Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)

Подождите немного. Документ загружается.

130

Гпава 3

рез вершину

А^

пройдет через точку М и разделит сторону ВС по-

АМ _1 _.

полам в точке D. Найдем координаты точки D\ ~

—

-- л.

^м

Х^

-т

LXjy

Ум

УА+ЬР

MD 1

2x..-2x. 3-5-4 И

Уо

1+2 1+2

^ЬМ-УА

^3-3-6^3

2 2 2"

(П 3^

Хр

—

^М

^А _

Итак, имеем D

2'2

Точка Z) делит ВС пополам, следовательно,

Ув^Ус

>^D=^

, откуда х^+х^-11=0, J^+3^(^-3=0.

Составим систему

Ув + Ус

= 3,

^с-Ус = 2

и найдем ее определитель

|1 1 О О

0 0 11

10 10

|о 1 О -1

Составим определитель д х^

111 1 О О

Д =

= -2

Дх„

3 0 11

8 0 10

2 10-1

= -14.

АНАПИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ППОСКОСТИ 131^

_ Ах^ -14 ^

Находим ^в -""Г"-—~'^'- Подставляя х^ в первое из

уравнений системы, находим х^-А. Из остальных уравнений на-

ходим, что у^-1,

У(^^2.

Зная координаты точек

5(7;

и С(4;2), находим уравнения

сторон треугольника

у-6_х-А

АВ:

уГб"~7^' откуда 5х+3;;-38 = О,

у-б_х-4

АС:

Y^~'A^'

откуда х = 4,

у-\

_х-1

ВС ^37~'4^' ^™УД^ х+Зу-10 = 0.

4.13.

Даны вершины А{-Ъ'-2), В{А'-\) и С(1;3) трапеции

ABCD {АВ

ВС). Известно, что диагонали трапеции взаимно пер-

пендикулярны. Найти координаты вершины D.

Решение. Прямая ВС

AD, следовательно, их угловые ко-

эффициенты

равны.

Воспользуемся уравнением прямой, проходя-

щей через две точки. Отсюда уравнение прямой ВС примет вид

+ \

х-4 4 13 , 4

3V+4Y=13

У = —х + —, к = —.

1-4 ' ^ '^33 3

Для записи уравнения прямой AD воспользуемся уравнени-

ем пучка прямых, проходящих через точку А и условием парал-

лельности 5С

у-уА

к{х-хА\

;;

= (х +

3),

4х

3;;

= 0.

Координаты точек Аи С известны. Из уравнения прямой,

проходящей через две точки находим, что уравнение прямой ^4 С

имеет вид

+ 2

+ 3

5 7,5

= , У-—х

+ —,

к=—.

2 1

^44 4

y+l=k^(x-4l y+l

--(x^l 4x+5j;-ll=0.

132 Гпава 3

Из условия перпендикулярности диагоналей трапеции на-

ходим угловой коэффициент диагонали BD\ ^i ~

""Т'

^i =

"""7 •

/с

Из уравнения пучка прямых, проходящих через точку В,

находим уравнение прямой BD

Решая уравнения прямых BD

AD совместно, находим ко-

ординаты точки D

Г4х +

5>'-11 = О,

[4x

3>'

= 0.

29 ^ 5-29 ,, ^ 123

2;;-29=0,

=—, 4х+^^

= 0, ^ = -—•

J 123 29

Ответ: и\ ;— .

3.5. Уравнение линии

как геометрического места точек

Линии на плоскости соответствует уравнение

двумя пере-

менными. Уравнение

двумя переменными, которому удовлет-

воряют координаты любой

точки,

лежащей на

линии,

называется

уравнением данной линии.

Всякому уравнению первой степени с двумя неизвестными

на плоскости соответствует прямая линия.

Кривыми второго порядка называются кривые, уравнения

которых в прямоугольных координатах представляют уравне-

ния второй степени

двумя неизвестными

Ах" +2Вху

Су^

+2Dx

2Ey

--Q.

(1)

АНАПИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ППОСКОСТИ 133

Существуют три типа таких кривых: если АС-В^

О,

кри-

вая эллиптического типа, если АС-В^ <

— гиперболического

типа, если А С-В^ =0 — параболического типа.

Если в общем уравнении второй степени (1) коэффициенты

при квадратах текущих координат равны между собой А-С,

член с произведением текущих координат отсутствует Б =

D^-^E^

AF, то это уравнение представляет окружность.

