Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)

Подождите немного. Документ загружается.

110 гпава 3

ЗОК

равный

единицам, следовательно ее уравнение будет;; = 6.

. Диагональ AC^^ сторона AD отсекают на координатных

осях отрезки равные а-А,

Ъ-Ъ,

и д=4,6=6 единицам, подставляя

которые в уравнение прямой в отрезках на осях (3), получим

^ У л ^ У л

4 3 4 6

или в общем виде Ъх-^Ау-М =

и 3x+2j-12 = 0.

Сторона ОС проходит через начало координат

имеет урав-

нение у-кх^ где угловой коэффициент /с= tg9 =

tg(|+ZCOD) = -ctg(ZCOD) = -^ = -|. Отсюда,

У =

-\х

ИЛИ

3x+2j;=0.

3.4.

Написать уравнение прямой, проходящей через точку

^(4;2) и отсекающей от координатного угла треугольник пло-

щадью, равной

кв.

единицам.

Решение. Пусть прямая, проходящяя через точку ^, отсека-

ет на координатных осях отрезки a\ib (рис. 3.11), тогда уравне-

^ У 1

ние прямой примет вид — л = 1.

а -Ь

Рис. 3.11

С другой стороны известно, что —аЬ

2 или аЬ

4- Так

как прямая проходит через точку

У4,

ТО

ее

координаты обращают

АНАПИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ППОСКОСТИ 1Г[

4 2 ,

уравнение прямой в тождество —'—г =

А.

Решая эти уравнения

а —о

относительно анЬ находим

b^-b-2

b,=2, b,=-\ и ^1=2,

а^=-4.

Подставляя а^,

Ь^

в уравнение искомой прямой, получим

X у

— +

-^ =

или jc-y-2 = 0.

2-2

X у

Подставляя

а^,

Ь^,

будем иметь —

~ =

или jc-4y + 4 = 0.

^ ^ ~4 1

Таким образом, прямых удовлетворяющих условию, две.

3.5.

В треугольнике с вершинами

У4(-2;0),

Д5;3),

С(1;-1)

найти уравнение стороны ВС и медианы AD.

Решение. Пользуясь уравнением прямой, проходящей через

две данные точки (4), находим уравнение стороны ВС

х-5

у-Ъ

Медиана делит противоположную сторону пополам, поэто-

му координаты точки D

^~ 2 ~ 2 •" ' ^^"" 2 " 2 "

Еще раз пользуясь уравнением (4), находим уравнение ме-

дианы

У4£)

-^^

1^ или х-5у^1

3.6. Написать уравнение прямой, проходящей через точку

А{\, V3 ) и удаленной от начала координат на расстояние рав-

ное 2 единицам.

Решение. Подставим координаты точки А

значение/? =

нормальное уравнение прямой

(5),

получим cos а + л/з sin а -2 =

112

Гпава 3

1 л/З .

или -cosa: + -^sina = l. Откуда sin30''cosa+ cos30°sina

лЯ

2 2

= sin(30°+a) = lHa=60^

1 /1

Тогда уравнение прямой

х—+у

2 = 0 или х+ ^

j-4

= 0.

2 2

3.7. Составить уравнение прямой, проходящей через точки

^(3;4) и Д3;8).

Решение. Используя уравнение прямой, проходящей через

две точки (4), получим

у-4 х-Ъ

. Данное уравнение имеет

8-4 3-3

смысл,

если

х-3 = 0. Итак, уравнение прямой есть х =

Это пря-

мая, параллельная оси Оу и отсекающая по оси х три единицы.

3.8.

Найти полуплоскости, соответствующие неравенствам:

а) х-Зу+2<0; б) 2x+j;+5>0; в) 4x-3j;>0.

Решение, а) Так как свободный член не удовлетворяет не-

равенству при

и ;; =

О,

то определяемая неравенством по-

луплоскость не содержит начала координат. Штриховка

указывается направлением от прямой

х-3>'+2

в сторону про-

тивоположную началу координат

(рис.

3.12).

х-ЗуЛ-2<0

2хл-у^5^0

4х-3у

Рис. 3.12

б) Поскольку при

о,

= о знак свободного члена не на-

рушает неравенсвтво, то соответствующая полуплоскость от пря-

мой 2х+>'+5 =

включает начало координат.

АНАПИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ППОСКОСТИ

113

в) Изобразим прямую на рис. 3.12. Для определения полу-

плоскости возьмем произвольную точку

координатами М(0;1),

тогда получим -3>;0. Поскольку знак неравенства показывает,

что искомая полуплоскость не включает выбранной точки М, то

штриховка от прямой должна быть направлена в сторону, про-

тивоположную точке М. Следует заметить, что

данном случае

полуплоскость включает и точки граничной прямой.

3.9.

Найти области, соответствующие неравенствам:

[jc-2>^-f3> О,

\х-1у^Ъ> О,

\х-1у-^Ъ< О,

^^[jc-2j;-3< 0; ^^ |;c-2j;-3> 0; ^^ [х-2:^-3> 0;

Решение. Построим прямые

x-2j;+3

и х-1у-Ъ =

О,

соот-

ветствующие заданным неравенствам

(рис.

3.13). Прямые парал-

лельны. Полагая х =

О,

строим полуплоскости по знаку

свободного

члена.

зависимости от сочетаний знаков неравенств

пересечение соответствующих плоскостей существует: а) в виде

части плоскости между двумя параллельными прямыми, причем

прямая х-2у+3 =

включается в искомую область; б) при одина-

ковых знаках в системе общая часть совпадает с полуплоскос-

тью,

которая не включает другой граничной прямой, то есть

геометрическим изображением служит полуплоскость х-2у-3>0

(рис.

3.14); в)

данном случае полуплоскости не имеют никакого

пересечения, то

есть

общей области

вовсе не

существует

(рис.

3.15).

..^^f

..////^

Рис.

^^ -

3.13

^' 1

Рис. :

/у^

114

Гпава 3

Рис. 3.15

ЗЛО.

Построить область, координаты точек которой удов-

X у

летворяют системе неравенств у > 2JC+4,

Л:

> -5,

—+—-

S1.

Решение. На плоскости Оху строим сначала прямую

у = 2х+4. Для этого полагаем х = 0,у = 0, находим точки пере-

сечения прямой с осями координат у = 4,х

-2и проводим че-

рез эти точки прямую (рис. 3.16). Неравенство у > 2л:+ 4 будет

представлять область, координаты точек которой расположены

выше построенной прямой, причем сама прямая в искомую об-

ласть не включается. Неравенство х > -5 представляет область

расположенную правее прямой х

-5. Последнее неравенство

напоминает уравнение прямой в отрезках на осях.

АНАПИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ППОСКОСТИ

115

Откладывая по осям Ох, Оу точки

Й[

5И6

ЗИ

проводя

через них прямую, находим, что область удовлетворяющая это-

му неравенству расположена ниже прямой. Из построений вид-

но,

что искомая область представляет треугольник ABC, где

отрезок АВ принадлежит области.

3.11.

Найти область, координаты точек которой удовлетво-

ряют системе неравенств:

\Ъх-у

+ А

> О,

а)

\2х-у

+ А

> О,

X < 0;

б)

y-l > О,

[х-2у-6 > 0.

Решение, а) Поскольку из первого неравенства при

х=0,

j^^O

4>0,

то полуплоскость включает начало координат

(рис.

3.17).

Неравенству х<0 соответствуют все точки левой полуплос-

кости. Решением является общая часть или пересечение этих по-

луплоскостей, ограниченная прямыми 2x-j^+4=0, х=0

пересекающимися под углом а.

б) При

О,

из первого неравенства следует, что по-

луплоскость включает начало координат (рис. 3.18); из второго

— следует, что полуплоскость не включает начало координат;

из третьего, что не включает. Следовательно, имеются лишь три

изолированных пересечения двух полуплоскостей, обозначаемых,

соответственно, углами а,

j8,

/ между прямыми

Ъх-у-^А =

О,

х+у-2 = 0 и

x-2j;-6

= 0.

116

Гпава 3

3.4.

Задачи на прямую линию

1°.

