Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)

Подождите немного. Документ загружается.

210

Гпава 5

Равенства (2) можно рассматривать как линейное преобра-

зование координат точки (вектора) в пространстве. Преобразо-

вание (2) характеризуется матрицей

А^

а.

*12

а.

а 21 а

1Ъ

*Ъ1

Если ввести обозначения R -

(х^

, Z .

^х'^

иИ' =

, Z .

, то равенства

(2) в матричной форме примут вид

R=AR\ (3)

т. е. каждому линейному преобразованию векторов г = Аг' со-

ответствует линейное преобразование координат этих векто-

ров.

Поэтому вместо линейных преобразований векторов

обычно рассматривают соответствующие преобразования ко-

ординат.

Если вектор х переводится в вектор у линейным преобра-

зованием с матрицей А, а вектор у переводится в вектор z ли-

нейным преобразованием с матрицей В, то последовательное

применение этих преобразований равносильно линейному пре-

образованию, переводящему вектор х в вектор z

Матрица это-

го линейного преобразования равна С

ВА.

1.1.

Дано

линейное преобразование

x = x -у +Z,

х +>; -Z,

Z =

и даны точки в системе координат x',j'z': (1,-1,2) и (2,-3,0).

Найти координаты этих точек в системе x,y,z.

ЭПЕМЕНТЫ ПИНЕЙНОЙ АПГЕБРЫ

211

Решение. Подставляя координаты точек

данное линейное

преобразование, получим: если

х*

у'--\^

z' = 2, то

= 4,

у--2,

2 =

если

д:'

= 2,

у'--Ъ,

z' = 0, то

у--\, z

1.2. У каких точек линейное преобразование

2JC

Ъу',

не меняет координат?

Решение. Нужно найти х и

если х

х\ у

у'- Отсюда:

= 2х + Зу, у

4х

у .

Следовательно, х = х' = 0, у

у'

1.3.

Даны

два линейных преобразования

z,=3y,+2y^'-2y^,

^2 =3^,+4^2-4^3,

^3= J^i+ 3^2-2j;3.

\у^ =Xj +2X2+3X3,

1у2

=-^1

-4x2 +2хз,

1_Уз

=2xj +Х2

+2X3.

средствами матричного исчисления найти преобразование,

выражающее Zp

^2,

через

Хр

Х2,

Хз.

Решение. Первое преобразование определяется матрицей

У1,

а второе — матрицей В

^1 2 3"! /"3 2 -2^

1 -4

2 1

5 =

3 4-4

1 1 -2

Искомое преобразование является матрицей, определяемой

произведением данных матриц

(3 2 -2Yl 2 3

ВА = 3 4-4

1 1 -2

1 -4

2 1

-4

-1 -14 9

-2 -4 1

Следовательно, искомое преобразование будет

212

Гпава

1.4. Дано линейное преобразование координат

j;,

= X, - 3^2 + Зхз,

>'2 =

-^1

-4^2 +2^3,

д^з =

2JCI

—

4x2

"*"

2-л^з

•

Требуется

найти

обратное преобрзование.

Решение. Запишем данное линейное преобразование в мат-

ричном виде

Y=AX,

где

V, I,

\\ -4

2 -4

Уг

Уъ

К-"'

)

Ч^

^ =

Вычислим

det^ =

1 -3

-А

2 -4

Поскольку det

У4

о, матрица ^ невырожденная и поэтому

имеет обратную

det^

Д,

^12

-^21

^22

-^31

-^32

где А,,

Дз Лз Л:

алгебраическое дополнение, соответствующее эле-

менту а.-.

Найдем алгебраические дополнения

ЭПЕМЕНТЫ ПИНЕЙНОЙ АПГЕБРЫ

213

л,=

-4 2

^21 """

Л,=

= 0, Д,=-

-3 3

-4 2

-3 3

-4 2

1 2|

2 2|

— О, А22 —

= 6, ^2 = -

1 3

2 2

1 3|

- 2' ^13 -

|1 ^1

1 |1 -3

= -4, 4э=-

1 '' |2 -4

4з =

Отсюда

/"0 -6 6 "j

2-4 1 =

^4 -2 -ij

0 -1

' 3 3

2 1

1з 3

1 -3

1 -4

-1.

