Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)

Подождите немного. Документ загружается.

160 Гпава 3

7.9. Привести к каноническому виду уравнение

3x^-6^^+3;^^-

-2JC-8J;+-—=0.

Решение. Применяя формулы (1), перенесем начало коор-

динат в точку

0\а;Ъ)

3х'^+6х'а-\г3а^- Gix'y'-^x'b+y'a-^ab)-^

-^-Зу'ЧбуЪ-^ЗЬ^-

2х'- 2а— Sy'-Sb-^~j= 0.

Чтобы исчезли члены первой

степени,

приравниваем к нулю

коэффициенты при х\ у': За-ЗЬ-\=0, -За+ЗЬ-4= 0. Нетрудно

заметить, что полученная система несовместна, следовательно

данная кривая не имеет центра.

По формулам (3) повернем оси на некоторый угол а, тог-

да получим 3x^-6y+3y^-2x-Sy+ — =3х

^cos^

-6х';;

'cos а

sin

а ^

+3y'hin^а-6{x'^cosаsina +xy'cos^а-х'у' sin^a-y'^ cos^a

•

'Sina)-^3x'^ sin^a+e^'j;' cosa:sina+3j;'^cos^a-2x' cosa +

•^2y 'sin a -Sx' sin a -Sy

'cos

"^ = 0-

Подберем угол так, чтобы коэффициент при x'j;'обратил-

ся в нуль: cos^a- sin^a =

О,

откуда а = —. Уравнение кривой

в этом случае примет вид: Зу'\ sin^a +2 sin а coso: + cos^a) -

-2л:'

cos а+2v' sina-Sx'sina-Sv'cosa + — =0 или

6y<'-6y'^-5^x'+~

^ 1 4

Дальнейшее упрощение уравнения проводится при помощи

параллельного перенесения

осей

Ох'яОу'. Вьщелим полный квад-

рат 6

' 8

lY .J,S^

• i =5V^

Введем новые координаты

АНАПИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

161

= х'л

, у = J^'+

—,

что соответствует параллельному пе-

2 8

^ п ^ 1

ремещению осей на величину — по оси Ох и на величину —

2 о

по оси Оу\ В координатах х'\ д^"уравнение кривой примет вид

„2

5v2 „ ^ г»

у = X —

каноническое уравнение параболы. Ветви па-

раболы расположены симметрично относительно оси х"и совпа-

дают

положительным направлением этой оси (рис. 3.53).

Рис. 3.53

Вершина параболы находится в начале координат системы

5л/2

параметр параболы р

——

3.8. Полярная система координат.

Уравнения кривых

1°.

Полярными координатами точки М

(рис.

3. 54) являют-

ся полярный радиус р и полярный угол ф, для которых приня-

ты следующие интервалы изменения ре [0,«>[ и (ре [0,2к[ или

(ре[-к,я[.

162 Гпава 3

Если начала координат прямоугольной

полярной системы

совпадают, а полярная ось совмещена

положительным направ-

лением оси Ох, то прямоугольные координаты точки М выра-

жаются через полярные по формулам

x = pcos^,

= psin(jO. (1)

Полярные координаты выражаются через прямоугольные

по формулам

^x^-hy\

= arctg^. (2)

Вторую из формул (2) иногда удобнее заменить двумя сле-

дующими формулами

sm(p

-j=I=====-

cos(p =

-jJ=^,

.3)

Проекции произвольного отрезка на координатные оси вы-

ражаются через его длину и полярный угол формулами:

X2-x^=dcos(p, y2-y^=dsm(p. (4)

Полярный угол отрезка по координатам его конца

начала

определяется по формуле

2^.

Если за полюс принять один из фокусов линии второго

порядка

(рис.

3.55), то уравнение линии в полярной системе ко-

ординат примет вид

Р=\

' (5)

1-£С08ф

^ ^

АНАПИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ППОСКОСТИ

163

где г

Р.

эксцентриситет, d — расстояние точки М( р,

(р)

до

дирекртис, р — параметр линии второго порядка, равный поло-

вине длины хорды, проходящей через фокус и перпендикуляр-

ной фокальной оси.

Рис. 3.55

Если г =

О,

то уравнению

(5)

соответствует окружность, если

£<\

— эллипс,если £>\ — гипербола,если е =

— парабола.

Если полярную ось ориентировать

противоположную сто-

рону, то уравнение линии второго порядка в полярной системе

координат имеет вид

Р=\

• (6)

3°.

Рассмотрим некоторые

линии,

уравнения которых зада-

ны в полярной системе координат.

(jO

= а {а — радиан) — геометрическое место точек,

полярный угол которых имеет постоянныю величину, есть луч,

выходящий из полюса полярной системы координат

(рис.

3.56).

Рис. 3.56

164

Гпава 3

р-а — окружность с центром в полюсе и с радиусом,

равным а.

р-1а

cos <р

— окружность, центр которой находится на

полярной оси

точке С

(<з,0)

и радиус которой равен а

(рис.

3.57).

Рис. 3.57

4. р

= а(р {а

— const) — спираль Архимеда (рис. 3.58).

Рис. 3.58

Р=— (a=const) — гиперболическая спираль (р^О

(рис.

3.59). Здесь рФО и полюс называют поэтому асимптоти-

ческой точкой кривой, т. е. такой точкой, к которой точки кри-

вой неограничено приближаются, но никогда

ее

не достигают.

Рис. 3.59

АНАПИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ППОСКОСТИ

165

6. р

а^

(<з^0)

— логарифмическая спираль (рис. 3.60).

