Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)
Подождите немного. Документ загружается.
40
Гпава 1
3.
{А
-^В)^
=
А^
+
В^
—
сумма
{А -^В)
предполагает, что мат-
рицы
AVLB
имеют одинаковую размерность;
4.
{АВу^
= В^А^—из возможности перемножения матриц А
и В, следует возможность перемножения матрицы 5'" на А^,
5. Е^
=
Е — операция транспонирования не изменяет еди-
ничную матрицу.
^2 4^
4.1.
Дана матрица А =
3 6
5 1
V
Найти
А'"
и
(А'")"
Решение. Меняя строки на столбцы, получим
^2 3 5"^
А'"
=
4 6 1
Если еще раз поменять строки на столбцы, то получим
(А^Г=\
3 6
5 1
т. е. исходную матрицу А,
V
4.2.
Даны матрицы А =
{А+В)"^
и
А'^-^В'^,
Решение.
(2 з^
6 4
Ь
ч
. в=
(3
1
2
-п
2
5
Найти
А +
В =
А"'
=
5 2
7 6
5 6
V
(^
+
5)"
=
Г5 7 5^
2 6 6
'2 6 3
3 4 1
5"
=
3 12
-12 5
\
ОПРЕОЕПИТЕПИ и МАТРИиЫ. СИСТЕМЫ
41
отсюда
Л"'+Б"' =
'5 7 5^
4.3.
Даны матрицы А =
зать,
что
{АВТ=В'»А'».
Решение. Находим, АВ =
2 6 6
2 3
5 =
Г 2 4 П
-12 3
. Дока-
f3 2 -2^
1 14 11
Г
Отсюда (^АВУ =
П
2 14
-2 11
V
Находим
А"'
=
Что и требовалось доказать.
(
'
^1
-1 3
иЕГ =
\ J
(7.
4
1
^
"М
2
^\
)
отсюда
Я"У4'"
=
ГЗ
2
V
\\
14
1.5. Обратная матрица
Обратной матрицей по отношению к заданной квадратной
матрице А называется такая квадратная матрица, обозначаемая
А'^^
которая удовлетворяет равенствам
АА-^^Е^
А-^А=Е,
Теорема,
Для того, чтобы квадратная матрица А имела об-
ратную матрицу
А~^,
необходимо и достаточно чтобы матрица
А была неособенной (det Л
9^
0), тогда обратная матрица опре-
деляется формулой
42
Гпава 1
deL4
А А
^п1
А ^
Л/г
Чп
или л ' =
deU
А 2 ^2
^п\
Ы2
1^
i^/i>
t\,t%,
й
Таким образом, для получения обратной матрицы
А~^
сле-
дует все элементы матрицы А заменить их алгебраическими до-
полнениями, полученную матрицу транспонировать
и
разделить
nadet^.
Свойства:
1.
Не существует двух различных обратных мат-
риц для данной матрицы А.
2.
Определители прямой и обратной матрицы взаимно об-
ратны
deU-^=-^.
det^
3.
Обращение обратной матрицы дает исходную матри-
цу (^"^ Г ^
4.
Обратная матрица произведения матриц равна произве-
дению обратных матриц в обратной последовательности
(АВу'^В-'А-\
detЛ^O; detB^^O.
5.
Операция обращения не изменяет единичной матрицы
6. Транспонирование и обращение матрицы не зависит от
последовательности этих операций
(^4"^)"*
=
{А~^У^.
, найти А~
2 1"
5.1.
Дана матрица А =
ОПРЕПЕПИТЕПИ
и
МАТРИиЫ.
СИСТЕМЫ
43
Решение. Находим определитель detЛ
=
4
-5
2
1
= 14;^0
и
алгебраические дополнения
л,, = (-1)^
1
=
1;
А^^
=
{-\^
•2
=
-2;
Л,
=
(-1У(-5)=5;
Л,, =
eiy-4
= 4.
Отсюда
14
Г1
-21
5
4
1Г
1 5
14
5.2.
Дана матрица
А =
Решение. Находим
1
4
Л
5
2 5
3
1 2
-2
4
найти
А '.
1
4 -3
deM=
5 2 5 =22.
13
1 2I
Поскольку deti4 ^t
О,
то
Л"' существует
л-'=-
1
^А
А А ^
/i|,
/1,, /ij,
(1е1Л
А 2
Аг Д
32
Аз
Аз А
Находим алгебраические дополнения
2
5
1
2
А.=Н)
Аз=Н)
= -1;Дз=(-1)'
5 5
3 2
= 5;Аз=(-1)'
5 2
3 1
=
-1;
4 -3
1 2
1 4
3 1
=
-11;
Л,=(-1)
=
11;
4,=(-l)
1 -3
3 2
4 -3
2 5
И;
=
26;
44
Гпава
1
Отсюда
1 -3
5 5
=
-20;
Аз=(-1)'
1 4
5 2
:-18.
22
М -11 1(Л
5 11 -20
-1 11 -18
/
5.3.
Даны
две
матрицы
А
=
2 3
-1 1
. В =
1 О
4 -3
Доказать, что: а)
(АВУ^
=
В~^А-^;
б)
(А^^У^
= (.4-')"'.
fl4 -9Л
Решение,
а) Находим произведение матриц
АВ
•
3 -3
det(AB)
= -l5;
(АВ)-'=-
-3 9
-3 14
V
/
Находим обратные матрицы
отсюда
л-=1
в-м-'=-—
15
1 -ЪЛ
1 2
В-'=-
I,- dety4=5;
detB
=
-3.