Координаты точек при А>

О,

лежащих внутри окружности

определяются неравенством Ax^-^Ay^+lDx+lEy-^F

О,

коорди-

наты точек, лежащих вне окружности, — неравенством

Ax4Ay42Dx-^2Ey-\-F

Если алгебраическая линия, т. е. линия уравнение которой

можно представить в виде многочлена, определяется в декарто-

вой системе координат уравнением

п-й

степени относительно х и

у,

то она называется линией

п-то

порядка.

Геометрическим местом точек на плоскости называют ли-

нию,

все точки которой обладают одним и тем же определен-

ным свойством.

При составлении уравнения линии можно пользоваться сле-

дующей схемой:

определить линию как геометрическое место точек;

2) выбрать систему координат;

предположить, что некоторая точка М(х,у) принадлежит

данному геометрическому месту точек, причем точка должна

иметь самое общее положение;

4) записать в геометрических символах условие, связываю-

щее точку М с какими-либо элементами (точками), известными

из определения данного геометрического места;

5) записать это условие, пользуясь формулами аналитичес-

кой геометрии, по возможности, упростить.

3x^-4

5.1.

Принадлежат

ли

точки А

(0;4),

В(

1 ;-2)

линии у =

— — ?

134 Гпава 3

Решение. Если точка принадлежит данной линии, то ее ко-

ординаты удовлетворяют уравнению данной

линии.

Подставля-

ем в уравнение заданной линии вместо текущих координат х, у

координаты точки А. Получим 4 = = 4. Равенство вы-

полняется, следовательно, точка ^ принадлежит данной линии.

Подставляя координаты точки В в уравнение линии, полу-

о 3-4

чим -2 ^ -—- -

-1.

Следовательно, точка В

не

принадлежит дан-

ной линии.

1 .

5.2. Найти точки пересечения парабол

у^=Ах,

у=

—

х^.

Решение. Так как точка пересечения принадлежит обеим

линиям, то

ее

координаты удовлетворяют каждому из этих урав-

нений. Это значит, что координаты точки пересечения являются

решением системы

[/=4х,

Откуда находим, что х^-

О,

Xrf^

4 и j^j=

О,

у^ 4. Следова-

тельно, данные линии пересекаются в точках О(0;0) и ^(4;4).

5.3.

Даны уравнения двух линий: (х -

3)^

>^^

— окруж-

ности и

— биссектрисы второго координатного угла.

Найти точки их пересечения.

Решение. Для нахождения всех точек пересечения данных

линий необходимо решить уравнения совместно. Подставим в

первое уравнение у --х, получим x^-3x+4= 0. Отсюда

3±л/^ ^ г-

Xj 2

= . Поскольку л/-5 есть мнимое число, то система

не имеет вещественных решений и , следовательно, данные ли-

нии не пересекаются.

АНАПИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ППОСКОСТИ

135

5.4. Составить уравнение геометрического места точек, рав-

ноудаленных от точек ^(3;5) и 5(1;-4).

Решение. Построим точки AviB

(рис.

3.29).

Известно,

что

геометрическим местом

точек,

равноудаленных

от двух заданных, является перпендикуляр

середине отрезка, со-

единяющего заданные

точки.

Возьмем точку М{х,у), предполагая,

что она лежит на этом перпендикуляре, тогда

АМ=ВМ,

Но

^J(x-ЗУ-\-{y-5f и BM

^{x-lf+(y

4f , откуда

уравнение линии л/(х-3)^+(^-5)^ = yjix-lf-^(у-^ЛУ . Воз-

водим в квадрат обе части этого равенства и упрощаем

4х+18j^

- 17= 0. Искомая линия — прямая.

5.5. Найти уравнение траектории точки М, которая в каж-

дый момент движения находится вдвое ближе к точке

^(1;1),

чем

к точке

JB(7;-2).

Решение. По условию 2АМ

ВМ. Обозначим через х, у ко-

ординаты точки М, тогда AM = ^/(x-1)^ +

(з^

1)^

или

4((x-l)4(j;~l)^) = (x-7)4(;; +

2)^

Раскрывая скобки и упрощая, получим {х+\У-+{у-2У = 20,

т. е. траектория точки М есть окружность с центром в точке

0\-\

;2)

и радиусом, равным

л/з •

136

Гпава 3

3.6. Кривые второго порядка

1°.

Окружностью называют геометрическое место точек,

равноудаленных от одной точки, называемой центром окружно-

сти.

