Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)

Подождите немного. Документ загружается.

80 Гпава 2

Решение. Векторизуем стороны

диагонали ромба, как по-

казано на

рис.

2.17.

Тогда имеем

~А£

'АВЛ-

5С,

Ш = Ш

~АВ.

Поскольку

~DA =

-ВС, то DB = АВ -ВС. Составим скалярное

произведение векторов^С и D5: ACDB =

(1B+JC)(1B-W\

= (1B)^ -{Bcf =0, так как в ромбе все

стороны равны и U5

шС. Поскольку скалярное произведе-

ние

векторов—диагоналей АС и DB равно

нулю,

то

эти

векто-

ры

взаимно-перпендикулярны, что

требовалось доказать.

Рис. 2.17

3.3.

Найти

косинус угла между векторами a

= 2i

-3]

5к,

b=i-j

3k.

Решение. Используя формулу

(8),

имеем

а В aj)^+ab +ajj.

COS'"

»" ^^ ^^

^ '

\а\\ь\

21 +

(-3)(-1)+5-3

_ 20

д/2Ч(-3)Ч5^^1Ч(-1)Чз^ >/418"

3.4.

Определить углы треугольника ABC с вершинами

^(1,1,1);

5(2-1,3); и С(0А5). _ _

Решение. Найдем координаты векторов АВ и АС :

^45(1,-2,2),

yiC

(-1,-1,4). Угол между ними находим по форму-

ле (8)

ВЕКТОРНАЯ

АПГЕБРА 81

1(-1)

(-2)(-1)

+ 2-4 л/2

COS

А.

^ ^ ^

^ ^

^ z=. •

VI'+(-2)42V(-1)4H)44^

2 '

^=45°.

Найдем координаты векторов В А (-1,2,-2); и 5С (-2,1,2).

Отсюда угол между ними

cosi>=

, -'(-г)^2.Ц.(-2).2 ^д.

^,,„.^

V(-l)'

+ (-2)'

V("2)'

+14

следовательно, С = 45°.

3.5.

Заданы направления /^(45°;45°;90°) и /2(45°;90°;45°).

Найти угол

(р

между ними.

Решение. По формуле (10) имеем

cos<p = cos45°cos45°H-cos45°cos90°+cos90°cos45° =~ .

Отсюда

(р

=60°.

3.6. В плоскости Оху найти вектор а, перпендикулярный

вектору

{3,

-4,12} и имеющий

ним одинаковую длину.

Решение. Пусть вектор а = хГ + ^7 . Из условия перпенди-

кулярности векторов имеем Зх-4у=0. Длина вектора b будет

л/9

+ 144=13,адлина|й| = 7^^+у

. _2

Следовательно, jc^+j'^=169. Поскольку

х-'тУ,

то

—/+/=169=:>j;

= ±—,x = ±—.Откуда a=±—(4i +3j) ,

3.7. Найти единичный вектор Я, одноврменно перпендику-

лярный вектору а

{5,-4,3}

и оси абсцисс.

Решение. Пусть вектор п=х1

у]

Поскольку он пер-

пендикулярен оси абсцисс, то

= п(0,y,z). Для единичного век-

тора имеем

|Я|

з;^

Из условия перпендикулярности

82 Гпава 2

векторов получим

йЯ=-4:^^+32=0; У^-^^

•

Отсюда

9 2 2 , ..4 ^3 1 -^ -^

— Z +Z =1, z = ±-,>; = ±-. Таким образом,

= ±-(3/Ч-4А:).

16 5 5 5

3.8.

Найти координаты вектора d

xi-\-

yj + zk, если он

ортогонален векторам a

i-2j

3k и b

6k^^ скалярное

произведение вектора d и вектора c

i-\-j

2k равно -1.

Решение. Условие ортогональности двух векторов заклю-

чается в равенстве нулю их скалярного произведения. Поэтому

x-2y+3z=0 и 2x+6z=0.

Скалярное произведение вектора d ^ с запишем в виде

x+y-h2z=-l.

Полученные уравнения образуют неоднородную систему

трех линейных уравнений

тремя неизвестными

\x-2y

3z = О,

6z = О,

[х+ y

2z =-1.

Находим определитель системы

1 -2 3|

\2 О 6 =-4.

