Буслаев А.П. Вероятностные и имитационные подходы к оптимизации автодорожного движения
Подождите немного. Документ загружается.
3.
Стационарные
вероятности
состояний
211
Таблица
8.1.
(Продолжение).
Стационарные
вероятности
rl
0.3 0.3 0.4 0.4
0.4
0.5
0.5
0.6
r2
0.3
0.4
0.1 0.2 0.3 0.1
0.2
0.1
Рl
0.098
0.063
0.147 0.082 0.049 0.073 0.037 0.030
Р2
0.179 0.179 0.112 0.140 0.149 0.098 0.113 0.075
Рз
0.017
0.010
0.059
0.023
0.010 0.033
0.010 0.016
Р4
0.179 0.179 0.
171
0.202 0.211 0.208
0.226
0.219
Ps
0.
111
0.105
0.071
0.080 0.077
0.054 0.054 0.035
Р6
0.068
0.095
0.015 0.037
0.058
0.016 0.033 0.015
Р7
0.027
0.018 0.076 0.036 0.019 0.046
0.019 0.021
Р8
0.168
0.171 0.155 0.190 0.202 0.194
0.218 0.211
j5g
0.003 0.002 0.027 0.008 0.003 0.018 0.004 0.007
РI0
0.080
0.079
0.127 0.143
0.145
0.222 0.232
0.341
Рll
0.017 0.022 0.024 0.024
0.020
0.021 0.017 0.014
Р12
0.052
0.078 0.014 0.035 0.057 0.018
0.037 0.020
Пусть
pi,
i =
1,
...
,
12,
-
стационарные
вероятности
со
стояний
E
i
(см.
рис.
8.8),
вычисляемые
с
использованием
схемы
Бернулли.
При
этом
предполагается,
что
вероят
ность
состояния
каждой
клетки
не
зависит
от
состояний
окружающих
ее
клеток.
Тогда
клетка
(1,1) = (2,1)
-
свободна
с
вероятностью
1 -
Тl
-
Т2,
-
занята
АТС,
движущимся
по
главной
дороге,
с
веро-
ятностью
Тl,
-
занята
А
те,
движущимся
по
второстепенной
дороге,
с
вероятностью
Т2.
Клетка
(k,
N), k = 1,2,
занята
с
вероятностью
Tk
и
сво-
бодна
с
вероятностью
1 -
Tk
.
Значения
р;
вычисляются
по
формулам
pi
=
(1
-
Тl)(1
-
Т2)(1
-
Тl
-
Т2)
,
р;
=
(1
-
Тl)
Т2
(1
-
Тl
-
Т2)
,
212
Глава
8.
Движение
на
перекрестках
Рз
=
(1-
Тl)
(1-
Т2)Тl;
Р4
=
(1
-
Тl)
Т2
Т
l,
Р;
=
(1
-
Тl)
(1
-
Т2)
Т2,
Рв
=
(1
-
Тl)
T~,
Р7
=
Тl
(1
-
Т2)(1
-
Тl
-
Т2)
,
Рв
=
ТI
Т
2
(1
-
Тl
-
Т2)
,
Р;
=
T~
(1
-
Т2)
,
* _ 2
PIO - T
1
T2,
Pil
= Tl
(1
-
Т2)
Т2,
pi2
=
TIT~.
В
табл.
8.2
приведены
значения
Р;
для
тех
же
Tl,
Т2,
ЧТО
И
В
табл.
8.1.
Tl
Т2
pi
Р2
Рз
Р4
р;
рв
Р7
Рв
Р9
pio
pil
pi2
Таблица
8.2.
Стационарные
вероятности
по
схеме
Берну
лЛи
0.1 0.1
0.1
0.1 0.1 0.1 0.1
0.1
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0.648
0.504 0.378 0.270 0.180 0.108 0.054
0.072 0.126 0.162 0.180
0.180
0.162 0.126
0.081 0.072 0.063 0.054 0.045
0.036
0.027
0.009
0.Щ8
0.027 0.036 0.045
0.054 0.063
0.081
0.144
0.189 0.216
0.225
0.216 0.189
0.009 0.036 0.081 0.144 0.225 0.324 0.441
0.072 0.056 0.042 0.030 0.020 0.012 0.006
0.008
0.014
0.018 0.020 0.020 0.018 0.014
0.009 0.008
0.007 0.006 0.005 0.004 0.003
0.001 0.002
0.003 0.004 0.005 0.006 0.007
0.009 0.016 0.021 0.024
0.025 0.024 0.021
0.001 0.004
0.009
0.016
0.025 0.036 0.049
0.1
0.8
0.018
0.072
0.018
0.072
0.144
0.576
0.002
0.008
0.002
0.008
0.016
0.064
3.
