Буслаев А.П. Вероятностные и имитационные подходы к оптимизации автодорожного движения
Подождите немного. Документ загружается.
8.2.
Перекресток
с
односторонним
движением
201
х
Рис.
8.5.
llлОТНОСТИ
потока
на
второстепенной
дороге
в
окрестности
особой
клетки и
вне
нее
(rl
= 0.3, 1 =
2)
Таким
образом,
если
то
движение
потоков
устойчиво;
если
r2
(1
_
Тl)Нl
>
1,
то
возникает
затор.
(4)
(5)
При
приближении
значения
R
2
к
критическому
значе
нию
естественно
nредnо.л.ожuть,
'Что
о'Чередь
перед
nере
~pecт~o.м.
будет
быстро
расти
и
поэтому
будем
с'Чuтать,
'Что
при
(6)
та~же
обраэуетс.я
затор.
Последний
факт
подтвержда
ется
и
формулами
теории
массового
обслуживания,
приво
димыми
ниже.
Рассмотрим
еще
один
подход
к
исследуемой
задаче.
· i
202
Глава
8.
Движение
на
перекрестках
Рассмотрим
задачу
приближенного
вычисления
средн,ей
a.ltunbZ
очереди
А
те
на
второстепенной
дороге
перед
пе
рекрестком
и
определения
х:ритичесх:ой
н,агрузх:и
(Тl,
Т2),
при
которой
перед
перекрестком
на
второстепенной
дороге
образуется
затор,
т.
е.
растуща,я
по
вре.м.ен,и
очередь.
Дадим
определение
понятия
длины
очереди.
Если
в мо
мент
времени
t
хотя
бы
одна
из
клеток
(2,1)
или
(2, N
2
)
свободна,
то
считаем,
что
в
момент
t
длина
очереди
пе
ред
перекрестком
на второстепенной
дороге
равна
о.
Если
клетки
(2,1),
(2, N
2
),
.•.
, (2, N
2
-
j +
1)
в
момент
времени
t
заняты,
а
клетка
(2, N
2
-
j)
свободна,
то
считаем,
что
длина
очереди
в
момент
t
равна
j.
Пусть
p(k, i, t) -
вероятность
того,
что
в
момент
вре
мени
t
в
клетке
(k,
i)
имеется
АТС;
p(k,
i)
=
Нm
p(k, i, t).
t-too
Рассматриваемая
система
представляет
собой
цепь
Мар-
кова
с
конечным
множеством
сообщающихся
состояний,
для
которой
в
соответствии
с
теоремой
эргодичности
[36],
уста
навливающей
условия
стационарности,
стационарные
веро
ятности
состояний
существуют.
Так
как
АТС,
движущиеся
по
главной
дороге,
имеют
преимущество
перед
АТС,
движущимися
по второстепен
ной
дороге,
то
будем
nриб.л.иженно
считать,
что
на.л.ичие
А
те
на
второстеnенн,ой
дороге
не
ох:азывает
в.л.u.янu.я
н,а
движение
А
те
по
г.л.авноЙ
дороге.
Это
имеет
место,
если
все
АТС
соблюдают
правила
дорожного
движения,
т
.е.
на
ходящиеся
на
второстепенной
дороге
автомобили
не
въез
жают
на
перекресток,
если
они
создают
помехи
движению
на основной
дороге.
Б
связи
с
этим
считаем,
что
р(l,
i) =
Тl.
Отметим,
что
в
приведенном
выше
определении
длина
очереди
на
второстепенной
дороге
определяется
числом
за
нятых
клеток,
прилегающих
к
перекрестку,
считая
до
пер
вой
свободной
клетки,
(х:.л.астер
занятых
х:.л.етох:).
При
таком
определении
длина
очереди
не
равна
тождественно
8.2.
Перекресток
с
односторонним
Движением
203
нулю
и
при
отсутствии
АТС
на
главной
дороге.
Предпо
ложим,
что
при
отсутствии
потока
АТС
на
главной
дороге
можно
приближенно
считать,
что
на
второстепенной
до
роге
стационарная
средняя
длина
очереди
перед
перекрест
ком
равна
сред'Н,ей
д.л,и'Н,е
очереди
(сред'Н,ему
чис.л,у
за.яво'Х:,
ожидающих
обс.л,ужива'Н,и.я)
nводноканальной
системе
мас
сового
обслуживания
с
ожиданием
с
пуассоновским
входя
щим
потоком
и
экспоненциальным
распределением
времени
обслуживания
заявки.
