Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)

Подождите немного. Документ загружается.

90 Гпава 2

2°.

Свойства.

При перестановке сомножителей смешанное произведе-

ние меняет знак

(ax6)c--ffexaVc=(5xc)-6

=-(схб)а.

(2)

Смешанное произведение обладает свойством

(ахб)с=(^хс)й = (схй)6. (3)

Если два из трех векторов равны или параллельны, то их

смешанное произведение равно нулю.

3°.

Смешанное произведение трех векторов численно равно

объему параллелепипеда, построенного на этих векторах

К = (йх^)с=56с. (4)

4°.

Объем пирамиды, построенной на векторах 5,6,

равен

^п=;^(йхб)с=1а6с. (5)

5°.

Условие компланарности. Необходимым

достаточным

условием компланарности трех векторов 5,6,

является равен-

ство нулю их смешанного произведения:

аЪс =

О.

5.1.

В пространстве даны четыре точки: А (1,1,1),

В (2,4,7),С (-1,2,-3), и D (-3,2,1). Найти объем тетраэдра ^5CZ)

и длину высоты тетраэдра, опуш[енной из вершины В.

Решение. Пусть А вершина тетрэдра. Найдем координаты

векторов 1в, JC и ~AD (рис. 2.19): А5 =

{1,3,6},

АС

{-2,1,-4},

AD =

{-4,1,0}.

Объем тетраэдра находим по

формуле (5)

1 3 б|

-2 1 -^

М 1 О

3 •

ВЕКТОРНАЯ АПГЕБРА

Рис. 2.19

Найдем площадь основания

S = ACxAD\

'г

1 к\

-2 1 -4

-Л 1 0

—»

Ai+\ej

2k\

769.

, 3F ,3-32 32л/б9

Поскольку

= —, то

= —р= = .

S Зл/б9 69

5.2.

Вычислить объем треугольной призмы, построенной на

векторах

й{1,-3,2},

{3,1,-2},

{2,-1,2},

и определить ори-

ентацию тройки векторов й, 6,

в пространстве.

Решение. Найдем значение смешанного произведения

а{Ьхс\

1 -3 2

3 1 -2

2-12

20.

Поскольку смешанное произведение векторов положитель-

ное,

то они образуют правую тройку.

Объем треугольной призмы равен половине объема парал-

лелепипеда построенного на этих векторах

Гпава 2

5.3.

Доказать компланарность векторов

й{4,3,5},

б{2,2,2},

с{~3,-2,-4}

Решение. Условие компланарности а = 0. Откуда

4 3 5|

й(^хс)= 2 2 2 =0,

|-3 -2 -41

следовательно, векторы компланарны.

5.4. Даны векторы а =

(-1,-1,2)

и 6 = (1,-2,2). Найти неиз-

вестный вектор x = (x,y,z), если скалярное произведение

• Зс

= -7

вектор с =ахх перпендикулярен оси Ох, а смешан-

ное произведение хаЬ = 2.

Решение. Используя условие а-х

= —1 •>

получим уравнение

-x-j^

+ 2z= -7 или x

;;-2z = 7.

Воспользуемся векторным произведением

с =ахх

^ J

-1 -1

'{z

2y)I

(2x

z)]

{x-y)k,

Поскольку вектор с перпендикулярен оси Ох, то проекция

с^ вектора с на ось Ох равна

О,

то есть

с^=

{2y+z)

= 0.

Из условия хаЬ

2 имеем

X у z

1-1 -1 2

1 -2 2

:2,

т.е. 2x +

4>;

+ 3z = 2.

ВЕКТОРНАЯ АПГЕБРА

Полученные уравнения объединим

систему

x-\-y

—

[2х+Ау+Ъ2

Решение ищем по формулам Крамера. Находим определи-

тель системы

1 1 -2

О 2 1

2 4 3

= 12^0.

Так как определитель системы не равен нулю, то система

А ^у А

имеет единственное решение х

^, у

—^, z = —^.

D =

7 1

0 2

2 4

-2

24:

Д.

1 7

0 0

2 2

-2'

12;

D =

1 7

2 0

4 2

= -24;

24 ^ 12 , -24 ^

= — = 2, v= — =

z = = -2.

12 12 12

Таким образом, неизвестный вектор х

{2,1,

-2} .

5.5.

На векторах d

2i-\-j-k,

b=3J-2j

4k и

с=ЗТ -4k построен параллелепипед. Найти его высоту, опу-

щенную на грань, образованную векторами due.

Решение. Объем параллелепипеда по формуле (4) будет

116 +

12-6

+ 121

= 34.

2 1-1

Г = |й6с|= 3 -2 41

II3

0-41

С другой стороны, объем равен V

S- h, где S

площадь

Гпава

грани,

образованная векторами

а и с

|йхс|

2 1 -1

3 0 ^

-4Г

3it|

= J(-4)'+

5'+ (-3)'

Таким

образом,

_llsl2

5~5V2~

= 572.

Глава 3

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

НА ПЛОСКОСТИ

3.1.

Координаты точки на прямой

и на плоскости. Длина и направление отрезка

1°.

Координатой

точки М на оси х называется положитель-

ное или отрицательное

число,

отложенное, соответственно, впра-

во или влево от начала координат в выбранном масштабе.

Декартова или

прямоугольная система координат

представ-

ляет совокупность двух взаимно-перпендикулярных осей; оси

абсцисс Ох и оси ординат Оу (рис. 3.1).

Щ^гУ^

Рис. 3.1

96 Гпава 3

Декартовыми координатами точки М называются проекции

радиус-вектора ОМ на оси координат

(х,>^).