Стационарные
состояний
213
Таблица
8.2.
rl
0.2
0.2 0.2 0.2
0.2 0.2
0.3
0.3
r2
0.1 0.2 0.3
0.4 0.5 0.6
0.1
0.2
pi
0.504 0.384 0.280 0.192
0.120 0.064
0.378 0.280
0.056 0.096
0.120 0.128
0.120 0.096 0.042 0.070
0.144 0.128 0.112 0.096
0.080 0.064
0.189 0.168
Р4
0.016
0.032 0.048 0.064
0.080 0.096
0.021 0.042
0.072 0.128 0.168
0.192 0.200 0.192 0.063
0.112
0.008
0.032 0.072 0.128
0.200 0.288 0.007
0.028
0.126 0.096 0.070
0.048 0.030 0.016
0.162
0.120
0.014 0.024 0.030 0.032
0.030 0.024
0.018 0.030
0.036 0.032 0.028
0.024 0.020 0.016
0.081 0.072
0.004 0.008
0.012 0.016 0.020
0.024 0.009 0.018
0.018 0.032 0.042 0.048
0.050 0.048
0.027 0.048
0.002 0.008
0.018 0.032 0.050 0.072
0.003
0.012
rl
0.3 0.3 0.4 0.4
0.4 0.5
0.5 0.6
r2
0.3 0.4
0.1 0.2 0.3
0.1 0.2
0.1
0.196 0.126 0.270
0.192 0.126 0.180
0.120 0.108
0.084 0.084 0.030
0.048 0.054 0.020
0.030
0.012
0.147 0.126 0.216 0.192
0.168 0.225
0.200
0.216
Р4
0.063
0.084 0.024 0.048
0.072 0.025
0.050
0.024
Ps
0.147 0.168 0.054 0.096
0.126 0.045
0.080
0.036
Р6
0.063
0.112
0.006
0.024 0.054
0.005 0.020
0.004
Р7
0.084 0.054
0.180 0.128 0.084
0.180
0.120
0.162
Рв
0.036 0.036 0.020 0.032
0.036 0.020
0.030
0.018
Р9
0.063 0.054 0.144
0.128 0.112
0.225 0.200
0.324
pio
0.027
0.036 0.016 0.032
0.048 0.025
0.050
0.036
pil
0.063 0.072 0.036
0.064
0.084 0.045
0.080
0.054
РЬ
0.027
0.048 0.004 0.016
0.036 0.005
0.020
0.006
214
Глава
8.
Движение
на
перекрестках
Рассмотрим
случай,
когда
Тl
=
Т2
=·0.2.
Имеем
Рl
< pi.
Это
можно
объяснить
тем,
что
плотность
потока
на
BTQ-.
ростепенной
дороге
превыmает
Т2.
Тем
же
самым
объясня
ются
неравенства
Р7
<
Р7
=
Р2
<
Р2.
Имеем
Рз
<
Р5
(плотность
потока,
движущегося
по
вто
ростепенной
дороге,
на
перекрестке
превышает
ПЛОТНОСТЬ
потока,
движущегося
на
первой
дороге)
.
По
той
же
при
чине
jjg <
Р6.
Имеет
место
неравенство
Pll <
Рз,
хотя
РВ
< Pil.
Это
можно
объяснить
тем,
что
правила
перемещения
АТС
уменьшают
вероятность
соответствующего
ситуации
по
вышецной
опасности
состояния
E
ll
,
при
котором
на
пе
рекрестке
находится
АТС,
движущееся
по
второстепенной
дороге,
а
перед
перекрестком
находится
АТС
на
главной
дороге.
Этой
же
причиной
можно
объяснить
неравенства
Рll
<
Р4,
Рll
<
Pil'
Р12
<
РI0·
Тем
не
менее,
для
состоя
ния
Е
12
,
также
соответствующего
ситуации
повышенной
опасности,
выполняется
неравенство
Pi2
<
Р12,
что
можно
объяснить
увеличенной
перед
перекрестком
плотностью
по
тока,
движущегося
по
второстепенной
дороге.
