Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)

Подождите немного. Документ загружается.

170 Гпава 3

3.9. Параметрические уравнения

плоских кривых

Уравнения x = ^(/),

y-\^{t^^

где t — параметр, называ-

ются параметрическими уравнениями кривой. Для того чтобы

получить уравнение кривой в прямоугольных координатах, из

двух параметрических уравнений нужно исключить параметр.

Параметрические уравнения окружности:

= (2C0S^,

у^аъшг,

Гб

[0,2л:].

Параметрические уравнения эллипса: x = (2C0sr,

у^Ъъшг,

[0,2л:].

В параметрических уравнениях эллипса параметр t есть

угол, образованный радиусом ОМ с осью абсцисс (рис. 3.66).

Рис. 3.66

Циклоидой называется кривая, описанная точкой М, ле-

жащей на окружности, если эта окружность катится без сколь-

жения по прямой

(рис.

3.67).

2пх X

Рис. 3.67

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ППОСКОСТИ 171

Параметрические уравнения циклоиды: x-a^t

—

^xnt),

у—

-cos

^),

/ е

[0,2л:].

При изменении / от

до 2к точка М

опишет одну арку циклоиды.

9.1.

Найти параметрические уравнения окружности

х^ +

j;^

= IRx, если полярная ось совпадает с осью Ох, а полюс

находится в начале координат.

Решение. Между декартовыми координатами и полярны-

ми существует зависимость х = р

cos

(р,

= р sin

(р.

В качестве

параметра примем полярный угол ф = /, тогда уравнение ок-

ружности будет р = 27?cos^ = 2i?cos^. Если в формулы пере-

хода вместо р и (р подставить их выражения в функции /, то

получим

= р (^)cos^ = 2/?cos^ t, у

р {t)smt

IRcostsint

Rsm2t,

Откуда x

R(\

cos2t), y^Rsinlt,

9.2.

Найти уравнения кривых в прямоугольных коор-

динатах: 3i) x

-2

= l +

2t;

б) x

t^+2t

в) x = l-f2cos^5 ;; =

+ 2sin/; г) x = flfCos^

Z>sin

д) x = 2R cos't, y = R sin 2t.

Решение, a) Найдем из первого уравнения параметр / = х + 2

и исключим его из второго уравнения. Тогда получим

2(х + 2) или 2х -

О.

Это уравнение прямой.

б) Представим первое уравнение в виде x

\y +3, тог-

да х =

>^^

. Это уравнение параболы с вершиной, смещенной

на три единицы по оси Ох.

в) Разрешим уравнения относительно тригонометрических

функций 2cos/ =

х-1,

2sin/ =

Возведем в квадрат и сло-

жим 4 = (х -1)^ +

(j^

3)^.

Кривая предсталяет окружность

цен-

тром в точке

(1;

-3) и радиусом равным 2.

г) Разделим правые части

из,

а и 6, возведем выражения в

172

Гпава 3

( лЛ

ybj

2 2

:cos

+ sin Г или —+7Г^^"

а о

квадрат и сложим —

уа

Это уравнение эллипса

д) Возведем второе выражение в квадрат и преобразуем

y^=^R^sm^2t=>y^=4R^{l-cos^t)cos^t, Найдем из первого

2 X

уравнения cos t

— и подставим, тогда

2/?

y^=4R'

1-^

27?

2Rx-x^

{x-Rf +y^=R''

Уравнение окружности с центром, смещенным по оси Ох

на радиус R.

Глава 4

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

В ПРОСТРАНСТВЕ

4.1.

Системы координат

1°.

Декартова или прямоугольня система координат пред-

ставляет совокупность трех взаимно-перпендиулярных

осей:

оси

абсцисс Ох, оси ординат Оу и оси аппликат Oz.

Система координат называется правой, если для каждой

пары осей ху, yz, zx кратчайший поворот первой из них вокруг

начала координат до совпадения с положительным направле-

нием второй виден

со

стороны положительного направления тре-

тьей оси, совершающимся против часовой стрелки, и левой —

в противоположном случае.

Декартовыми координатами точки М называются проекции

радиус-вектора ОМ

(рис.

4.1) на оси координат.

2°.

Цилиндрическими координатами точки М являются ее

апликата z и полярные координаты проекции точки М на плос-

кость хОу (рис. 4.1).

Цилиндрические координаты связаны с прямоугольными

координатами формулами (3)

х = рсо8ф; y = ps\nq)\ z-z. (1)

174 Гпава 4

Из равенств (1) легко находятся формулы обратного пе-

рехода

V^'+/;

tg<p =

^; z^z. (2)

причем выбор нужного угла

Ц>

из двух главных значений мож-

но произвести, например, по знаку координаты у.

М{х,у,г)

(Р,Ф,^)

Рис, 4.1

3°.

В сферической системе координат (рис. 4.2) положение

точки М определяется: ее расстоянием р от начала координат

(радиус-вектором)

(О

< р <

оо);

углом

(р,

который образует про-

екция радиус-вектора на плоскость хОу с положительным на-

правлением оси Ох{0<(р<2к)\ углом

который радиус-вектор

образует

положительным направлением оси Oz{Q<Q <л).

Рис. 4.2

АНАПИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

175

Связь между прямоугольными координатами точки и ее

сферическими координатами устанавливается формулами

x = psin0cos(p;

= psin0sin(p; z = pcos0. (3)

Решая уравнения (3) относительно р , ^, 0, получим фор-

мулы обратного перехода

^x'+/+z';

ig(p =

cosO =•

(4)

I 1 9 9 '

-sJX^

-h

причем выбор нужного знака угла

(р

из двух главных значений

можно произвести, например, по знаку координаты;;.

4.2.

Плоскость

1°.

Основные уравнения плоскости.