^3 Q\
-4 1
V
Г-3 OYl
-3'|__
1 (-Ъ 9\
[-4 х{х
2f-TI[-3
14 J
Что
и требовалось
доказать,
б) Транспонируем матрицу
^4;
(2 -П
А'
=
\;
<1еЫ =
5;
(А^
У =-
( 1 \Л
•3 2
Находим обратную матрицу
А =
lO -3
1 2
L
отсюда
Что
и требовалось
доказать.
-3 2
\
ОПРЕПЕПИТЕПИ и
МАТРИиЫ.
СИСТЕМЫ
45
1«6*
Матричный метод решения системы
линейных уравнений
Пусть дана система линейных уравнений
<
Если ввести матричные обозначения
Л =
*12
а
22 а-
2л
fl^,
п\
а
л 2
а
/v Л
, Х =
v^^y
, В =
ГО
v"..
то систему можно записать матричным уравнением АХ - В. Ре-
шение системы матричным методом определяется соотношени-
ем Х =
А-^В\
dtiA^Q.
6.1.
Решить матричным методом систему уравнений
2х~3г/н-г = 17;
[5x + r/-3z = ~2.
Решение. Запишем исходные матрицы
^4
Л=:
3
-3
1
2^
1
-^J
, х
=
(хЛ
У
Z
\ )
. в=
Г16^
17
-2
Найдем
detA =
4
2
5
3
-3
1
2
1
-3
:99?^0.
46
Гпава 1
Находим обратную матрицу
^8 11 17^'
И -22 11
9 О -18
99
V
_1_
99
/
V
8
11
17
11
-22
11
9^
0
-18
Отсюда
г
99
11
17
11
-22
11
л/
О
-18
7
16
17
,-2 ,
99
/
V
297 ^
-198
495
-2
Таким образом х = 3; у --2\ z = 5.
1
Л. Решение системы линейных уравнений
методом исключения (метод Гаусса)
Решение системы линейных уравнений с помощью формул
Крамера целесообразно для систем двух и трех уравнений. Для
определителей четвертого и высших порядков было бы много
повторяющихся вычислений, поэтому гораздо удобнее пользо-
ваться методом Гаусса.
Суть метода исключения неизвестных заключается в сле-
дующем. Пусть дана система
Сначала делим первое уравнение на а^р Затем умножаем
его на
«21
и вычитаем из второго. Далее умножаем уравнение на
«31
и вычитаем из третьего. Продолжая процесс, приходим к си-
стеме, где только первое уравнение содержит х^. Первое урав-
нение оставляем в покое.
ОПРЕПЕПИТЕПИ И MA TPHUbL СИСТЕМЫ
47
Аналогично исключаем из оставшихся уравнений х^ и, про-
должая вычисления, преобразуем систему к ступенчатому виду
^2 •^••••^^2п^« ~^1>
Из полученной системы видно, что все неизвестные нахо-
дятся последовательно из последнего выражения.
7.1.
Дана система уравнений
[2х,
- Х2
Зх, + 4^2
[Зх,
-2^2
- h
-2хз
+ 4хз
= 4,
=
11,
=
11.
Доказать ее совместность и решить: а) методом Гаусса;
б) методом матричного исчисления.
Решение. Составим и вычислим определитель
|2 -1 ~1|
д= 3 4 -2 =60,
|з ~2 41
следовательно, система совместна.
а) Решение методом Гаусса. За ведущее уравнение примем
первое уравнение. Исключим Xj из второго и третьего уравне-
ний, прибавив ко второму и третьему уравнению ведущее, умно-
женное на —. Получим
2
11
-1 -S
1 11
—X, +—X, =5.
2 ' 2 '
48
Гпава 1
Второе и третье уравнения образют первую подсистему. За
второе ведущее уравнение примем второе уравнение. Исютючая
х^
из третьего уравнения, получим
^Л/\ Л'у J\fj •"" I ^
И -1 -s
60 60
-х,
=•
11 ' 11
Отсюда имеем: x,=3,
^^2=1,
Хз=1.
б) Матричный метод. Запишем исходные матрицы
А =
(2
3
3
-1
4
-2
-О
-2 Х =
/v Л
Х-,
В =
/ 4^
11
Найдем det А
2 -1 -1
det^= 3 4 -2
|з -2 4
Находим обратную матрицу
= 609^0.
60
12
6
6
Х = А-'В
V
J_
60
/
V
-18
11
1
12
18
•18
-18
1
11
\ (
_ 1
~60
) \
6
11
1
\Г л\
1
И
11
12
-18
-18
_J_
~60
6
11
1
^80^
60
60
6^
1
V
Гз^
1
Отсюда: x,=3, х^=1, х^= 1.
ОПРЕПЕПИТеПИ и
МАТРИиЫ.
СИСТЕМЫ
49
7.2.
Решить систему методом Гаусса
4x + 5z +
2^
=3,
Ix-y
+
z-^-t =1,
2x^y-\-Az =1.
Решение. Умножим первое уравнение на 4
и
вычтем из него
второе, затем умножим первое на 2 и вычтем из него третье и
четвертое уравнение. Приходим к системе, где только первое
уравнение содержит х
4i/-z+2^
=
-3,
Ъу^гл-1 =-1,
y-2z-b2t
=-1.
Далее умножаем последнее уравнение на 4 и на
3
и вычита-
ем его из второго и третьего уравнения
y-2z+2t
=
-l
lz-6t =1,
72-5^
=2.
Наконец, вычитаем из последнего третье уравнение
хл-ул-z + /=0,
y-2z-^2t=-\,
lz-6t
=
l
t
=
\.
Отсюда / = 1, z= 1,
Д'
=
-1,
л:
=
-1.