Точка пересечения двух прямых. Пусть прямые заданы

уравнениями

А^х^В.у^С, =0; А^х^В^у^С^ =0. (1)

Координаты точки пересечения находятся из решения этой

системы

л ^ у

—

А,В, •А,В,

АВ^-А,В,

(2)

При этом возможны следующие случаи:

а) АВ^-АЖ 9^0 или

— прямые пересекаются в

определенной точке.

ABC

б)

4^2-4^=0

с^в^-с^в^^о

или •у=-^'^7^

—

^2 ^2 ^2

прямые параллельны, точек пересечения нет.

ABC

в) А,В^-А^В,=0иС2В,-С,В^=01иш -l = -^ = ~i-—обе

прямые сливаются в одну, система уравнений сводится к одно-

му уравнению, точек пересечения бесчисленное множество.

АНАПИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ППОСКОСТИ

117

2°.

Под углом между двумя прямыми (рис. 3.19)

(Lj)

y^k^x+b^\

{L^

y-k^x-^b^,

(3)

понимают угол (р, отсчитываемый от прямой Lj, против часо-

вой стрелкии, до прямой

•к

(4)

tg<P = —

к^к^

Рис. 3.19

Если прямые заданы общими уравнениями

(1),

то формула

(4) принимает вид

Д5,-ЛД

tg«P=-

^\"l Ч"Х

Условие параллельности прямых

^1""^2

(5)

(6)

^,=-

или 4^+5,52=0.

(V)

или

Условие перпендикулярности прямых

к,

3°.

Уравнение пучка прямых. Пучком прямых, проходящих

через данную точку

M(XQ,JVQ),

называют совокупность всех пря-

мых, проходящих через эту точку

118

пава

Точка

M(XQ,JQ)

называется центром пучка. Угловой коэф-

фициент к

уравнении пучка прямых неопределен.

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересе-

чения двух данных прямых (1), имеет вид

4x+5i>;

C,+A(4^4-52>^+C2)

(9)

Здесь параметр Я неопределен.

4°.

Расстояние от данной точки до данной прямой. Чтобы

найти расстояние от точки Mj(jCpjj) до прямой, нужно в левую

часть нормального уравнения прямой вместо текущих коорди-

нат подставить координаты точки

М^

и взять абсолютную вели-

чину получившегося числа

х^

zosa

sina-/71.

(10)

Если прямая задана общим уравнением, то формула (10)

принимает вид

\АХ^

+Ву^

+с|

d =

(И)

5°. Уравнения биссектрис углов между прямыми (1)

6°.

Из уравнения прямой проходящей через две точки сле-

дует условие расположения трех точек М^{х^,у^),

М2{х2,У2)^

^з(-^З'-Уз) ^^ одной прямой

- -, (13)

У!"

Ух

^2-^1

4.1.

Написать уравнения прямых проходящих через точку

v4(-3,4) параллельно и перпендикулярно к прямой 2x->'-3=0.

Решение. Воспользуемся уравнением пучка прямых (8) и

запишем уравнение пучка прямых с центром пучка в точке А

у-4

к{х

3).

АНАПИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ППОСКОСТИ

119

Приводим уравнение прямой

уравнению прямой

угловым

коэффициентом

= 2x -

отсюда угловой коэффициент прямой

/:=2.

Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты

равны

(6).

Выбирая из уравнения пучка прямую

угловым коэф-

фициентом к-1 находим уравнение прямой параллельной данной

2х->^ +

= 0.

Используя условие перпендикулярности прямых (7), нахо-

ДИМ

угловой коэффициент перпендикулярной прямой к

-—,

Подставляя этот коэффициент

уравнение пучка, получим урав-

нение прямой перпендикулярной данной

+ 2:^~5 = 0.

4.2.

Найти прямую, параллельную прямым 2х+^'-2 =

2х-^у-5 =

О,

расположенную между ними и делящую расстояние

между ними в отношении 1:5.

Решение. Возьмем на первой прямой точку ^, абсцисса ко-

торой равна, например, нулю. Тогда ордината точки А из урав-

нения прямой равна 2. Проведем из этой точки перпендикуляр

до пересечения со второй прямой в точке В

(рис.

2.20).

Рис ,2.20

Угловой коэффициент прямой равен к = -2, следовательно,

угловой коэффициент перпендикуляра к^^= ~

•

Подставляя его