= -2,

Умножив обе части исходного преобразования на А^^, по-

лучим ^-'у=:^-'^4Х-Поскольку А'^А

Е ,тдеЕ

—

единичная

матрица, то будем иметь A'^Y

Х или X

А' Y, Подставляя

сюда матрицу А"^, получим

0 -1 1

1 _1 1

3 3 6

__]_ _J_

3 3 6

/^ л

Ч^зу

Откуда

обратное

преобразование

х,=

-У1

-У2+УЗ'

2 ]_

1 1

•^У.~Уг

х,=

Х2=^Ух-^У2+ТУъ^

214 Гпава 5

1.5.

Даны

два линейных преобразования

JCi — T'-Xi

"т"

•3^2 "• •^•^ 9

I Д/*» "~~ .Jy\/t "| ^Д/'Л Д/-3 ,

Средствами матричного исчисления найти преобразование.

выражающее

х'^',х'^\х'^'

через х^,Х2,х^.

Решение. Первое преобразование определяется матри-

цей А, а второе матрицей В

-1

, в=

3 П

1 2

-2 1 ,

Искомое преобразование является матрицей, определяемой

произведением данных матриц

и 3 iV3 -1 s^i (IS 4 зП

1 2 4

3 2-1

ВЛ

1 2

-2 1

16 3 17

4 3-4

Следовательно, искомое преобразование будет

х,"=18х, +4x2+31^3;

^2'= 16х, + 3^2 +

17Хз;

5.2. Разложение векторов по базису.

Арифметические векторы

1°.

Арифметическим вектором

называется всякая упорядо-

ченная совокупность

из

«действительных чисел

= x(xpA:2,...,x„),

где :Cj,X2,...,x^ —компоненты арифметического вектора х-

ЭПЕМЕНТЫ ПИНЕ ИНОЙ АПГЕБРЫ 215

Система арифметических векторов{^р...,х^} называется

линейно зависимой, если найдутся числа Aj,...,A^, не равные од-

новременно нулю, такие, что \х^ +... +

Х^х^

О,

иначе эта систе-

ма называется линейно независимой.

Система векторов (г,,...,?^) называется блзг/сол^ в произ-

вольном множестве Q арифметических векторов, если она ли-

нейно независима и для любого вектора x^Q найдутся числа

Ai,...,A^ такие, что

х^^^^'

(1)

где Ai,...,A^ —координаты вектора х в этом базисе.

Формула (1) представляет разложение вектора х по бази-

су (?р...,5,).

2°.

Если 5(ei,...,e„) и В'{е^,...,е[) два различных базиса в

произвольном

— мерном пространстве, причем каждый из век-

торов базиса Б'разложим по базису В\е[=

t^j^e^

t^f^e^

+...

t^j^e^,

то матрицей перехода Т от базиса В к базису В' называется

матрица

Г =

ft ... / Л

\ п\

пп

в которой столбцы состоят из координат векторов ^ в бази-

се 5.

Если X — произвольный вектор, а Хи X' — столбцы его

координат в базисах В и ^'соответственно, то зависимость

преобразования координат при преобразовании базиса при-

мет вид

Т-'Х, (2)

216 Гпава 5

2.1.

Выяснить, является ли система арифметических век-

торов

(3,1,1),

^2 =(1,-1,11),

Зсз

=(1,1,-5) линейно зависимой

или линейно независимой. Найти ее ранг и какой-нибудь базис.

Решение. Составим матрицу X, вектор-столбцами которой

будут вектора

х,,

^2,

х^

(Ъ 1

Х = \\ -1

1 И

Поскольку определитель матрицы равен

нулю,

а минор вто-

|3 11

-5 ,

рого порядка ^2 =1 =-4^0 отличен от

нуля,

то ранг мат-

рицы равен 2 и исходная система арифметических векторов

линейно зависима. Принимая минор второго порядка за базис-

ный полагаем, что арифметические векторы

х^, х^

образуют ис-

комый базис.

2.2.

Показать, что векторы 5(2,1,-4), 6(1,-4,-3), с(3,6,-2)

образуют базис пространства и найти координаты вектора

J(l,-4,3) в этом базисе.

