Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)

Подождите немного. Документ загружается.

120

Гпава

координаты точки

уравнение пучка прямых

(8),

находим урав-

нение перпендикуляра J-2 =

—

(х-0) или х-2у-^4 = 0.

Решая уравнение перпендикуляра совместно с уравнением

6 13

второй прямой, находим точку их пересечения Б (-т

~).

Пусть точка С делит отрезок АВ в отношении

—,

тогда

ее

координаты

ия j^i ия ^д

5 5

Так как искомая прямая параллельна данным прямым, то

ее угловой коэффициент к=-2. Подставляя его и координаты

точки

С в

уравнение пучка прямых, находим уравнение искомой

прямой j;-2,I=-2(x-0,2) или 2x+j-2,5=0.

4.3.

Определить вершины и углы треугольника, стороны

которого заданы уравнениями х-3у-3=0,1х-у+19=0,

Ъх+у+1

=0.

Решение. Координаты вершин треугольника

А,

В,

С являют-

ся точками пересечения прямых и находятся из совместного ре-

шения систем уравнений

\х-Ъу-Ъ = О, \х-Ъу-Ъ = О, Г7д:-:^ + 19= О,

[7JC~>;

+ 19= 0; [Зх+у +1 = 0; [Зх+:^ +1 =0;

Обозначим решение первой системы за координаты точки

^(-3;-2),

второй — В{0;\) и третьей — С(-2;5). Из построения

ABC

(рис.

3.21)

видно,

что прямой АВ соответствует первое

урав-

нение, прямой АС—второе

прямой ВС—третье.

При определении углау4 пользуемся формулой

(5),

полагая

за у4р JSj коэффициенты при переменных в уравнении прямой

АВ,

а за

А2,

В^ коэффициенты в уравнении прямой ^ С

ЛНАПИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ППОСКОСТИ

121

Рис. 3.21

Рис. 3.22

1(-1)-7(-3) ^

1-7 +

(-3)Н)

•

При определении угла В за

^2?

^2 ^ формуле (5) принимаем

коэффициенты в уравнении прямой ВС

tgB =

М-З(-З)

1-3 + (-3)1 2'

Так как сумма углов в треугольнике равна к, то угол

п 1

arctg2 = arctg—.

4.4.

Найти точку пересечения медиан и точку пересечения

высот треугольника, вершины которого

А(1;4),

5(-9;-8),

С(-2;

16).

Написать уравнение биссектрисы внутреннего угла В.

Решение. Медианы пересекаются в одной точке, делящей

их в отношении 1:2 от противоположной стороны, которую они

делят пополам. Построим треугольник

(рис.

3.22) и проведем ме-

диану из точки С. Координаты точки D будут

2 ~ 2 ~ ' ^^" 2 " 2

Зная координаты точек С и Z) и отношение

находим координаты точки пересечения медиан

РЕ _\

£С~2'

122

Гпава

j^i " 3'^^~

1^1

2 2

Пользуясь уравнением прямой, проходящей через две точ-

ки,

запишем уравнения сторон АВ и ВС

у-4

х-1 3 5

— у

—х-

У-УА

У в-У А

У-Ув

Ус-у в

_ ^ -^А

•^В ^-^А

^ Х-^в

•^с ^^в

-8-4 -9-7 4 4

+ 8

+ 9

24 160

^ = , у

—х

16 + 8

-2 +

7 7

Угловые коэффициенты перпендикуляров к этим сторонам

находим по формулам (7)

—^ к —1

''~ 3' '^" 24-

Подставляя найденные угловые коэффициенты и коорди-

наты точек С и А в уравнение пучка прямых (8), находим пер-

пендикуляры к прямой АВ

ВС

3;-16 = -~(х

2) или 4x + 3j;-40 = 0,

у-^

= -—{х-1) или 7x+24j;-145 = 0.

Решая эти уравнения высот совместно, находим координа-

ты точки их пересечения (7;4), а это координаты точки

У4,

т. е.

угол А равен -г и треугольник прямоугольный.

Запишем уравнения сторон АВ и ВС

общем виде:

3JC-4J;~5

= 0, 24х-1у

+ 160 =

Биссектрису BFyrna В находим по формуле (12)

Зх-4у-5 24х-1у

\60

^ТТГ= V576.49 • '--'3>'+>85=0.

АНАПИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ППОСКОСТИ 123

4.5. Составить уравнение прямой, параллельной прямой

Ъх+Ау-1-Q и удаленной от точки ^4(3;-!) на три единицы.

