Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)
Подождите немного. Документ загружается.
180
Гпава 4
N
=
N,xN^ =
I
J
1
3
3
2
l\
-1
=
-li+lj-lk.
Воспользуемся теперь уравнением плоскости, проходящей
через точку М^, нормальный вектор которой параллелен линии
пересечения плоскостей
-7(л:-2) + 7(у-1)-7(2
+
2) = 0 или x-y
+
z
+
l
=
0.
2.5.
Через точку (2,-1,3) провести плоскость, параллельную
плоскости x-2j/
+
4z-5 = 0.
Решение. Уравнение плоскости, проходящей через данную
точку, имеет вид A[x-2)
+
B[y
+
\)
+
C[z-3)
=
0.
Поскольку плоскости параллельны, то, используя условие
параллельности плоскостей
(10),
подставляем вместо
Л,
J5,
С
зна-
чения коэффициентов из заданного уравнения плоскости (с ко-
эффициентом пропорциональности, равным 1)
х-2-2(^ +
1)
+ 4(2-3) = 0
или x-2y
+
4z-\6
=
0.
2.6. Вычислить расстояние от точки М (2;-1;3) до плоско-
сти 11х-2^ + 10г +
6
= 0.
Решение. По формуле (10) имеем
d =
11-2-2(-1) +
10-3
+ 6
15
V(ii)4(-2)4(io)^
2.7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точ-
ку Mj (1;-1;2) и перпендикулярной вектору Л^(4;3;-1).
Решение. В соответствии с уравнением (5) имеем
4(х-1) +
3(^/
+ 1)-(г~2) =
О,
откуда 4x
+
3y-z
+ \ =
0.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 181
2.8. Вычислить угол между плоскостями
x
+
2y-3z-4
=
0; 2x-y
+
z
+
l
=
0.
Решение. Используя формулу (7), получим
1-2 + 2(-1)+(-3)1 _ 3
cos^
( 3 ^
откуда ф = arccos, ,—
. 2721^
Следует отметить, что
в
данном случае получен тупой угол.
Острый угол между этими плоскостями равен к-(р.
2.9. Найти расстояние между параллельными плоскостя-
ми 5х
+
2у-Ъг-1
=
0 и 5x + 2i/-3e + 4 = 0.
Решение. Искомое расстояние равно расстоянию от любой
точки, лежащей на одной из плоскостей, до другой. Возьмем на
первой плоскости точку, полагая для удобства расчета
х = 0; у
=
0. Тогда z=—. Расстояние от точки М
второй плоскости находим по формуле (11)
|5-0 + 2-0-з(-^)+4| JJ
/
0;0;-- до
d =
л/25
+ 4+9 л/38'
2.10. Найти уравнения плоскостей, параллельных плоско-
сти x
+
2y-2z
+
4
=
0 и отстоящих от нее на расстояние d
=
3.
Решение. Очевидно, что искомых плоскостей -
две.
Пусть
точка M(^x,y,z) произвольна
и
принадлежит какой-либо одной
из искомых плоскостей. Поскольку расстояние от точки до плос-
кости равно трем, то имеем
\x
+
2y-2z
+
4\^^
Vl
+
242'
182
Гпава
4
Откуда следует, что
хн-2г/-2г + 4 ^ х-2^-22: + 4
=
3;
= -3.
3 3
Таким образом, искомые уравнения плоскостей имеют вид
x + 2i/-2z~5 = 0;
х-2г/-2г
+
13
= 0.
4.3.
Прямая линия
1°.
Основные
уравнения прямой линии.
1.
Уравнение прямой линии в общем виде
J^jc +
^jj^
+
CiZ
+
D,
=0;
[A^x +
B^y-^C^z
+
D^
=0.
2.
Уравнение прямой в симметричном (каноническом) виде
(1)
где
/ =
В,
с,
X Хр _
_У-Уо
/ т
; т
=
-
1 2
Z
—
2
[о_
3
п
; п =
А в,
А в.
(2)
- проекции направляющего вектора а (/, т,п) прямой, проходя-
щей через точку М^ (х^, Jo' ^о)
•
3.
Параметрические уравнения прямой, проходящей че-
рез точку
M(XQ,JHO,ZQ)
В направлении вектора Й{/,т,«} име-
ют вид
х = Хо+//; y
=
yQ-\-mt;
z
=
ZQ-\-nt,
(3)
где t — параметр.
Если считать, что t — время, то уравнения (3) определя-
ют прямолинейное и равномерное движение точки M(x,y,z) со
скоростью v
=
yjl^
+т^ +п^ в направлении вектора а[1,т,п}.
АНАПИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 1[83
Точка
MQ
(XQ,
JO'
^О)
является начальным положением пере-
менной точки M{x,y,z), то есть положением при / = 0.
2°.
Основные задачи на прямую линию,
1.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
JC-JC,
Xj "~~Xj
_ У-У1 _ ^-^i
Уг-Ух ^2-z,
(4)
2.
Угол между двумя прямыми
3.