Оценим
плотность
потока
АТС,
движущихся
по
первой
дороге
в
клетках
(1,1),
(1,
N)
по
вычисленным
стационар-
ным
вероятностями.
Вероятность
наличия
АТС,
передвигающегося
по
глав
ной
дороге,
в
клетке
(1,1) = (2,1)
вычисляется
по
формуле
Рl(1,
1)
=
Рз
+
Р4
+ jjg + PIO = 0.20.
Аналогичным
образом
вероятность
Рl(l,
N)
наличия
АТС
в
клетке
(1,
N)
вычисляется
по
формуле
Рl(l,
N) =
Р7
+
Рз
+ jjg +
РlО
+
Рll
+
Р12
= 0.23.
Для
вероятности
Р2(2,
1)
наличия
АТС,
передвигающе
гося
по
второстепенной
дороге,
в
клетке
(1,1) = (2,1)
имеем
Р2(2,
1)
=
Р5
+
Р6
+
Рll
+
Р12
=
0.41.
3.
Стационарные
вероятности
состояний
215
Для
вероятности
Р2(2,
N)
наличия
АТС
в
клетке
(2,
N)
Р2(2,
N)
=
Р2
+
Р4
+
Рб
+
Рs
+
РI0
+
Р12
= 0.56.
Будем
теперь
предполагать,
что
Тl
= 0.4,
Т2
= 0.2.
То
да,
как
и
в
предыдущем
примере
выполняются
соотноше-
imя
Рl
< pi,
Р2
>
Р2'
Р7
<
Р7'
Рll
< Pil'
Р12
> Pi2'
Рs
<
Р4'
JJD.LHU'J~nnC.L""n
неравенство
Рз
<
Р5,
хотя
Рз
>
Рб'
и
Рll
<
Рs,
хотя
Pil >
РВ-
в
данном
случае
Рl(1,
1)
=
Рз
+
Р4
+
Р9
+
РI0
= 0.37,
Рl(l,
N)
=
Р7
+
Рs
+
Р9
+
РlО
+
Рll
+
Р12
= 0.43,
Р2(2,
1)
=
Р5
+
Рб
+
Рll
+
Р12
= 0.17,
Р2(2,
N) =
Р2
+
Р4
+
Рб
+
Рs
+
РI0
+
Р12
= 0.74.
В
данном
примере
различие
величины
отношения
Р2(2,
N}
к
Р2(2,
1)
и
величины
отношения
Рl(1,
N)
к
pl(l,
l)
суще
ственно
больше,
чем
в
предыдущем
при
мере,
что
объясня
ется
большей
плотностью
потока
на
главной
дороге.
Рассмотрим
теперь
случай,
когда
Тl
= 0.2,
Т2
= 0.4.
Как
и
в
предыдущих
примерах,
выполняются
неравен-
cTBapl
<
pi,
Р2
>
Р2,Р7
<
Р7'
Рll
<
Pil'
P12
> Pi2'
Pll
<
Р8
<
Р4'
Отметим,
что
данные
неравенства
выполняются
и
при
других
наборах
исходных
данных,
соответствующих
столб
цам
таблицы.
Имеем
Рl(1,
1)
=
Рз
+
Р4
+
pg
+
PIO
= 0.19,
Рl(l,
N)
=
Р7
+
Р8
+
Р9
+
РI0
+
Рll
+
P12
= 0.26,
Р2(2,
1)
=
Р5
+
Рб
+
Рll
+
P12
= 0.34,
Р2(2,
N)
=
Р2
+
Р4
+
Рб
+
Рs
+
РI0
+
Р12
= 0.57.
Как
и
в
рассмотренных
выше
случаях
здесь
Рl(l,l)
<
Рl(l,
N),
значения
Рl(1,
1)
и
Рl(l,
N)
приблизительно
равны
Тl,
значение
Р2(2,
1)
приблизительно
равно
Т2,
а
значение
Р2(2,
N)
существенно
больше
значения
Т2.
216
Глава
8.
Движение
на
перекреСТК8J(
8.4.
