Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)

Подождите немного. Документ загружается.

220 Гпава 5

Из решения системы находим, чтоЯ^

=1,

Я^

=~1,

Лз

=Ь

Я^

=-1,

Яз

=1. Таким образом, координаты вектора х будут

•Л» "^ ti ^^О I t^"! ^А ' *^с •

5.3. Собственные числа и собственные

векторы матрицы

1°.

Линейным оператором в линейном векторном про-

странстве называется всякое отображение 2 пространства в

себя, обладающее свойствами Aix^-y^^Ax-^Ay и

Я^

Л(ЯЗс).

Если ^ —линейный оператор и 5 =

(^5...,в^)

—

некоторый базис, то разложение векторов

J4e^

(/: =

1,...,

по ба-

зису примет вид

^^^=«и^1+- + «„Л.

А:

1,...,п.

Матрица

У1

^11 ^12

^21 ^22

а,.

*'1п

а„

называется матрицей оператора А в базисе В.

Если число Я и вектор х удовлетворяют выражению

Ах

Хх , то число

называется собственным числом ли-

нейного оператора Л, а вектор jc — собственным векто-

ром,

соответствующим собственному числу Я. В матричном

виде

{A-?iE)X

Х^О, (1)

где X— столбец координат собственного вектора, соответству-

ющего собственному числу Я.

ЭПЕМЕНТЫ ПИНЕЙНОЙ АПГЕВРЫ

221

Отсюда следует,

что для

нахождения собственного числа

оператора

необходимо решить уравнение

det(^-A£')

2°.

Характеристическое уравнение матрицы третьего

по-

рядка

А^

а.

а,

V^3i

а.

•22

'*23

имеет вид

а,1-Я

^21

*12

а^

-Я

«23

«33-Я

= 0.

(2)

*31

^^32

где

— называется собственным числом матрицы.

Корни Я^,Я^,Яз этого уравнения называются xa/?a/cm^/7wc-

тическими

или

собственными числами матрицы. Если исход-

ная матрица симметрическая,

то

корни уравнения

(2)

вещественны.

Система уравнений

(«11-^)^1 +«12^2 +«13^3=

О'

«21^1 +(«22 -Я)^2 +«23^3 =0, (3)

«31^1 +«32^2+(«33-^)^3=0'

которой

имеет одно

из

значений

Х^,Х2,Х^

определитель

которой равен нулю, определяет тройку чисел

^j,

^2'

^з'

соответ-

ствующую данному характеристическому числу. Совокупность

этих трех чисел ^р^2 5^з определяет вектор

=^j/ +^27+^3^'

который называется собстенным вектором матрицы

А.

3.1.

Найти собственные значения

собственные вектора

222 Гпава 5

линейного преобразования, заданного в некотором базисе мат-

рицей

(А -5 2^

^=5 -7 3

1^6

-9 4

Решение. Составляем характеристическое уравнение

|4-1

-5 2 I

5 -7-Я 3 =0

6 -9 4-я|

или-(4-Я)'(7 +

Я)

12(7 + Я)

+ 52(4-Я)-180 = 0, Я'(Я-1) = 0.

Отсюда собственные

значения:

Я, =

Я^

О,

Я3

= 1.

Найденное собственное значение линейного преобразования

Я,

подставим в систему уравнений (3)

[4^,-5<^,+2^з=0,

5<^,-7^,+3^з=0,

[б<^,-9^з+4^з=0.

Решая систему уравнений методом Гаусса, находим соб-

ственный вектор, соответствующий

Я^

[4^,-5^3+2^3=0,

2<^,-^,=0,

^,=2<^„

^3=3^,.

2^,-^2=0,

Полагаем(^j =а, тогда^2 = 2а и ^^=3а.

Следовательно, ^ =

Г2

= а

+ 2у +

где а — любое от-

личное от нуля действительное число.

Находим собственный вектор, соответствующий Яз = 1.

Получим систему

ЭПЕМЕНТЫ ПИНЕЙНОЙ АПГЕБРЫ

223

5^,-8<^,+3^з=0,

[6^,-9^,+3^3=0-

Решая ее методом Гаусса, будем иметь

[3^,-5.^,+2^3=

о,

Откуда ^j =<^2 =<эз- Полагаем L=a, тогда E,2^t,^=a и

собственный вектор Гз = а (/ + у + ^

где а — произвольный,

отличный от нуля множитель.