При
этом
загруз'Х:у
системы
(nроиз
веде'Н,ие
и'Н,те'Н,сив'Н,ости
поступающего
в
систему
nото'Х:а
'Н,а
сред'Н,ее
вре.м.я
обс.л,ужива'Н,и.я
за.яв'Х:и)
считаем
рав'Н,ой
Т2,
так как
загрузка
в
одноканальной
системе
массового
обслу
живания
(при
ее
значении,
меньшей
1)
равна
доле времени,
в
течение
которого
прибор
занят,
а
в
рассматриваемом
слу
чае
доля
времени,
в
течение
которого
занята
выполняющая
функцию
обслуживающего
прибора
клетка
(1,1) = (2,1),
равна
Т2.
В
данном
случае
средняя
длина
очереди
не
зависит
от
параметра
распределения
времени
обслуживания
при
фик
сированном
значении
загрузки.
В
соответствии
с
формулой
Поллачека-Хинчина,
Т.е.
формулы
теории
массового
обслуживания
[36],
которая
вы
ражает
среднюю
длину
очереди
через
загрузку
системы
об
служивания,
имеем
при
Тl
=
О
:
(7)
При
значениях
Т2,
близких
к
1,
значение
n,
вычисляемое
по
формуле
(7),
превышает
N
2
•
В
рассматриваемом
случае
это
означает,
что
в
очереди
оказываются практически
все
АТС,
находящиеся
на
второстепенной
дороге.
Предположим,
что
наличию
потока
АТС
на
главной
до
роге
соответствует
увеличение
среднего
времени
обслужи-
v
б
1
вания
в
рассматриваемои
системе
о
служивания
в
а
раз,
где
а
-
доля
времени,
в
течение
которого
как
в
клетке
(1,1) = (2,1),
так
и
в
клетках
(1,
N
1
),
•
••
,
(1,
N
1
-
l +
1)
204
Глава
8.
Движение
на
перекрестках
нет
АТС,
движущихся
по
главной
дороге,
1 -
количество
клеток
контроля.
Предполагая,
'Что
веро.яmности
состо
.яниЙ
.можно
с'Читаmь
приближенно
независu.м.ьши,
будем
считать
что,
Q =
(1
-
Тl)'+1.
Увеличение
среднего
времени
обслуживания
в
системе
мас
сового
обслуживания
соответствует
увеличению
загрузки
системы
в
такое
же
число
раз.
В
соответствии
с
этим
при
Т2
<
(1
- rl)l+l
в
формуле
(1)
заменим
Т2
на
R
2
,
где
R
2
=
Т2/(1
-
Тl)'+1.
Таким
образом,
при
Т2
<
(1
-
Тl)'+1
имеем
(8)
где
R
2
=
Т2/(1
-
Т1У+1.
При
приближении
значения
R
2
к
1
средняя
длина
оче
реди
резко
возрастает.
Средняя
длина
очереди,
вычисляе
мая
по
формуле
(8),
стремится
к
бесконечности
при
R
2
-+
1.
В
нашем
случае
это
соответствует
ситуации,
когда
почти
все
А
те,
находящиеся
на
второстепенной
дороге,
оказыва
ются
в
очереди
перед
перекрестком.
При
R
2
> 1
движение
по
второстепенной
дороге
прак
тически
полностью
отсутствует
(рис.
8.6).
Рис.
8.6
позволяет
для
каждой
пары
значений
Тl,
Т2
плот
ностей
транспортных
потоков
на
главной
и
второстепенной
дорогах
предсказать,
будет
ли
при
этих
плотностях
обра
зоваться
затор
перед
перекрестком
на
второстепенной
до
роге.
конечная
очередь
движением
зШ'ор
на
второстепенной
дороге
205
Рис.
8.6.
Области
значений
ПJIотностей
потоков,
при
которых
очереди
конечны
или
бесконечны
['
j [
206
Глава
8.
Движение
на
перекрестка,х
8.3.
Стационарные
вероятности
состояний
модели
АТП
на
нерегулируемом
перекрестке
с
односторонним
движением
Предложим
еще
один
способ
исследования
модели
пере
крестка.
Ву
дем
теперь
считать,
что
перемещения
АТС
воз
можны
в
произвольные
моменты
времени,
причем
в
случае
если
соответствующая
клетка
перед
этим
А те
свободна
(или
при
нахождении
рассматриваемого
АТС
в
клетке
(2,
N
2
)
свободны
клетки
(1,1) = (1,2)
и
(1,
N
1
)),
то
пере
мещение
данного
АТС
в
интервале
времени
(t,
t+д)
проис
ходит
с
вероятностью
р,д
+
О(д),
д
-+
о.