Если две прямые взаимно-перпендикулярны, то сумма
произведений их одноименных направляющих коэффициентов
равна нулю
1^2
+
^^1^2
+ «,«2 = 0. (6)
4.
Если две прямые параллельны, то одноименные направ-
ляющие коэффициенты этих прямых пропорциональны
/, т. т
7"
• (7)
3.1.
Составить симметричные уравнения прямой линии
[5JC
+ >^-3Z +
5
= 0.
Решение. Пусть
XQ
=
О,
тогда
M;;-z + 6 = 0;
|j;-3z +
5
= 0,
откуда у^ =1; z^ = 2.
Воспользуемся теперь формулой (2)
184
Гпава 4
1
=
-4 -1
1 -3
=
13;
т —
-
8 -1
5 -З!
X
у-\
=
19;
и =
Z-1
8 -4|
5 1
=
28.
19 28
3.2.
Получить параметрические уравнения прямой
jc-2_>'
+ l_
Решение. Обозначим в симметричном уравнении прямой
равные отношения буквой t
х-2
V
+
1
Z
откуда
X
=
2
+
3^
y
=
-'l-\-4t,
z
=
t.
3.3.
Написать уравнение прямой, проходящей через точки
М, (2,1,-1) и М^ (4,-3,2).
Решение. Принимая в качестве элементов, определяющих
прямую, точку Mj и направляющий вектор
М^М2
(2,-4,3), за-
пишем по формуле (4) уравнение прямой
х-2 ^y-l
__
z
+
l
3.4.
Написать уравнение прямой, проходящей через точки
пересечения плоскости x
+
2y-3z-2
=
0 с прямыми
х-5
^у-3 ^z х-1 _у-\
__z
+
l
"5 1 2 "" "Т"""4~""~Г'
Решение. Запишем уравнение первой прямой в параметри-
ческом виде х = 5 — 5t, у = 3+/, z = 2/. Для нахождения точки
пересечения прямой с плоскостью подставим эти уравнения в
уравнение плоскости и найдем параметр t
5-5/
+
6
+
2/-6/-2
= 0, -9/= -9, / = 1.
АНАПИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
185
Отсюда координаты точки пересечениях^ =0, у^=4,
Zj =2.
Параметрические уравнения второй прямой будут
X
= 7+5г,
у = 1+4^ Z
=-1+г.
Подставляя их в уравнение плоскости
74-5/+2+8/+3-3/-2 =
О,
находим, что
Г
= -1 и координаты точки
пересечения
JC2
= 2,
>^2
~
""-^'
2:2
=
—2 .
Используя уравнение пря-
мой, проходящей через две точки, получим
у-4
Z-2
или —-•
у-4
_z-2
2 -3-4 -2-2 2-7-4
3.5.
Составить уравнение прямой, проходящей через точку
MQ
(1,0,-3) параллельно линии пересечения плоскостей х-^2у-
-2+3 = 0 и 3x-j;-4z+2 = 0.
Решение. Перемножая векторно нормальные к заданным
плоскостям векторы, находим вектор параллельный линии их
пересечения
J
j к
1 2 -11
3 -1 -4
N
=
N,xN^ =
=
-9i+j-lk.
Уравнение прямой, проходящей через точку М^ паралельно
вектору N, примет вид
JC —1
_ у _ 2 +
3
3.6. Найти угол, образованный прямыми:
jc-l_
j/
+ 3__7^ x + l_ j/-5 __z-2
Решение. Угол между прямыми находим по формуле (5)
cos^
=
2-3 + 6-2 + 9-6
л/2Чб'+9Чз'+2Чб' 77
72
= — = 0,936,
186
Г
пава
4
откуда
(р =
20'30'.
3.7. Составить уравнения движения точки М, которая, имея
начальное положение
М^
(1;
2;
1),
движется прямолинейно и рав-
номерно в направлении вектора а
={4;4;
2}
со скоростью
V =
\SM/C.
Решение. Сравнивая модуль вектора а, который равен
|а| = v4^ +
4^
+
2^
= 6 с заданной скоростью v = 18м/с , видим,
что в качестве вектора s следует взять вектор в три раза боль-
ший, т. е. 5
={12;
12;
6}.
Согласно формулам (3) уравнения
движения будут
x
=
l
+
l2t; y
= 2 +
l2t; г =
1
+ 6/.
4.4. Прямая и плоскость
1.
Угол между прямой и плоскостью
А1 +
Вт
+ Сп
8Шф = ±-
(1)
2.
Условие параллельности прямой и плоскости
А1 +
Вт
+ Сп =
0.
(2)
3.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости
ABC
4.
Уравнение пучка плоскостей
5.
Точка пересечения прямой ^ = -—=^ = ^ и плос-
I т п
АНАПИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 187
КОСТИ Ax-^By^Cz-^D -
О
находится по формулам x-x^^rtl\
AXQ
-Ь
Ву^ -^CZQ + D
У =
Уо-^^^'->
z = ZQ+tn, где t
Al
+
Bm + Cn
4.1.