Рис. 3.60

Логарифмическая спираль с любой прямой, проведенной

через полюс образует один и тот же угол в. Изменению <р от

до -^юо соответствует часть графика спирали, которая изобра-

жена пунктиром (рис. 3.60).

р = 2а

+ coscp) — кардиоида (рис. 3.61). Это траекто-

рия, которую опишет точка окружности, катящееся без скольже-

ния

по

окружности равного радиуса, касаясь

ее

внешним образом.

Рис. 3.61

8. Лемниската Бернулли р^ =

2а^

cos2(p (рис. 3.62).

Характеристическое свойство

\F^M\

•

|/^2^|

~ ^^ —

const,

где

F^(-a;Ol

F^(a;0),

Рис. 3.62

166

Гпава 3

8.1.

Найти

' 2

декартовы координаты точек

1к

Решение. Применяя формулы

(1),

находим х. = 2cos— = -1

УА-1

sin

— = v3 .

декартовой системе получим

А{У\

л/з)

•

Декартовы координаты точки В будут: х^ =3cos

= 0,

j^5=3sin

=-3,тоесть5(0;-3).

8.2. Найти полярные координаты точек А (-2;0), В{\'-Х).

Решение. Применяя формулы

(2),

(3), находим координаты

точки А

^(-2

= 2, sin

ф^

= - =

О,

cos (р

-1.

2 '^2

По численным значениям синуса и косинуса находим, что

(р^=я.

Таким образом, в полярной системе A(2;7i).

Полярные координаты точки В будут

pB=\l0fH-^= л/2, sin(p^=-^= ——, cos(p5=-y-=^ —.

8.3.

Найти полярные координаты вершин квадрата со сто-

роной

й,

равной единице, изображенного на

рис.

3.63.

Решение. АВ =ВС = CD

DA = 1. Полярные радиусы всех

_ 7С

(Рв

-~"Т, ТО есть

вершин квадрата равны

р -

чЪ

nt V2

чЪ

-^—'

Полярные

Ъп 5л In

углы:

(Рс=

— ,

Ф/)=""'

^А-'Т^

Я>в-~г- Следовательно:

4 4 4 4

АНАПИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ППОСКОСТИ

167

2 ' 4

, В

^72 7^'

2 ' 4

2 '4

^V2

Зя^

2 ' 4

у'аЧ

Pwc.

i.6J

8.4. Найти проекции отрезка на координатные

оси,

зная его

длину d= 6и полярный угол ф = 120 ^.

Решение. По формулам (4) находим

X = 6cosl20° = 6|--|=-3, r = 6sinl20° = 6 — = 3л/з.

8.5. Найти полярный угол отрезка, направленного из точки

М,(3;2л/з) в точку М,(4;ч/3).

Решение. Длина отрезка М^М^ равна

^ = 7(4-3)'+(л/3-2л/з)'=2.

Применяя формулы (4), находим:

4-3 1 . ^--iS л/з ^

cos ф

= =

—,

sin

= = . Отсюда следует, что

2 2 2 2

главное значение (р = 300°.

8.6. Даны точки Mj(l

;0)

М2(3;5).

Найти проекцию отрезка

М^М^ на ось, проходящую через точки А

(-1;2)

и В (3;5) и на-

правленную

от А

к В.

Решение. Обозначим через / данную ось (рис. 3.64), через

(р и

(р^

— полярные углы отрезков АВ и М^М2. Из простых

геометрических соображений находим, что Пр.^М^М2=

168

Гпвва 3

= MjM2

COS

((pj~ <р) = MjM2 ( cos^i COS ^+sin(Pj sin <p).

Отсюда, пользуясь формулами (4) и обозначая через

X,Y— проекции на координатные оси отрезка АВ, а через

X^Y^ — проекции отрезка М^М^, получим: Пр.^М^М2 =

^ ) =

—•

^—, где а — длина от-

=MiM2(

X, X

М,М^ d

резка АВ, равная d = yJx^ + Y^ = = 7(3 + 1)'+(5-2)' = 5

Таким образом, Пр,^М^М2 =- ^^ —

—.

Рис. 3.64

8.7. Линия задана уравнением р =

-. Требуется:

2 + 2со8ф

а) построить линию по точкам, начиная от ф =

до

ср

= 2я:, при-

давая (р значения через промежуток --; б) найти уравнение

данной линии в прямоугольной декартовой системе координат,

у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полу-

ось абсцисс

полярной

осью;

в) по полученному уравнению оп-

ределить, какая это линия.

Решение, а) Составим таблицу и строим линию по точкам

(рис.

3.65)

АНАПИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ППОСКОСТИ

169

Рис, 3.65

<р

coscp

2 +

2cos<p

0,25

'А

0,707

0,29

0,5

Ъл

-0,707

1,7

-1

оо

5л

-0,707

1,7

Ъл

0,5

1л

0,707

0,29

2л

0,25

б) Между декартовыми и полярными координатами суще-

ствует зависимость

= р sm

ф,

д:

= р

cos

(р,

откуда р = >/л:^Н-У,

.=v^

COS^:

4^г77

Подставляя эти значения в данное уравнение, получим

2л/хЧ/ =

•^^ , 2(д/л:Ч/+х) =

^Jx'+/=-

77^7

4x44/=l-4x + 4x',

4д:

= 1-4/, х = --/.

в) Полученное уравнение х

— у — есть уравнение па-

раболы.