в
данном
случае
число
клеток
контроля
полагается
равным
1.
Выделим
три
клетки
(1, N
1
),
(2,
N
2
)
и
(1,1) = (2,1)
(рис.
8.7).
2,2
1,2
(1,1)=
1,N/
1,N/-1
(2,1)
2,N
2
2,N2-
1
Рис.
t
r,+
8.7.
Схема
простого
перекрестка
·
8.З.
Стационарные
вероятности
состояний
207
Рассмотрим
цепь
Маркова
с
непрерывным
временем,
·
соответствующую
этой
тройке
клеток
.
Вычислим
при
ближенно
вероятности
состояний
этой
цепи,
nредnо.л,ага.я,
·
что
вероятности
состояний
-каждой
из
'Кд,ето-к
(1,
N
1
-1),
(2,
N
2
-
1), (1,2)
и
(2,2)
не
зависят
от
состояний
других
~eтo-к,
nри'Чем
эти
вероятности
равны
соответствеюю
rt
~
rl,
ri
~
Т2,
Т
1
~
rl,
Т'2
~
Т2'
Предполагая,
'Что
на.л,и'Чие
nото-ка
на
второстепенной
дороге
не
в.л,u.яет
на
n.л,отность
nото-ка
на
г.л,авноЙ,
есте
ственно
nо.л,ожить
Т
1
=
rt
=
rl'
Относите.л,ьно
n.л,oтHo
стей
на
второй
дороге
будем
no.л,aгaть,
'Что
где
R
2
вы'Чисмется
та-к,
-ка-к
описано
в
§8.2:
в
соответствии
с
предыдущими
конструкциями
предпола
гаем,
что
R
2
< 1
(движение
устойчиво).
Будем
описывать
состояние
клетки
(k,
i)
в
момент
вре
мени
t
случайным
процессом
(}(k,
i, t).
Пусть
(}(k,
i, t) =
О,
если
клетка
(k,
i)
в
момент
времени
t
свободна;
(}(k,
i, t) = 8
(8
=
1,2),
если
в
этот
момент
времени
в
данной
клетке
нахо
дится
АТС,
передвигающееся
по
8-Й
дороге.
Клетки
(1,
N
1
)
и
(2,N
2
)
могут
находиться
в
двух
состояний,
а
клетка
(1,1) = (2,1)
в
трех
состояниях.
Соответственно
имеются
следующие
12
состояний
рассматриваемой
тройки
клеток
(рис.
8.8):
E
1
=
{(}(1,
N
1
,
t) =
(}(1,
1,
t) =
(}(2,
N
2
,
t) =
О},
Е
2
=
{(}(1,
N
1
,
t) =
(}(1,
1,
t) =
О,
(}(2,
N
2
,
t) = 2},
Е
з
=
{(}(1,
N
1
,
t) =
О,
(}(1,
1,
t) =
1,
(}(2,
N
2
,
t) =
О},
Е
4
=
{(}(1,
N
1
,
t) =
О,
(}(1,
1,
t) =
1,
(}(2,
N
2
, t) = 2},
E
s
=
{(}(1,
N
1
,
t) =
О,
(}(1
,
1,
t) =
2,
(}(2,
N
2
,
t) =
О},
208
Глава
8.
Движение
на
перекрестках
Ев
= {0(1, N
1
,
t) = 0,0(1,1, t) =
0(2,
N
2
,
t) =
2},
Е
7
= {0(1, N
1
,
t) = 1,0(1,1, t) =
0(2,
N
2
,
t)
=
О},
Ев
= {0(1, N
1
,
t) = 1,0(1,1, t) = 0,0(2, N
2
,
t) =
2},
E
g
= {0(1, N
1
,
t) = 1,0(1,1, t) = 1,0(2, N
2
,
t) =
О},
Е
10
= {0(1, N
1
,
t)
= 0(1,1, t) = 1,0(2, N
2
,
t)
=
2},
Е
н
= {0(1, N
1
,
t) = 1,0(1,1, t) = 2,0(2, N
2
,
t) =
О},
E
12
= {0(1, N
1
,
t) = 1,0(1,1, t) =
0(2,
N
2
,
t) =
2}.
~-tWJ-twJ-~-
t
Б
tE2
t
Ез
tE4
~-~-~-~-
t
Е5
t
Ев
t
Е7
t
Ев
blf-НtJ-~-~-
t
Е9
t
Бо
t
Е11
t
Б2
Рис.
8.8.
Состояния
тройки
клеток
8.3.
Стационарные
вероятности
состояний
209
Пусть
Pi
-
стационарная
вероятность
того,
что
рассма
:
,
!