Найти точку пересечения прямой —-- = и
2 1 3
плоскости Ix-^y- Z-1
=^0.
Решение. Запишем уравнение прямой в параметрическом
виде: x = 2t; у = /+2; z = 3t-l.
Подставляя x,y,z в уравнение плоскости, находим соответ-
ствующее значение t: 4t+t+2-3t+l-l = 0.
Отсюда / = 2 и координаты точки пересечения х = 4;
у=4; Z = 5.
4.2.
Написать уравнение плоскости, проходящей через ли-
нию пересечения плоскостей x-^2y-3z -
1
=
О
и 2x+y-3z- 4 =
О
и
через точку (2,-1,3).
Решение. Воспользуемся уравнением пучка плоскостей (4),
проходящих через линию пересечения двух данных плоскостей
JC
+
2J;-3Z-1
+
A(2JC
+
J;-3Z-4)
= 0.
Подставляя координаты точки в уравнение пучка, находим
соответствующее значение Я:
2 + 2(-1)-"3-3~1 + Я(2.2 + (-1)-3-3-4) = 0.
Отсюда
Я
=
-1.
Подставляя значение Я в уравнение пуч-
ка, получим искомое уравнение х -у+3 = 0.
4.3.
Написать уравнение плоскости, параллельной оси Ох и
проходящей через точки Mj (2,-1,4) и
М2
(5,2,-3).
Решение. Уравнение плоскости проходящей через точку
Mj будет 74(х - 2)+5(у+1)+С(г - 4)=0. Так как искомая плос-
кость параллельна оси Ох, то проекция нормального к плос-
кости вектора на эту ось равна нулю, т. е. ^ = 0. Поскольку
плоскость проходит еще и через точку М^, то получим
ЗА+ЗВ-1С = 0.
188
Гпава
4
Система имеет решение отличное от нулевого, когда опре-
делитель равен нулю
|jc-2 у^-Х z-4|
1 О О
О
или
7j;
+
3z-5 = 0.
4.4.
Написать уравнение плоскости, проходящей через точ
х+1 _у _z-\
= 0.
ку
MQ(3,2,~1)
И параллельной прямым =^= и
JC-1 _ у-\-2
___
Z
+ 3
~А 1 3~*
Решение.
Уравнение
плоскости,
проходящей
через
точку М^,
будет ^(jc -
3)
+ В{у -
2)
+ C{z +1) =
О.
Поскольку плоскость па-
раллельна прямым, то из условия (2) имеем 2А-\-ЗВ-2С
=
0 и
4У4
+
JB
+ ЗС
=
О.
Система этих уравнений может иметь решение,
если определитель равен нулю
\х-3 у-2
2 3
4 1
Откуда уравнение искомой плоскости
11JC-14;;-10Z-15
= 0.
4.5. Определить угол между прямой, проходящей через точ-
ки Mj(0,2,6) и М2(3,6,-6), и плоскостью 2JC-3;-2Z-1 = 0.
Решение. Уравнение прямой, проходящей через точки М^ и
1г ^ >''"2 Z-6
Mj, примет вид —^^ = .
' 3 4 -12
Угол между прямой и плоскостью находим по формуле (1)
2-3-Ь4
+ 2>12
^ 26 ^2
л/4
+
1
+
4л/9 + 16
+
144
"313~3*
Z
+
1
-2
3
sm(p =
АНАПИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 189
4.6. Найти проекцию точки Мо(1,2,3) на плоскость
Решение. Уравнение перпендикуляра, проходящего через
точку MQ К
ПЛОСКОСТИ,
имеет вид
х —
\
__
у
—2 __
2-Ъ
I т п
Поскольку направляющий вектор прямой совпадает
с
нор-
мальным вектором к плоскости, то на основании условия (3) бу-
дем иметь
х-1 _ у-2 _ Z-3
1 -2 1
= /.
Откуда
jc
= l +
/,
j;
= 2--2/, z = 3+
/.
Зная параметричес-
кие уравнения
прямой,
находим точку пересечения прямой
и
плос-
кости. Для этого подставим эти уравнения
в
уравнение плоскости
и найдем параметр t:
1-f/-4
+
4/ +
3
+ /-6 = 0, t
=
l. Отсюда
X = 2, ;; = О, Z = 4.
4.7. Составить уравнение плоскости, проходящей через
прямую
j8x +
2>;
+ 3z +
6
= 0,
^ х +
1
V-4 Z-1
параллельно прямой = = .
2 3-2
Решение. Запишем уравнение пучка плоскостей (4), прохо-
дящих через первую из данных прямых
8JC + 2>^ + 3Z + 6 +
A(3JC
+
4;;H-Z
+ 1) = 0.
Выберем из этого пучка плоскость параллельную второй
прямой, то есть найдем соответствующее численное значение Я.
Представим уравнение пучка плоскостей в виде
(8
+
3A)jc + (2
+
4A)j;
+
(3
+ A)z +
6
+
A
= 0.