,
«2
6,
ь.
. к
=
* X
с, 6,
Сг
Ь,
' А.=
' У
а, с,
<h Cl\
основной
и
дополнительные определители системы.
При решении системы могут встретиться три следующих
случая:
а)
А
^
О
— система совместна, имеет единственное реше-
ние;
б)
А
=
О,
но А
9^
О
или А ?t
О
— система несовместна, не
•^ у
имеет решения;
ОПРЕПЕПИТЕПИ и
МАТРИиЫ.
СИСТЕМЫ
23
в)
А
=
А^
=
А^
=
О
— система неопределена, т. е. имеет бес-
численное множество решений (система сводится
к
одному урав-
нению).
2°.
Система двух однородных линейных уравнений
с
тремя
неизвестными
а^х
+
b^y
+
c^z
=
О
имеет ненулевые решения, определяемые формулами
(3)
x = k
Ы
y = -k
«2
^
(4)
где к — произвольное число.
Если все определители (4) окажутся нулями, то система сво-
дится к одному уравнению.
3°.
Однородная система трех линейных уравнений с тремя
неизвестными
\а2Х-\-Ь2У +
с^г = 0,
\a^x-\-b^y
+
c^z
= 0.
При решении системы возможны три случая:
а) Основной определитель системы
(5)
А
=
а, Ь, с,
Ог К Сг
а, Ь, с.
ФО.
Система имеет только нулевое решение.
б) Д =
О,
но, по крайней мере, найдется один элемент, ми-
нор которого отличен от нуля.
В
этом случае уравнение, в кото-
ром данный элемент является коэффициентом при неизвестной,
24 Гпава 1
является следствием двух других уравнений и задача сводится к
решению этих уравнений.
Таким образом, задача сводится к решению системы (3) и
имеет бесчисленное множество решений.
в)
А
=
О,
и все его миноры равны нулю. В этом случае два
уравнения являются следствием одного, т. е. система сводится к
одному уравнению с тремя неизвестными, совместна и имеет
бесчисленное множество решений.
4°.
Система трех линейных неоднородных уравнений
с
тре-
мя неизвестными
При решении возможны три случая:
а)
А ;^
О,
система имеет единственное решение, определяе-
мое по формулам Крамера аналогично решению (2)
^х \ к
А "^ А А ^ ^
б)
А
=
О,
но найдется, по крайней мере, один элемент, ми-
нор которого не равен нулю. Если в главном определителе за-
менить столбец, где находится этот элемент, столбцом из
свободных членов и дополнительный определитель не будет
равен нулю, то система несовместна. Если же дополнительный
определитель будет равен нулю, то уравнение в котором дан-
ный элемент является коэффициентом при неизвестной, будет
следствием двух других уравнений и система имеет бесчислен-
ное множество решений.
в)
А
=
О,
и все его миноры равны нулю. Если хотя бы один
минор дополнительных определителей отличен от нуля, то си-
стема несовместна. Если же все миноры дополнительных оп-
ОПРЕПЕПИТЕПИ и
МАТРИиЫ.
СИСТЕМЫ
25
ределителеи равны нулю, то система сводится к одному урав-
нению, совместна и имеет бесчисленное множство решений.
2.1.
Пользуясь определителями 2-го порядка решить сис-
темы:
ГЗх
+
2г/
=
12;
ГЗх-2г/ = 4;
Гх
+
^/
= 3;
а)\
Ь)\ с){
[4x-i/ = 5; 1бх-4г/ = 9; ^[2х + 2// = 6.
Решение, а) Главный определитель системы
|3 2|
А
=
|4 -1|
Дополнительные определители
|12 2|
Отсюда по формулам Крамера
=
-11.
12
5
= -33.
-33
А -22 А„
А -11 А -11
= 3.
А
=
= -12 +
12
= 0;
А
=
б)
3 -2|
6
^1
Система несовместна.
в)
1 1|
2 2
4 -2
9 -4
= 2^0;
А^
=
= 39^0.
А
=
= 0; А =
3 1
6 2
= 0; А =
1 3
2 6
=
0.
Второе уравнение системы есть следствие первого; система
имеет бесчисленное множество решений.
2.2.
Найти решения системы
\2x-y
+
5z
=
0;
\зх-4у-7г
=
0.
26
Гпава 1
Решение. Ненулевые решения находим по формулам (4)
x-k
-1 5
~4 -7
:
21k; y
=
-k
:29AJ;
z = k
2 -1
3 -4
=
-5k,
где к
—
произвольное число.
Задаваясь различными значениями к получим бесчисленное
множество решений.
2.3.