Общее уравнение плоскости. Всякая плоскость определя-

ется уравнением первой степени

тремя неизвестными

Ax-^By+Cz+D = 0. (1)

Нормальное уравнение плоскости

гй°-/? = 0 или jccosa +

j;cos/3

+ zcos7-/? = 0, (2)

где/7—длина перпендикуляра, опущенного на плоскость из на-

чала координат;

a,f5,y

— углы, которые этот перпендикуляр

образует

положительными направлениями координатных осей;

й° — единичный вектор направления ОР

(рис.

4.3).

N(A,B,C)

^M(x,y,z)

Рис. 4.3

176

Гпава

Для приведения общего уравнения плоскости (1) к нормаль-

ному виду нужно это уравнение умножить на нормирующий мно-

житель М=— =г, при этом знак нормирующего

множителя должен быть противоположен знаку D в уравнении

(1).

(Если D =

О,

то знак М может быть

любой).

Зная общее урав-

нение плоскости, косинусы направляющих углов в нормальном

уравнении плоскости находятся по формуламcosa = ^-M;

cos Р

ВМ; cosy

СМ, а длина перпендикуляра

P=\D-M\,

уравнение плоскости в отрезках на осях

(3)

а о с

где

а,Ь,с

— отрезки, которые отсекает плоскость на координат-

ных осях (Рис. 4.3).

Уравнение плоскости, проходящей через данную точ-

ку

М,(xpj^pZj)

и перпендикулярной данному вектору

A{x-x,)

B{y-y,)

C{z--z,)

(4)

Параметрические уравнения плоскости

y^+uay+vb/, ^^^

ZQ+ua^+vb^,

где u,v- два параметра; a^,b^,ay,by,a^,b^, — проекции векторов

и ^ удовлетворяющих векторному произведению ахЬ =N.

2°.

Основные

задачи на плоскость.

Точка пересечения трех плоскостей находится из совмес-

тного решения их уравнений.

АНАПИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

177

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

^l(^l.J^p-^l)'

^2{Х2^У2^2^), ^^Л^Ъ^Уъ^^)

х-х,

у-у,

Z-Z,

^-^ Уг-Ух Z2-Z,

^-^1 Уг-Ух ^3-2,

=0.

(6)

Параметрические уравнения плоскости, проходящей

че-

рез три точки, имеют вид

Угол между двумя плоскостями равен углу между нор-

мальными к ним векторами

/i/,

(Д,

Д, Q) и

Л^2

(Л. Д. Q)

(7)

cos<p =

^ ,. J-, -±

A^A^

B^B^+QC^

ЦЩ ^A^

Bf+Cf^A^+B',+C,

(8)

Если две плоскости взаимно-перпендиклярны, то сумма

произведений коэффициентов при одноименных текущих коор-

динатах равна нулю

44+^^2+QQ=0.

(9)

6. Если две плоскости параллельны, то коэффициенты при

одноименных текущих координатах пропорциональны

2 2 2

(10)

Расстояние от точки M^

(дг,

,;>;,,

z,) до плоскости

\Ax^+By^+Cz^+D

\x^cosa+у^

COS

cosy—р\ =

±SIA^+B^+C^

(И)

178

Гпава

2.1.

Дано уравнение плоскости 9x - 2j +

-11

= 0. Приве-

сти:

а) к нормальному виду; б) к уравнению плоскости в отрез-

ках на осях.

Решение, а) Найдем нормирующий множитель

М =•

Г7г / ^ч2 77

11 •

Умножая на М данное уравнение,

получим

где cosа

9 2 6,^

—jc

—1

= 0,

11 11 11

cosB= , cosr =

—ир-l.

11 11

б) Перенесем свободный член в правую часть уравнения и

разделим на него уравнение, представив его в виде

•^ + -^ = 1.

И 11

Отрезки на осях а

Ь =

_1_1_

9 2 ' ~ 6'

2.2.

Написать общее и параметрические уравнения плос-

кости, проходящей через три точки

У4(1,1,0);

Б(3,2,-1) и

С(2,-1,4).

Решение. Воспользуемся уравнением (6)

х-\

у-\

2 1

1 -2

= 0.

Общее уравнение искомой плоскости 2x-9y-5z+l = 0.

Для получения параметрических уравнений плоскости под-

ставляем координаты точек в формулы (7)

АНАПИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 179

jc = l + 2wH-t;,

\-\-u-2v,

г= -u

4v.

2.3.

Через точку (2,1,3) провести плоскость, которая была

бы перпендикулярна к плоскости x+3y-z+2=0 и проходила бы

через точку (3,-1,5).

Решение. Воспользуемся уравнением плоскости

(4),

прохо-

дящей через данную точку и перпендикулярной некоторому век-

тору N{A,B,C)

А{х-2)+В{у-\)+С{2-Ъ) = 0. (*)

Из условия перпендикулярности (9) этой и данной плоско-

сти имеем

А-^-ЗВ

- С = 0.

Поскольку наша плоскость должна проходить через точку

(3,-1,5),

то подставляя ее координаты в уравнение (*), получим

А-2В+2С = 0.

Мы получили систему трех линейных однородных уравне-

ний относительно неизвестных А,В,

С.

Чтобы система имела ре-

шение отличное от нулевого, необходимо и достаточно, чтобы

определитель равнялся нулю

\х—2 у-\ ^-3|

1 3 -1 =0.

1 -2 2 1

Отсюда уравнение искомой плоскости 4x-3y-5z+l0 = 0.

2.4.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точ-

ку

(2,1,-2) перпендикулярную линии пересечения плоскостей

jc+3j;+2z+l =

и 3x+2j;-z+8 = 0.

Решение. Найдем вектор параллельный линии пересечения

плоскостей