Уравнение окружности имеет вид

{x-^af^{y-bf=R\ (1)

где

а,Ь

— координаты центра окружности; R — радиус окруж-

ности.

Частные случаи уравнения окружности:

Если 6 = 0; а =

7?,

то x^-^y'^-lRx. Центр окружности рас-

положен на расстоянии R по оси х

(рис.

3.30).

( \^С(оЛ

Рис, 3.30 Рис. 3.31

Если а = 0;

7?,

то x^+jn^ = IRy. Центр окружности рас-

положен на расстоянии R по оси у (рис. 3.31).

Если а = 6 =

О,

то х^+у = /г^ — каноническое уравнение

окружности. Центр окружности радиуса R в начале координат.

2°.

Эллипсом

называется геометрическое место точек, сум-

ма расстояний которых до двух данных точек плоскости, назы-

ваемых фокусами эллипса, есть величина постоянная

r^-^r^-la,

а— const (рис. 3.32).

Каноничекое уравнение эллипса имеет вид

а о

(2)

где а,Ь — большая и малая полуоси эллипса.

АНАПИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

НА

ППОСКОСТИ

137

\-Ь

Fl-c,0) F^icO)

Рис. 3.32

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокус-

_ с

ного расстояния эллипса с к его большой оси ^ - —.

Поскольку у эллипса с <а,то эксцентриситет любого эл-

липса меньше единицы. Если £ =

О,

то с =

и уравнение эллип-

са принимает вид х^

у'^

=а^ ,^ это есть уравнение окружности.

Если фокусы эллипса расположены на оси Ох, то

Ь^

=а^ -с^; если жена оси Оу, то а^ =Ь^ -^с^.

Директрисами эллипса называются прямые Jp

(^2'

парал-

лельные его малой оси и отстояпцие от нее на расстоянии —, то

есть х

±—.

Отношение расстояния любой точки эллипса до фокуса к

расстоянию ее до соответствующей этому фокусу директрисы

есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса

IL-IL-

Фокальные радиусы

г^

Г2

некоторой точки Л/могут быть

найдены по формулам

=а—х,

Г2=а

х,

(3)

где

— абсцисса точки М.

Диаметром эллипса а\ сопряженным с некоторым на-

правлением, называют геометрическое место середин хорд

138 Гпава 3

эллипса, параллельных этому направлению (рис. 3.33)

у-

аЧ.

(4)

где

к2

=tg^2 —угловой коэффициент хорд.

У \

Рис. 3.33

Угловой коэффициент диаметра

к^,

сопряженного хордам,

связан

угловым коэффициентом хорд зависимостью

. ь'

Два диаметра а\

Ь',

каждый из которых делит пополам хор-

ды,

параллельные другому, называют сопряженными между со-

бой диаметрами. Так, оси симметрии эллипса являются его

сопряженными диаметрами и их называют главными диамет-

рами.

Угловые коэффициенты

/с^

и A:jвходят в формулу (5) равно-

правно, поэтому, если бы исходить из хорд с угловым коэффи-

циентом

/Ср

то пришли бы к диаметру с направлением

/с2.

Теоремы

Аполлония. 1. Сумма квадратов, построенных на

двух взаимно-сопряженных диаметрах эллипса, равна сумме

квадратов, построенных на его осях (a')^'+(b'p=a^'^b^.

Площадь параллелограмма, построенного на двух вза-

имно-сопряженных диаметрах эллипса, равна площади прямо-

угольника, построенного на его осях

аЬ =

аЪ'sin

(р.

АНАПИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ППОСКОСТИ

139

3°.

Гиперболой называется геометрическое место точек,

абсолютная величина разности расстояний которых до двух дан-

ных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная

Vj- rj= 2а, а — const (рис. 3.34).

Рис. 3.34

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

2 2

(6)

где

а—действительная

полуось;

b — мнимая полуось гиперболы.

Прямые, проходящие

через

центр симметрии, такие, что если

точка М двигаясь по гиперболе, неограниченно удаляясь от вер-

шины неограниченно приближается к одной из них, называются

асимптотами

гиперболы.

Уравнения асимптот у

±—х,

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фо-

кусного расстояния гиперболы

ее

действительной оси, то есть

£= — ,

Поскольку у гиперболы а <с,то эксцентриситет гипербо-

лы в > 1.

Если фокусы гиперболы расположены на оси Ох, то

Ь^

=с^ -а^, если же на оси Оу, то а^

с^

-Ь^.