Математическая
модель
АТП
на
нерегулируемом
перекрестке
двух
дорог
с
двусторонним
движением
Рассмотрим
модель
простого
нерегулируемого
пере
крестка
с
двусторонним
движением
по
одной
полосе
в
ка
ЖдУю
сторону.
Просты..м
назы.вае,м
nepe7qJecmo~,
при
nро
хождении
~oтopoгo
АТС
не
,ме'Н.яют
'Наnравде'Нu.я
движе
'Нu.я.
Имеется
последовательность
клеток
(1,1), (1,2),
...
,
(1,
N)
-
первая полоса
первой
дороги;
(2,1), (2,2)
...
,
(2,
N)
-
полоса
первой
дороги
с
встреч
ным
движением;
(3,1), (3,2),
...
,
(3,
N)
-
первая
полоса
второй
дороги;
(4,1), (4,2),
...
,
(4,
N)
-
полоса
второй
дороги
с
встреч-
ным
движением.
Предполагается,
что
число
N
достаточно
велико.
Сле
дУющие
клетки
образуют
перекресток:клетка
(1,
N),
кото
рая
совпадает
с
клеткой
(3,1);
клетка
(2,
N),
совпадающая
с
клеткой
(4,1);
клетка
(3,
N),
совпадающая
с
клеткой
(2,1),
и
'
клетка
(4,
N),
совпадающая
с
клеткой
(1,1).
Перекресток
с
прилегающими
к
нему
клетками
изобра
жен
на
рис.
8.9.
В
каждой
клетке
может
находится
не
более
одного
АТС.
Изменения
состояний клеток
могут
происходить
в
целочи
сленные
моменты
времени.
Каждое
АТС
передвигается
всегда
по
одной
и
той
же
дороге,
т
.е.
не
может
перейти
на
другую
дорогу.
В
клетках
(k,l),
(k,
2),
...
,
(k,
N)
нахо
дится
тk
АТС,
k = 1,2.
2,N-1
1,2
4,2
(2,N) =
(4,N) =
4,N-1
(4,1)
(1,1)
3,N-1
(3,N)
= (1,N) =
3,2
(2,1) (3,1)
2,2
1,N-1
Рис.
8.9.
Схема
простого
перекрестка
с
двусторонним
движением
217
Перемещение
АТС
происходит
по
следующим
правилам.
Если
в
момент
времени
t
происходит
по
следующим
прави
лам.
Если
в
момент
времени
t
КJIeTKa
(k,
i +
1)
(k
= 1,2,3,4;
i = 1,2,
...
, N -
1)
свободна,
а в
КJIeTKe
(k, i)
находится
АТС,
то
в
момент
времени
t+
1
с
вероятностью
(О
<
р
<
1)
осущеСТВJIЯется
перемещение
АТС
из
КJIетки
(k,
i)
в
КJIeTKY
(k,
i +
1).
Если
АТС
в
момент
времени
t
находится
в
КJIeTKe
(1,
N),
а
КJIетки
(4,
N)
= (1,1),
(4,
N -
1),
...
,
(4,
N
-l)
сво
бодны,
ТО
В
момент
времени
t + 1
с
вероятностью
р
проис-
,
ходит
передвижение
АТС
из
КJIетки
(1,
N)
в
КJIeTKY
(1,1).
Если
АТС
в
момент
времени
t
находится
в
КJIeTKe
(2, N),
а
КJIетки
(3,
N)
= (2,1),
(3,
N
-1),
...
,
(3,
N
-l)
свободны,
то
в
момент
времени
t + 1
с
вероятностью
р
происходит
пере
движение
этого
АТС
в
КJIeTKY
(2,1).
Если
в
момент
времени
t
АТС
находится
в
КJIeTKe
(3, N),
а
КJIетки
(1,
N) = (3,1),
(1,
N
-1),
...
,
(1,
N +
1)
свободны,
то
в
момент
времени
t+
1
с
вероятностью
р
осущестВJIЯется
перемещение
этого
АТС
в
КJIeTKY
(3,1).
218
Глава
8.
Движение
на
перекрестках
Если
в
момент
времени
t
АТС
находится
в
клетке
(4,
N),
а
клетки
(2,
N)
= (4,1),
(2,
N - 1),
...
,
(2,
N - l)
свободны,
то
с
вероятностью
р
осуществляется
перемещение
АТС
в
клетку
(4, 1), l -
число
клеток
контроля.