Решение. Найдем угловой коэффициент прямой

3 7,3

-—-^

+ — , Т* Воспользовавшись уравнением (8), про-

ведем через точку А прямую параллельную данной прямой

у +

\=--[х-Ъ),

3JC+4J;-5

= 0.

Пусть

у текущие координаты точки на искомой прямой,

тогда расстояние от этой точки до прямой, проходящей через

точку А, находится по формуле

d =

Ах

Ву^С

ХОДИМ 3 = или, раскрывая модуль, \5

Ъх-\-Ау-5 и

^А'+В'

Подставляя сюда значение

(1=Ъ

и коэффицинты А,В,

С,

на-

|3X+4J;-5|

5 I

= Зх-4з; + 5.

Отсюда имеем Зх + 4>'-20 = 0 и

3JC

4J;

= 0.

4.6.

Через точку пересечения прямых

2х-у-^Ъ

О и

х-^у-1 -

провести прямую, перпендикулярную прямой

3JC

- 4у -

= О.

Решение. Пользуясь уравнением (9), запишем уравнение

пучка

прямых,

проходящих через точку пересечения данных пря-

мых

2х->;

+ 3

+ Я(х

>;~2) = 0 или (2 +

Я);с +

(Я-1):^ + 3-2Я = 0.

7 _

Угловой коэффициент пучка прямых ^ - —-—-, а угловой

— 1

, 3

коэффициент перпендикулярной прямой ^j -

— .

По условию

пер-

3 , ,r^т^

пендикулярности

А:

= , откуда =

—,

Ю.

Подстав-

к, Я-1 4

124

Гпава 3

ЛЯЯ

найденное значение Я

уравнение пучка, получаем уравне-

ние искомой прямой \2х

9у-\1

4.7.

Даны две

вершины треугольника

v4(-4;2)

и 5(2;-5)

точ-

ка пересечения высот М{

—;

-2).

Найти третью вершину

С и

рас-

стояние ее от биссектрисы угла А.

Решение. По уравнению прямой, проходящей через две точ-

ки

и 5, находим

у-2

_jc + 4 ___!_ _^

-5~2~2 + 4' •^~ 6^ 3'

Используя условие перпендикулярности (7), из уравнения

пучка прямых (8) находим уравнение перпендикуляра МС

пря-

в(

мой АВ, проходящего через точку М

(рис.

3.23)

+ 2

= -- х-

—

6х-7>;-30 = 0.

Рис. 3.23

Уравнение перпендикуляра ВМ к прямой АС находим по

уравнению прямой проходящей через две точки ВиМ

+ 5 __

х-2

-2 +

у = —х-14.

Учитывая, что прямые АС и ВМ перпендикулярны (7)..из

уравнения пучка прямых, проходящих через точку А, находим

уравнение стороны А С

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ППОСКОСТИ

125

у-2

=—(х+4),

2х

9;;-10

= 0.

Решая совместно уравнения прямых v4 С

МС, находим ко-

ординаты точки С(5;0). Подставляя уравнения сторон АВ wACb

формулу (12), находим уравнение биссектрисы угла А

1х + 6у + \() _ 2JC + 9>'-10

Ъх +

5у

+ 2 =

а.

л/49

74+81

Расстояние точки С от биссектрисы находим по формуле

(11)

d =

3-5 + 5-0 + 2

-л/9

+ 25

I л/34

4.8.

Пересечение медиан в точке М(3;3), а х-у-2 =

1х-у-% = 0 — уравнения двух сторон треугольника. Найти

уравнение третьей стороны.

Решение. Найдем точку пересечения известных сторон тре-

угольника и обозначим ее за А (рис. 3.24)

Рис. 3.24

Г х-у-2 = О,

\lx-y-S = О, ^"1' У = -^-

Точка пересечения медиан делит

их

в отношении

2:1,

поэто-

му AM'.MD =

2:1,

отсюда

= 2

126 Гпава

_(1 + ЯК-х,_ 3-3-1

{\Л-Х)у^-у,_Ъ-Ъ

Я ~ 2 "^'^^' Я ~ 2 " •

Координаты точек С и 5 удовлетворяют уравнениям пря-

мых AC^^ АВ

7хс-Ус-^

и х^-у^-2

Точка D делит отрезок СВ пополам

Хс+х^ =Xj, =8, Ус-\-у^=2у^,=\0.

Решая эти четыре уравнения относительно

х^^,

У(^,х^, у^,

находим координаты точек

В:

х^=2,у^=

х^ =

j^^

= 4.

Используя уравнение прямой, проходящей через две точки,

находим уравнение прямой ВС

у-А

_х-6

6-4 2-6

jc +

2j;-14 = 0.

4.9.