1 1 21

Так как определитель системы отличен от нуля, то она

имеет единственное решение. Воспользуемся формулами Кра-

мера

Вычислим определители

D^,

D wD^

ВЕКТОРНАЯ АПГЕБРА

А =

0-2 3

0 0 6

-1 1 2

= 12;/),=

О 3

2 0 6

1 -1 2

=0;

1 -2 О

2 0 0

1 1 -1

= ^.

12 , 0^-4,

Отсюда

д;

—-

= -3,>' =

—-

= 0,z =

—-

= 1.

-4-4-4

Таким образом, вектор d будет d

-31

k •

3.9.

Найти координаты вектора d

х1

у]

если он ор-

тогонален вектору d

2i —к ', скалярное произведение вектора

d и вектора b=J

]

к равно

и проекция вектора d на век-

- - 1

тор с

3J-4k равна -.

Решение. Из условия ортогональности векторов d и а на-

ходим, что 2x-z = 0. Поскольку скалярное произведение векто-

ров dub равно 1, то x-y+z = 1.

Проекция вектора d на вектор с равна

- cd 3y-4z 1

nPcd=-rzr= . =-•

И V3 +(-4)' 5

Отсюда 3j;-4z = 1.

Таким образом, имеем линейную систему трех уравнений с

тремя неизвестными

2x-z = О,

\x-y

z = 1,

3>^-4z = 1.

Вычисляем определитель системы

84 Гпава 2

D =

2 0-1

1 -1 1

0 3^

:-1.

=Ч Z)^,=

2 0-1

1 1 1

0 1 -4

=-11,

Д =

0 0

-1 1

3 1

Так как определитель отличен от нуля, то система имеет

единственное решение. Воспользуемся формулами Крамера.

Найдем определители

0 0-1

д=|1 -1

\\=-А\

D.,=ll 1 1|=-11, Д=|1 -1

1|=-8.

1 3 -Л^

D -1 D -1 D -1

Таким образом, вектор d будет d

4i-^l

lj+8k.

ЗЛО.

Найти значение коэффициента а, при котором векто-

ры а

аё^+2ё2 и ^ =

3?!

будут взаимно перпендикулярны,

если

\е^

1^21

= 4 и угол между векторами е^ и ^2 равен -г-.

Решение. Скалярное произведение перпендикулярных век-

торов равно нулю

=(ссё^

+2e2)(35j

—^2)

Ъа{е,

ё2)'-а{ё, ё2)+6{ё, •^2)-2(е, •е2) = 0.

Произведения векторов по определению скалярного произ-

ведения будут

7Г

{ё,ё^)

= \;

{e,e,)

\e,\\e,\cosj

l-4-

Таким образом. За-2а +6-2-2-16=0 откуда а =20.

ВЕКТОРНАЯ АПГЕБРА 85

3.11.

Найти работу, производимую силой F =

{6,1,2}

на

перемещении 5 =

{2,4,1

Решение. Составим скалярное произведение этих векторов,

тогда работа будет равна

^ = ^-5 = 6-2 + Ь4 + 2(-1) = 14(ва;7аб.).

2.4. Векторное произведение

1°.

Векторным произведением двух векторов а м b назы-

вают вектор с

удовлетворяющий следующим условиям:

Модуль с численно равен площади параллелограмма,

построенного на векторах а и 6 ,т. е.

\c\=\a\\b\s\n{a,by (1)

с перпендикулярен к плоскости, в которой лежат векто-

ры а и 6 .

с направлен так, что векторы

а.Ьис

составляют пра-

вую тройку векторов.

Векторное произведение обозначают c=dxb или с

[аЬ].

2°.

Основные свойства.

dxb =0, если ач^О и

Ьч^О^то

данное равенство выра-

жает условие коллинеарности векторов.

ахЬ=-(ВхаУ (2)

Скалярный множитель можно выносить за знак вектор-

ного произведения

[Xaxb) = X[axb), (3)

Векторное произведение единичных векторов определя-

ется формулами

Гпава 2

ixJ

jxj =kxk =0;

ixj=k;

jxk=J;

kxj

(4)

Обладает распределительностью

b)xc=^axc-{-bxc, (5)

3°.

Выражение векторного произведения через проекции

перемножаемых векторов

J j к\

dxb

а.,

(6)

Условием параллельности векторов служит пропорциональ-

ность их одноименных проекций на координатные оси

а <3v ci

(7)

4°.

Приложения.

Момент силы F, приложенный к точке

В относительно точки А определяется равенством

M^IBXF.