5.4. Квадратичные формы и их приведение

к каноническому виду

Квадратичной формой от двух переменных х^^х^ называ-

ется однородный многочлен второй степени

(Хр ^2

) =

flj

jXf + 2aj2XjJC2 +

^22^2

' (1)

где

<2i

^12 5 ^22

— коэффициенты формы.

Положим ^12 =ci2\ ^ запишем квадратичную форму (1) в

виде

(jCp ^2

) =

«1

jXf +

^12X1X2

^i2-^l-^2 "^ ^22-^2

ИЛИ

Ф(ХрХ2) = Х,>;,+Х272 (2)

где

кЛ+«12^2=>^Р

Ь2Л+«22^2=>^2-

(3)

224

Гпава 5

Матрица А-

а.

V^21

^12

*22

определяет выражения (3), а сле-

довательно, и квадратичную форму (2) и называется матрицей

квадратичной

формы.

Квадратичная форма имеет канонический

вид, если она содержит только члены с квадратами переменных,

т. е. если а,^ =^21 =0.

Заменим базис. Для этого перейдем от переменных

х^,Х2

к переменным

л:',

^2,

которые выражаются через х^.х^ линей-

но.

Квадратичная форма (2) преобразуется к виду

Ф{х[,х[)

= х[у[ +

х^у[,

где

(4)

(5)

Теперь матрица А примет вид А' =

а,

а^

а,

^22

^'=

Если в качестве базиса взять совокупность собственных

чисел и собственных векторов линейного преобразования, то в

этом базисе матрица линейного преобразования примет вид

Ч О"!

од,'

где Я^,Я2 — собственные числа.

Выражения (5) примут вид

у'^

- Дхр

У2 =

Х^х\, а квадра-

тичная форма (4) вид

Ф{х\,х',)

\{х\)'^Х,{х\)\ (6)

который называется каноническим видом квадратичной фор-

мы.

ЭПЕМЕНТЫ ПИНЕ ИНОЙ АПГЕБРЫ

225

Методы приведения квадратичной формы к каноническо-

му виду используются при приведении к каноническому виду

уравнений кривых второго порядка.

4.1.

Используя теорию квадратичных форм, привести к ка-

ноническому виду уравнение линии второго порядка

5х^-8ху + 5/=9.

Решение.

данном случае матрица старших членов име-

ет вид

^ 5/

Составим характеристическое уравнение матрицы

= 0, 5-Я =

±4,

Ai=9, ^2=1.

5-Я 4

4 5-я

Полагая Я, = 9, для определения соответствующего соб-

ственного вектора получим систему уравнений

Г-4^,+4^3=0,

1 4^,-4^,=0.

Отсюда (^j=^2^ ^=^ + 7- Нормируем вектор /^:

Полагая

Л^

= Ь дая определения второго собственного век-

тора получим систему уравнений

Г4г]1+4772=0,

[477,+47]2=0.

Отсюда

r]j

-772

= ^~7

•

Нормируя, находим

226

Гпава 5

^2 =

Векторы

ё^

и ?2 ортогональны: ^

•

е^

О.

Для построения

матрицы преобразования координат используем собственные

нормированные ортогональные векторы

1 1_

Отсюда: х = -j= х Н—j=rу\ у =

—=гх

—^у. Значенияхи

7 подставим в уравнение кривой

Z),=-l.

1 ,^ 1 ,

V2 J

-8

1 , 1 ,У 1 , 1 /

1,1,

—+хуЛ—

2 2

42 42

= 9,

V /^

2 2

2 -^ 2

Откуда х^Л-9у^ =9 или ~'^У =1 —каноническое

уравнение эллипса.

Глава 6

ВВЕДЕНИЕ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНААИЗ

6.1.

Множества

операции над ними

1°.

Для описания совокупности элементов или предметов

принято использовать понятие множества. Обычно множества

элементов обозначаются прописными буквами

A,B,N,

... ,з,их

элементы малыми буквами а,Ь,п,....