Решить системы:
а)
3x
+
2y
+
4z^0; б)
5x
+
y-8z
=
0;
4x
+
2y
+
3z^0,
x
+
2y-4z-0;
2x
+ 3y +
z
=
0;
3x
+
5y-3z
=
0.
Решение, a) Главный определитель
A
=
3 2
5 1
4 2
=
-13?iO.
Система имеет только нулевое решение х =у
=
z =0.
б)
U~9-40
+
6
+
36-5
+
12-0.
1 2 -4
2 3 1
3 5-3
Минор первого элемента первой строки
не
равен
нулю,
сле-
довательно, система сводится к двум уравнениям (третье урав-
нение есть сумма первых
двух).
Решая первые два уравнения по
формулам
(4),
получим
x
=
k
2 -4
3 1
=
14;fe;
у
=
-k
1 -4
2 1
=
-9k; z
= k
1 ?,
2 3
—k
ОПРЕПЕПИТЕПИ и
МАТРИиЫ.
СИСТЕМЫ
27
2.4.
Решить системы:
а)
Г
2х-3^ + г =
14;
б)
[4x
+
3y
=
2z
=
l0,
в) fx + 2r/ + z = l; г)
x
+
2y
+
z
=
l;
x
+
2y
+
z
=
l,
Решение, а) Находим главный определитель
|2 -3 II
2x
+
y-{-z
=
2;
X
+
//
+ 2z = 2;
Зх +
2г/
+ 3г
= 4,
2x
+
y-{-z
=
3;
2x
+
y
+
z
=
2;
2x
+
y-\-z
=
3,
A
=
1 ~3
3 2
=4+15+36-4+30+18=99.
и
дополнительные
\=
= 297;A^ =
14 -3 1
7 1 -3
10 3 2
По формулам Крамера
14
7
10
1
-3
2
:-198;Д =
-3 14
1 7
3 10
=
198.
А, 297 _ Ay 198
А 99 А 99
•.-2-г = ^
' А
198
99
= 2;
б)
А
=
2 1 1
1 1 2
3 2 3
= 0;А,=
2 1 2
1 1 2
3 2 4
=
0.
Третье уравнение есть сумма первых двух и система сво-
дится к решению первых двух уравнений
\2x
+
y
+
z
=
2;
[x +
y
+
2z
=
2,
\2x
+
y
=
2'-z;
[ x
+
y
=
2-2z,
28
Гпава 1
д=
2 1
1 1
= 1;А =
2-2 1
2-22 1
= 2;
А
=
2 2-2
1 2-22
= 2-32,
А А
:2-32,
где
Z
— произвольно, т. е. система имеет множество решении.
В)
2
2
2
и все миноры равны нулю.
Поскольку
все
миноры дополнительных определителей рав-
ны нулю, то система сводится к одному уравнению
X =
l-2y-z,
где
у,
Z —
произвольны.
г) |2 1 11
2 1 1 =0
2 1 l|
и все миноры равны нулю.
Поскольку миноры дополнительных определителей отлич-
ны от нулей, то система несовместна.
2.5.
Определить значение коэффициента а, при котором
система линейных однородных уравнений имеет ненулевое
решение
\ах
+
4г/
- 5г =
О,
\9x-\-Sy-lz
=
0,
[Зл:
+
4^-32 = 0.
Решение. Поскольку система однородная, то она ненуле-
вое решение имеет только в том случае, когда определитель си-
стемы
А
равен нулю
ОПРЕаВПИТВПИ
и
МАТРИиЫ.
СИСТЕМЫ
29
д=
а
9
3
=
0.
4
-5
8
-7
4
-з|
Разрешая определитель относительно
а,
получим
-24а-
-180=84+120+28а+108
=
О,
откуда
а
= 9. Подставим найденное
значение
а = 9
в систему.
Поскольку определитель системы
А
=
О,
а
среди миноров
второго порядка имеются отличные от
нуля,
к примеру,
8
-7|
14
-3
7W,=
= 4?t0.
то одно
из
уравнении является следствием двух других,
и си-
стема равносильна системе двух уравнений
с
тремя неизвест-
ными
Г9х
+ 8г/-72
=
0,
[Зд:
+ 4г/-32
= 0.
Решение находим по формулам (4)
x-k
8 -7
4 -3
=
4/г,
г/
=
•—k
9 -7
3 -3
=
6/г,
z
=
k
9 8
3 4
= \2k
или
X
-2к,у-
Ък,
2 = 6/:, где к
—
произвольное число.
Задаваясь различными значениями
к,
получаем бесчислен
ное
множество решений.
2.6. Решить систему:
<
2х +
у = 4,
4y
+
3z
=
n,
5z
+
2u
= \9.
u
+ 7v
=
9,
6и-<-5х
= ] 1.