Решение.

Составим матрицу

из

компонент векторов 5, 6, с,

приняв их за столбцы

^ 2 1 3^1

1 -4 6

-4 -3 -2

V /

Для определения ранга этой матрицы вычислим опреде-

литель

2 1 3

1 -4 6

-4 -3 -2

= -27 7^0.

ЭПЕМЕНТЫ ПИНЕЙНОЙ АПГЕБРЫ

217

Отсюда следует, что ранг матрицы

Так как ранг мат-

рицы равен числу векторов, то они линейно независимы, а

трех-

мерном пространстве любые три линейно независимых вектора

образуют базис.

Обозначив координаты вектора d в базисе 5, Ъ, с , через

Aj,

Я^,

Яз'

получим векторное уравнение

которое равносильно системе трех уравнений

1= 2Л1+Д^4-ЗЛз,

[-4= Я,-4Л^+6Яз,

3 = -4Я,-ЗЛ^-2Дз

Решаем эту систему относительно AjjA^?^

•

По формулам

Крамера

= -27.

л=-

1 1 3

-л -А Ь

3 -3 -2

^ -27

^=3

2 1 1|

1 -4 -4

-4 -3 3

2 1

- 1 -4

И 3

= 2.

-2

= 3,

Координаты вектора d в базисе 5,6,с будут: yli=-4,

Л^=3,

Лз=2, т.е. J=-45 +

+ 2c.

2.3.

Показать, что векторы

(2,4,1),

?2(ЬЗ,6), ?з (5,3,1) об-

разуют базис и найти координаты векторах(24,20,6) в этом

базисе.

Решение. Составим матрицу

из

компонент векторов

5р

^2,

ej,

приняв их за столбцы

218 Гпава 5

2 1 5

Т=\А 3 3

1 6 1

Для определения ранга этой матрицы вычислим опреде-

литель

|2 1 5|

detr=4 3 3=749^0.

|l 6 l|

Отсюда следует, что ранг матрицы г = 3. Поскольку ранг

матрицы равен числу векторов, то они линейно независимы, а в

трехмерном пространстве любые три линейно независимых век-

тора образуют базис. Так как определитель матрицы не равен

нулю,

то для нахождения решения используем формулу

(2).

Вы-

числяем алгебраические дополнения матрицы Т

-1,

^,=(-1Г

3 3

6 1

= -15,

Тп={-^Г\

ТгМ-^Г

|1 5

|б 1

•'12

4 3

1 6

= (-!)-

4 3

1 1

21,

29,

Г,,=(-1Г

Тгг<-^Г\

т.={-^Г

1 5

3 3

2 1|

1 б|

2 5|

1 l|

=-и,

-12,

Гз,=(-1Г

Тгг={-^Г

Окончательно

]

реше

ние

npi

|2 1

1мет

|2 5

= 2.

вид

= -3,

= 14,

ЭПЕМЕНТЫ ПИНЕИНОИ АПГЕБРЫ

219

х'=т-'х

= —

-15 29

-1 -3

21 -11

-12¥24'\

, 6 ,

(2^

Координаты вектора х в базисе вр^^^^з' соответственно,

равны

2е^

+ 4ез.

2.4.

Показать, что система арифметических векторов

?, =(1,1,1,1,1)

е,={ОХ\Х\\

?з =(0,0,1,1,1), 5, =(0,0,0,1,1),

?5 =(0,0,0,0,1) образует базис и найти координаты вектора

= (1,0,1,0,1) в этом базисе.

Решение. Составим матрицу из компонентов векторов

?!,...,

?5 J

приняв их за столбцы

1 0

1 1

Поскольку определитель этой матрицы равен

и не равен

нулю,

то ранг матрицы г = 5. Так как ранг матрицы равен чис-

лу векторов, то они линейно независимы и образуют базис.

Обозначив координаты вектора х в базисе 5р...,?5 через

/Ij,

/Ц 5

>^ Д4 Дз получим векторное уравнение

= \е^ +

Т^е^

Яз^з

К^А

^5^5'

которое равносильно системе пяти уравнений

0 = А,+Л^,

0 = Я,+Я2 +

Яз

Я4,

= Я,+А2+Яз+Я4+Я5.