Через точку М(-3; т*) провести прямую так, чтобы се-

редина ее отрезка между прямыми 2х-^у -3 =

2х+>^

-5 =

ле-

жала на прямой 2х-у -1= 0.

Решение. Проведем параллельные прямые на плоскости Оху

(рис.

3.25) и найдем точки пересечения А,В с третьей прямой.

Для этого решим системы уравнений

j2x +

j;-3

= О,

|2JC-;;-1

= О, ^л^^' -^^^^'

\2х

у-5 = 0, ^3 _

[2JC-J;-1

= О,

-^^"2'

^^~'^'

Поскольку середина отрезка искомой прямой между парал-

лельными прямыми лежит на прямой АВ, то из равенства треу-

гольников

^СЛ/^

BDN следует, что точка пересечения

Л^

делит

прямую АВ пополам. Найдем

ее

координаты

АНАПИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ППОСКОСТИ

127

^А "'"•^i?

4' -^^^ 2 "2

~м—\

У^^^^^ч"

А ^

Рг^с.

5.25

Подставляя координаты точек Ми NB уравнение прямой,

проходящей через две точки, получим

у-^_

5 3

2 2

8x +

34j-61 = 0

4.10. Даны уравнения двух сторон параллелограмма

7 7

2x+j;H-9 = о и х-^'-З =

и точка М(--—,

—)

пересечения его ди-

агоналей. Составить уравнения двух других сторон паралле-

лограмма.

Решение. Поскольку заданные стороны параллелограмма

не параллельны, то найдем точку А их пересечения (рис. 3.26)

128

Гпава 3

Г2л-+у +

= О,

I х-у-Ъ = О,

^А^~^^

Ул""-^'

Диагонали параллелограмма при пересечении делятся по-

полам. Отсюда координаты точки С

7 7

Уравнения прямых ВС и CD находим из уравнения пучка

прямых проходящих через точку С. Прямая ВС параллельна AD,

угловой коэффициент которой k

—2, следовательно

>'-12 = 2(jc +

5),

2х + ;;-2 = 0.

Прямая CD параллельна АВ, угловой коэффициент кото-

рой

А:=1

j;-12=x+5,

х-у+17=0.

4.11.

Даны две вершины треугольника А(5;1), i5(l;3) и точ-

ка М(3;4) пересечения его медиан. Составить уравнения сторон

треугольника.

Решение. Построим заданные точки (рис. 3.27). Медиана

проходит через точку М и делит сторону АВ пополам в точке

Зная координаты точек А и В, находим координаты точки D

JC.+х„

VJ-^VR

"" 2 2 "" 2 2

«/

Рис. 3.27 Рис. 3.28

АНАПИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ППОСКОСТИ 129

Известно, что в треугольнике, точка пересечения медиан

делит их в отношении

2:1.

Если обозначить за С третью вершину

СМ 2 ,

треугольника, то будем иметь

——•

- -- - Я. Отсюда, по форму-

лам деления отрезка в заданном отношении, имеем

%- .л

Ум- .л • Откуда Хс=(1+Я)х^-/Цо=3-3-2'3=3,

J^c=(l+%A/-^J^z)=3.4-2.2=8.

Итак, получили С(3;8). Используя уравнение

прямой,

прохо-

дящей

через две

точки,

находим уравнения сторон треугольника

у-1_х-5

АВ:

:г~Г-";—~, откуда х-\-2у-1=0,

3-1

;^-8.

1-8

>;-8_

1-5

_jc-3

5-3

_х-3

АС: -—~-~—г, откуда 7x+2j^-37=0,

ВС: T^T'TZT' откуда 5x-2j;+l=0.

4.12.

Даны уравнения л:+>'-8=0, х-у-2=0 двух медиан треу-

гольника

координаты одной из его вершин

^(4;6).

Найти урав-

нения сторон треугольника.

Решение. Координаты точки

А(4;6) не

удовлетворяют задан-

ным уравнениям, следовательно, точка А

не

лежит на медианах.

Решая систему заданных уравнений, находим координаты точ-

ки М пересечения медиан

Xj^

5, у^ = 3.

Проведем две медианы, отметим точку М

их

пересечения и

точку ^ (рис. 3.28).

Пусть, например, координаты вершины 5 fx^j^^j удовлет-

воряют первому уравнению, т. е. медиана проходит через вер-

шину треугольника В, а координаты вершины С удовлетворяют

второму

из

заданных уравнений. Тогда х^+у^-

8=0,

х^-у^-

2=0.

Имеем два уравнения с четьфьмя неизвестными. Составим еще

два уравнения

с теми же

неизвестными. Медиана, проведенная

че-