(8)

Площадь А ABC равна половине площади параллелог-

рамма ABDC (рис. 2.18) и равна

S.=-\ABXAC

а,.

Ь.

(9)

Рис. 2.18

ВЕКТОРНАЯ АПГЕБРА

4.1.

Даны векторы а (3,4,1) и b (-1,2,5). Найти координаты

векторного произведения [а Ь].

Решение. Воспользуемся формулой (6)

ахЬ =

i j к

^х S ^^

Ь.

h h

4 1

2 5

I +

-1

3 4

-1 2

yt=18r-167

10/t,

тогда координаты векторного произведения будут

[ахЬ] =

{18,-16,10}.

4.2.

Вычислить площадь треугольника

вершинами А(\

,0,6),

Д4,5,-2) и С(7,3,4). _ _

Решение. Найдем координаты векторов АВ и АС:

АВ (3,5, -8), АС (6,3,-2) и воспользуемся формулой (9)

5д=

АВхАС

i ] к

3 5-8

6 3-2

\А1-Л1]-2\к

1^(14)4(^2)'+(-21)'

=24,5.

4.3.

Пирамида задана координатами ее вершин

А^{\,2,0),

^2(-l,2,l),

Лз(2,0,5),

А^{-1,5,А).

Найти: а) длину ребра ^2^3'

б) площадь грани

y4j^2^3'

^) угол между ребрами А ,^2 и А ^А^.

Решение, а) Найдем вектор

А^А-^

по формуле

А^А^

= (2 + \)1 + (О - 2)7 +

- \)к =3i-2j

4k . Отсюда модуль

вектора AjA.^ равен ЫгЛ -

л/^^

+ (~2)' + 4' = v29 ,

б)Нацдемвектор ^^Д :44 =(1

1)Г+(2-2)7 +

(0-1)^

=2Г-Л.

88 Гпава 2

Составим векторное произведение

U-2r-ll7-4^

^9 -^1 ^ -^1 -^1 —

i J к

2 0-1

3-2 4

Площадь грани находим по формуле (9)

в) Вектор

А^А^=-А^А^

=-2i+k.

Найдем вектор AiA^

4 ^4 = (-2 -1)/ +

2)У

+ (4 - 0)к =

-3/

Зу

+ 4к

•

Косинус угла между ребрами находим по формуле (8) пунк-

та 2.3

COS^:

(-2)(-3)

+ 0-3 + 1-4

= 0,766.

7(-2)Ч0Ч1^(-3)ЧзЧ4'

>/Г70

Откуда ^ = 40°.

4.4.

Найти координаты вектора х , если известно, что он

перпендикулярен к векторам а

{1,0,3},

{-2,4,-3}

и образует с

осью Оу острый угол, а его модуль равен 39.

Решение. Поскольку векторы х и ахЬ коллинеарны, то

х =

ЦахЬ)

= Х

i j к

1 О 3

-2 4 -3

= Я(-12Г-37 +

4А).

Зная модуль вектора х , находим Я

|х|

= 39 = |Я|^/144+9 +

16,

= ±3.

Острый угол между векторами х и осью Оу будет

ВЕКТОРНАЯ АПГЕБРА 89

—зя

COS j8

-ГЦ-

> О

, следовательно,

=-3.

\х\

Таким образом, х =

Ъв1

-^9]-\2к •

4.5.

Найти площадь параллелограмма, построенного на

векторах

а-Ъгп-2п

и ^ = 5т +

4Я,

если |m |=2,

|Я|=3,

а угол

между векторами тип равен —.

Решение. Площадь параллелограмма находим по формуле

5 = |Йх^ |. Используя распределительное свойство векторного

произведения, а также

то,

что mxm = 0, ЯхЯ = 0, fhxn=-nxm

будем иметь йх^ = (Зт-2Я)х(5т + 4Я) = 15тхт +

+ 12(тхЯ)-10(Яхт)-8(ЯхЯ) =

(тхЯ).

Величина векторного произведения fhxn равна

тхЯ = |т||Я|8т (тЯ] =

2-3-—3.

Отсюда

= 22|тхЯ| = 22-3 = 66/св.е^

2.5. Смешанное произведение векторов

1°.

Смешаным произведнием трех векторов называется вы-

ражение вида

{ахЬ)с или аЬС'

Если векторы заданы своими координатами, то

{ахЬ\с

«.

с.

'^y

ь.

С:

(1)