п)иваеll,fая
марковская
цепь
находится
в
состоянии
E
i
.
Ста
:
ЦИ1ОНСl.рные
вероятности
цепи
удовлетворяют
системе
урав
:
i
вени]~,
которые
выводятся
стандартным
способом
[36]:
-(rt
+
тпРl
+
(1
-
r
1
)рз
+
(1
- r;)ps =
О,
(1)
-(1
+
тп112
+
ri"Pl
+
(1
-
Т
1
)Р4
+
(1
-
Т;)Р6
=
о,
(2)
-(1
-
Т
1
+
rt
+
rt)рз
+
Р7
=
о,
(3)
-(1
-
Т
1
+ rt)p4 +
ri"рз
+
Рз
=
о,
(4)
-(1
-
т;
+
rt
+ rt)ps +
112
=
о,
(5)
-(1
-
т;
+
тпР6
+
ri"ps
=
о,
(6)
-(1
+
тпР7
+
rtpl
+
(1
-
тпР9
+
(1
-
Т;)Рll
=
о,
(7)
-Рз
+
rt112
+
ri"P7
+
(1
-
тпРI0
+
(1
-
Т;)Р12
=
о,
(8)
-(1
-
Т
1
+
ri")P9
+
rtрз
=
о,
(9)
-(1
-
Т
1
)Р1О
+ rtp4 +
ri"P9
=
о,
(10)
-(1
-
т;
+
ri")Pll
+ rtps =
О,
(11)
-(1
-
Т;)Р12
+ rtp6 +
ri"Pll
=
о.
(12)
В
соответствии
с
теорией
марковских
процессов
[36]
ка
ждое
из
уравнений
(1)-(12)
является
следствием остальных.
Вместе
с
условием
нормировки
12
LPi= 1
i=1
система
уравнений
(1)-(12)
определяет
единственный
набор
приближенных
значений
стационарных
вероятностей
Pi,
i =
1,
...
,12.
Рассмотрим
численные
примеры.
Решение
системы
ли
нейных
уравнений
(1)-(12)
представлено
в
таблице
8.1.
210
Глава
8.
Движение
на
перекрестках
Таблица
8.1.
Стационарные
вероятности
rl
0.1 0.1
0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1
r2
0.1
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
Рl
0.597
0.435 0.310 0.215 0.141 0.087 0.047 0.
021
fi2
0.102 0.169 0.
209
0.227 0.228 0.212 0.183 0.134
Рз
0.058
0.037
0.024
0.015 0.009 0.005 0.002 0.
001
Р4
0.031 0.051 0.063 0.070 0.074 0.076 0.074 0.068
Р5
0.091 0.147
0.178 0.190 0.187
0.171 0.145 0.108
Р6
0.011
0.040 0.083 0.134 0.192 0.256
0.312
0.355
Р7
0.065
0.046
0.032
0.022 0.014 0.009 0.005
0.002
Р8
0.024 0.042
0.052 0.063 0.069 0.072 0.072
0.067
fig
0.006 0.003 0.002 0.001 0.001 0.000 0.000 0.000
РlО
0.004 0.007 0.008 0.008 0.009 0.009 0.008 0.008
Рll
0.009
0.014 0.017
0.017 0.017 0.015
0.012
0.009
Р12
0.002 0.009 0.021
0.037 0.059
0.091 0.139
0.222
rl
0.2
0.2 0.2
0.2
0.2 0.2 0.3 0.3
r2
0.1 0.2
0.3
0.4
0.5 0.6
0.1 0.2
Рl
0.448 0.274 0.140 0.120
0.076 0.046
0.260 0.158
fi2
0.094 0.169
0.216
0.207 0.201 0.186 0.117
0.160
Рз
0.094 0.046 0.017 0.015
0.008
0.004 0.081 0.038
Р4
0.062 0.107 0.132
0.131 0.133 0.131
0.122 0.160
Р5
0.077
0.129
0.143 0.145 0.136 0.121 0.083 0.106
Р6
0.009 0.040 0.097 0.113 0.152 0.189
0.014
0.039
Р7
0.106 0.061 0.028
0.025 0.015 0.009 0.097
0.054
Р8
0.051 0.092 0.
121
0.122 0.127 0.127 0.106 0.145
jjg
0.021
0.008 0.002 0.002 0.001 0.001 0.027
0.010
РlО
0.019
0.030
0.035
0.034 0.034 0.033 0.060 0.075
Рll
0.015 0.023 0.022 0.024
0.021 0.018
0.022 0.026
Р12
0.004 0.019
0.047 0.062 0.094 0.137 0.010
0.028