Если элемент а принадлежит множеству А, то пишут

ае А . Запись ai А означает, что элемент а не принадлежит

множеству А. Если множество не содержит ни одного элемен-

та, то оно называется пустым мноэюеством и обозначается

знаком 0. Множество А называется счетным, если имеет

место взаимно однозначное соответствие между элементами

этого множества и элементами множества всех натуральных

чисел N.

Если множество содержит конечное число элементов, то

можно перечислить эти элементы в фигурных скобках

{(3,6,с}.

Выражение

Л^

{1,2,3,...}

обозначает мнолсествонатуральных

чисел, а Z =

{...,-2,-1,0,1,2,...}

мнолсество всех целых чисел.

Мнолсество рациональных чисел обозначается отношением

228 Гпава 6

^~\

—

г, где т,пе Z, пФО, когда только дробь периодичес-

кая.

В противном случае числа иррациональные. Множество

рациональных

иррациональных чисел называется множеством

действительных

или

вещественных чисел

и обозначается через

JR.

Два множества АиВ называются равными, если они состо-

ят из одних и тех же элементов А

В. Если множество В содер-

жит множество

У4,

ТО

множество А называется подмнолсеством

множества В и обозначается

BZD

А или AczB .

Пересечением множеств АиВ называется множество, со-

стоящее из элементов, принадлежащих и множеству А и множе-

ству В и обозначается АпВ

Объединением

множеств АиВ называется множество, со-

стоящее

из

элементов,

принадлежащих или множеству А или мно-

жеству В и обозначается АиВ .

Пусть множество А принадлежит основному множеству Е.

Тогда множество элементов основного множества Е, не принад-

лежащих множеству А, называется дополнением множества А

до множества Е и обозначается А, отсюда АиА

Е, АпА=д-

Для любых подмножеств АиВ основного множества Е спра-

ведливы соотношения: АиВ

АпВ, АпВ

АиВ

2°.

Пусть А — множество действительных чисел. Множе-

ство А называется ограниченным сверху, если существует та-

кое действительное число а, что для всех чисел хе А

выполняется х<а . Наименьший элемент множества верхних

граней ограниченного сверху множества А называется точ-

ной верхней гранью и обозначается sup А. Для множества А,

ограниченного снизу, точная нижняя грань множества обозна-

чается

infA.

Множество А называется ограниченным, если оно

ограничено сверху и снизу.

ВВЕПЕНИЕ В MA ТЕМА ТИЧЕСКИЙ АНАПИЗ 229

1.1. Описать перечислением элементов множество

= {jcGA^|jc'-3jc-4<0}.

Решение. Найдем множество значений переменной х, удов-

летворяющих неравенству jc^-3x-4<0. Так как

х^-Зх-4

= (х + 1)(л:-4)<0, то jce[-l,4]. Поскольку А есть

множество натуральных чисел, то ^ =

{1,2,3,4}.

6.2. Логическая символика

1°.

Логическую символику обычно используют при записи

математических объяснений. Рассмотрим несколько наиболее

простых символов.

Для обозначения высказываний или утверждений восполь-

зуемся прописными буквами латинского алфавита

yi,

Д С

т. д.

Операция отрицания утверждения А обозначается «не А» или А .

Если высказывание составлено из двух высказываний при

помощи союза «или», то оно является суммой этих высказыва-

ний (дизъюнкцией) и обозначается Av В или (А+В). Если же

высказывание составлено из высказываний при помощи союза

«и»,

то оно является произведением этих высказываний (конъ-

юнкцией) и обозначается АлВ или (АВ)-

Если из высказывания

следует высказывание В, то имеет

место импликация А=^ В. Если из высказывания А следует выс-

казывание В, а из высказывания В следует А, то имеет место

эквивалентность, которую обозначают

А<=>

Знак общности v употребляется вместо слов любой, каж-

дый. \/ае А означает:«для любого элемента ае А». Знак су-

ществования 3 употребляется вместо слова существует. Зае А

означает:«существуетэлемент ае А».

2^.

Основные свойства:

Коммутативность (переместительность)

ААВ

= ВАА; AVB = BVA.