Направленным отрезком на оси называется отрезок, у ко-

торого определены начало Mj(Xj) и конец М^х^. Здесь

х^^.х^

—

координаты начала и конца отрезка.

2°.

Величина отрезка на оси равна его длине

М^М^\М^М^,

если направление отрезка совпадает с осью; в противном слу-

чае величина отрезка равна его длине со знаком минус

MyJ\df^-\M^M^,

Через координаты величина отрезка опреде-

ляется по формуле

Му^М^х^-х^^ (1)

а длина или расстояние между двумя точками

t/=MiM2=|jC2-JCi|. (2)

Длина отрезка на плоскости (рис. 3.1), заданного коорди-

натами своего начала Mj(xj,jj) и конца М^х^.у^ , равна

7(Хз-х,)Ч(>;,-д;,)^

(3)

Если начало отрезка совпадает с началом координат, то

формула (3) примет вид

d=4777.

(4)

3°.

Пусть (р и у/ — углы, составляемые отрезком с по-

ложительными направлениями осей координат Ох, Оу, тог-

да направление отрезка определится заданием косинусов этих

углов

cosy

-7= ^ ^ ; cosii/=—j= ^ ^ (^\

V(x, -x,f НУг -УхУ

V(^2

-^i)' НУг 'УхУ ^ ^

1.1. Построить на числовой оси точки ^4(-4), В{5), и С(1),

найти величины отрезков АВ,ВС и АС

яз,

оси,

длину отрезка ВС

и проверить равенство

АВ-^ВС-АС,

АНАПИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ППОСКОСТИ 97

Решение. На оси х в выбранном масштабе откладываем от

начала координат соответственно точки А,В

С (рис

.3.2).

Вели-

чины отрезков находим по формуле (1)

-4 0 1 5

Рис. 3.2

АВ = Хв-х^=5-(-4) =

ВС = Хс-Хд=1-5=-4,

АС = Хс-х^=1-(-4) = 5.

Длину отрезка ВС находим по формуле (2)

d = \BC\=\x^-x,\=\-4\=4.

Подставляя найденные величины отрезков на оси

доказы-

ваемое равенство, получим 9+(-4)=5, 5=5.

1.2. Даны точки А{-1,-3) и В{4,2), Найти длину отрезка и

его направление.

Решение. Длину отрезка, заданного координатами своего

начала и конца находим по формуле (3)

^=|^5|=7(4 + 1)'+(2 + 3)'=л/50=5л/2.

Направляющие косинусы находим по формулам (5)

4 +

1 л/2

Отсюда угол

положительным направлением оси Ох равен

(р = 45°, а оси Оу равен у/ =

45"".

1.3. Найти точку, удаленную от оси Оу и от точки ^4(1,2) на

5 единиц.

Решение. Геометрическим местом точек удаленных от оси

Оу и точки А будет прямая параллельная оси Оу и отстоящая от

Гпава 3

ОСИ

на расстоянии 5 единиц (рис. 3.3), т. е. х = 5. Пусть точка

M(5,j^) искомая точка, тогда по формуле (3)

5 =

7(5^4)40^'

откуда 25=16+(у-2)2 или (у-2)2=9.

У \

А{1.2)

Н 1 1 h-

м.

Рис. 3.3

Решая последнее уравнение, находим у^=5,

^2""^-

Таким

образом, искомых точек на прямой две Mj(5,5), М2(5,-1).

1.4. Найти центр и радиус окружности, описанной около

треугольника с вершинами ^(2,1), Д-3,2), С(-1,1).

Решение. Обозначим координаты центра окружности О за

у, а радиус за

i?,

тогда по формуле (3) будем иметь

R'={x-2f+(y-l)\

К'={х

ЗУ+{у-2)\

R'={x

lf+(y-^\)\

Вычитая из первого третье уравнение, находим, что ^ ~ т

•

Подставляя ^ =

—

во второе и третье и вычитая из второго тре-

^ 13

тье,

находим, что У~'^- Подставляя найденные х,у

любое из

трех уравнений, получаем, что R =

л/Гзо

1.5. Доказать, что четырехугольник с вершинами в точках

У4(1,5),

5(-2,1), С(1,-2), и Z)(10,2) есть параллелограмм.

АНАПИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ППОСКОСТИ 99

Решение. Известно, что четырехугольник, у которого про-

тивоположные стороны попарно равны, есть параллелограмм.

Докажем равенство противоположных сторон АВ и CD (ВС и

DA).

Найдем длины этих сторон

Следовательно, АВ

CD.

Аналогично: d^^

V(7 + 2)'+(-2~1)' = Зл/ш ,

dj,^=yl{l-lOf+i5-2f =3VlO,ToecTb BC

DA.

Поскольку противоположные стороны равны, то четыре-

хугольник ABCD есть параллелограмм, что и требовалось до-

казать.

3.2. Деление отрезка в данном отношении.

Площадь треугольника и многоугольника.

Центр тяжести

l"". Координаты точки М(х,у), делящей отрезок М^М^ в от-

ношении —^— =

, (рис. 3.1) находятся по формулам

JC,

Хх^

у, + Я v^

- -\ у

= —

— (1)

• ^^

Если точка М делит отрезок М^М^ пополам, то Я =

и ко-

ординаты равны

х^

V, +

у-у

^=^у^;

У=^^^-

(2)

Если Я — число отрицательное, то точка М находится на

продолжении отрезка М^М^

деление называется внешним.