Описанное
правило
поведения
АТС
на
перекрестке
и
пе
ред
ним
соответствует
правилам движения
при
въезде
на
перекреСТОJ{:
автомашина
пользуется
преимуществом
пе
ред
аВТОМalIIИнами,
подъезжающими
с
левой
стороны.
Рассматриваемая
система
представляет
собой
цепь
Мар
кова
с
конечным
множеством
сообщающихся
состояний,
для
которых
в
соответствии
с
теоремой
эргодичности
[36]
су
ществуют
стационарные
вероятности
состояний.
Если
в
момент
времени
t
хотя
бы
одна
из
клеток
(1,
N),
или
(1, N
-1)
свободна,
то
считаем,
что
в
момент
времени
t
длина
очереди
перед
перекрестком
на
первой
полосе
первой
дороги
в
момент
t
равна
о.
ЕСЛJi
в
момент
времени
t
клетки
(1,
N),
(1,
N
-1),
...
,
(1,
N -
j)
заняты,
а
ячейка
(1,
N - j
-1)
свободна,
то
считаем,
что
длина
очереди
в
момент
t
равна
j.
Рассмотрим
задачу
приближенного
вычисления
средней
длины
очереди
АТС
на
первой
полосе
первой
дороги
перед
перекрестком
и
определения
критической
нагрузки,
при
ко
торой
на
этой
полосе
образуется
затор.
Пусть
Tk
=
тk/
N
,
k =
1,2,3,4;
Tk -
плотность
АТС
на
соответствующей
полосе.
Учитывая, что
первая
полоса
первой
дороги
не
имеет
общих
клетОК
с
полосой
той
же
дороги,
по
которой
осуще
ствляется
встречное
движение,
можно
сделать
допущение,
'Что
иС71:0Ма.я
средн.я.я
д.ltина
о'Череди
nра71:ти'Ч,еС71:и
не
зави
сит
от
Т2.
Предnо.ltожим,
'Что
зна'Чение
l
достато'Чно
ве
.ltи71:0
и
поэтому
движению
по
рассматриваемой
nо.ltосе
не
nреn.ятствует
движение
по
одной
из
nо.ltос
второй
дороги.
В
соответСтвии
с
этим
будем
считать,
что
искомая
сред
няя
длина
очереди
не
зависит
и
от
тз.
Проводя
рассуждения,
аналогичные
тем,
которые
рас
сматривалиСЬ
в
предыдущем
разделе,
приходим
к
выводу,
что
при
R
1
< 1
среднюю
длину
nl
очереди
перед
перекрест-
219
(1)
(1')
Аналогично,
для
средней
длины
n2
очереди
перед
пере
.
крестком
на
встречной
полосе
первой
дороги
имеем
(2)
R
_
Т2
2-
.
(1
-
rз)l+l
(2')
Для
средних
длин
очередей
nз,
n4
перед
перекрестком
на
соответствующих
полосах
второй
дороги
имеем
R
2
_
з
nз
-
1-
R
з
'
(3)
(3')
(4)
(4')
Эти
формулы
не
учитывают
однако
следующее
обстоя
тельство.
Пусть,
например,
рассматривается
движение
па
тока
по первой
полосе
первой
дороге
(последовательность
220
Глава
8.
Движение
на
перекрестках
КJleTOK
(1,1),
...
,
(1,
N)).
Движению
на
этой
полосе
препят
ствует
движение
на
второй
полосе
второй
дороги
(после
довательность
КJleTOK
(4,1),
...
,
(4,
N)).
Однако
движению
по
второй
полосе
второй
дороги
препятствует
движение
на
второй
полосе
первой
дороги
(последовательность
КJleTOK
(2,1),
...
,
(2,
N)).
Поэтому
плотность
потока
на
второй
до
роге
перед
перекрестком
будет
превыmать
Т4.
В
соответ
ствии
в
формуле
(1')
заменим
значение
Т4
на
14.
Точнее
говоря,
будем
вычислять
значение
nl
по
формуле
-
Тl
R
1
=
(1
_
14)1+1
;
14
вычисляется
по
формуле
(4').
Аналогичным
образом
получаем
формулы
-
Т2
R
2
=
(1
_
R
з
)l+l
;
R
з
вычисляется
по
формуле
(3');
-2
R
з
nз
=
-,
1-
R
з
(5)
(6)
(7)