Буслаев А.П. Вероятностные и имитационные подходы к оптимизации автодорожного движения
Подождите немного. Документ загружается.
7.4.
Сравнение
результатов
181
7.4.
Сравнение
результатов
u
аналитических
вычислении
с
имитационным
моделированием
в
таблице
7.1
приведены
значения
Т
(среднего
времени
между
тупиковыми
состояниями)
для
математической
мо
,цели
2,
соответствующей
алгоритму
В1
имитационной
мо
,цели,
вычисленные
приближенным
способом,
который
опи
сан
в
§7.3
(формулы
(7),
(8)
§7.3),
с
использованием
упро
щаюmих
предположений
(формулы
(23),
(24)
§7.3)
для
раз
личных
значений
длины
зоны
сегрегации
L.
Эти
значения
сравниваются
с
соответствующими
значениями
Т*,
полу
ченными
с
помощью
имитационного
моделирования
(та
блица
7.1).
Значения
округлены
до
двух
значащих
цифр.
Приводится
также
значение
К
=
{-.
Длина
зоны
III
в
имитационнои
модели
полагалась
рав
ной
2.
Таблица
7.1.
Среднее
время
между
тупиковыми
состояниями
при
различных
L,
Тl
=
Т2
= 0.25,
/31
=
fЗ2
=
/3
= 0.5,
р
=
0.5
L 1 2
3
4
Т 26 2100
170000
14000000
Т*
260
2100 130008 150000
К
0.10 1.0
13
93
в
таблице
7.2
приводятся
значения
Т
при
различных
зна
чениях
плотности
т
потока.
182
Глава
7.
Сегрегация
А
ТП
Таблица
7.2.
Среднее
время
между
тупиковыми
состояниями
при
различных
т,
fЗ
=
0.5,
р
= 0.5, L = 2
Tl
=
Т2
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9
Т
25000 2600
2100 5200
200000
Т·
4300 1400 2100 2500
60000
К
5.8 1.9 1.0
2.1
3.3
Возрастание
среднего
времени
между
тупиковыми
со
стояниями при
большой
нагрузке
объясняется
тем,
что
из
менение
состояний
клеток
происходит
медленнее.
При
этом
при
увеличении нагрузки
вероятность
того,
что
АТС
не
су
меет
перейти
на
нужную
полосу,
продолжает
возрастать.
В
таблице
7.3
приведем
значения
Т,
вычисленные
при
различных
значениях
р.
Таблица
7.3.
Среднее
время
между
тупиковыми
состояниями
при
различных
р,
Tl
=
Т2
= 0.25,
fЗ
= 0.5, L = 2
р
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9
Т
51000 6000
2100 1100
650
т·
1000000 11000
2100
510 140
К
0.051 0.55 1.0
2.1
4.6
.
Как
видно
из
приводимых
таблиц,
наименьшее
расхо
ждение
значений,
полученных
имитацио:рным
моделирова
нием
и
аналитическим
способом,
получаются
при
L =
2,
0.3
~
т
~
0.7, 0.3
~
р
~
0.7.
Значения,
вычисляемые
аналитически,
более
сильно
за
висят
от
L
и
т,
чем
значения,
получаемые
имитационным
моделированием.
Наоборот,
значения,
получаемые
имита
ционным
моделированием,
зависят
от
р
в
большей
степени,
чем
значения,
вычисляемые
аналитическим
способом.
В
этом
диапазоне
параметров
величина
k
находится
в
пре
делах
0.55
~
k
~
2.1.
Математические
модели
движения
'
А
те
на
перекрестке
Обзор
работ
по
математическим
моделям
движения
АТС
на
перекрестке
в
данном
параграфе
приводится
краткий
обзор
работ
по
.
математическим
моделям
движения
А
ТП
(авТОМОбильно
транспортного
потока)
на
перекрестках
автомобильных
до
рог.
В
работах
[30-32,49,50,57]
в
качестве
модели
движения
на
перекрестке
автомобильных
дорог
используется
система
массового
обслуживания
с
конфликтными
поступающими
потоками
требований.
Как
отмечается
в
[34],
конф,л,'U/кт
ность
потоков
означает
следующее:
а)
обс,л,уживание
за
явок
таких
потоков
осуществ.л..яетс.я
в
неnересекающиес.я
uнтервалы
времени;
б)
существование
интервалов,
на
ко
торых
ни
один
из
потоков
не
обс,л,уживается;
в)
невоз
можность
суммированu.я
He'ICOmOpblX
потоков
и
тем
са
мым
сведенu.я
зада'Ч,и
к
бо,л,ее
простому
одномерному
с,л,У
чаю.
Существует
большое
число
реальных
объектов
(в
частности,
светофоры
адаптивного
регулирования
на
пе
рекрестках
со
сложной
геометрией
пере
езда
),
для
которых
адекватные
модели
массового
обслуживания
должны
также
отражать
нелокальность
или
интегральность
исходных
дан
ИЫХ.
В
соответствии
с
принципом
нелокальности
или
инте-
184
Глава
8.
Движение
на
перекрестках
гральности
исходные
и
искомые
характеристики
относятся
не
к
каждому
отдельно
взятому
требованию,
а
к
некото
рым
образом
отмеченным
группам
заявок,
и
эти
характери
стики
рассматриваются
либо
на
интервалах
[7i'
7i+l)'
i
~
О,
оси
времени,
либо
в
моменты,
которые
специальным
обра
зом
связаны
с
моментами
7:,
i
~
1,
поступления
заявок.
Точечный
случайный
процесс
{7i, i
~
О}
на
[О,
+00)
за
дает
шкалу
тактов
времени
работы
системы
обслуживания
и
определяет
моменты
запрещения
или
разрешения
начала
обслуживания
отмеченных
групп
(пачек)
требований.
В
[32]
отмечается,
что
при
построении,
анализе
и
опти
мизации
моделей
обслуживания
естественно
использовать
общее
понятие
управляющей
системы
[34].
Управляю
щую
систему
образуют
следующие
элементы
и
связи
между
ними:
вхо.дные
потоки
П
1
,
П
2
,
•..
,
П
m
неоднородных
требований;
потоки
насыщения
п~и), П~И),
...
,
п~)
(выходные
потоки
си
стемы
обслуживания
при
максимально
возможной
ее
загру
женности
и
эксплуатации);
накопители
N(I),
N(2),
...
,
N(m)
очередей по
каждому
вход
ному
потоку;
устройства
81,82,""
8
т
по
организации
очереди
в
накопи
телях;
обслуживающее
устройство;
потоки
П~,
П~,
...
,
П~
потерянных
требований;
выходные
потоки
П
1
,
П
2
,
...
,
П
m
обслуженных
требований.
Функция
системы
-
это
прежде
всего
управление
вход
ными
потоками
(разрешение
или
запрещение
начала
обслу
живания
каждого
из них)
и
непосредственно
обслуживание
неоднородных
требований.
Фуu'К:цuоuuроваuuе
уnрав.л..яю
щей
систе,мы
во
вре,меии
7i, i
~
О,
за-х:лю'Чается
в
следую-
ще,м.
Неоднородные
требования
конфликтных
потоков
П
1
,
П
2
,
•••
,
П
m
С
возможным
изменением
их
вероятностной
структуры
поступают
в
соответствующие
накопители
N(l),
N(2)
,
...
,N(m)
с
максимально
допусти
мыми
объемами
N(I)
~
00,
N(2)
~
00,
...
,N(m)
~
00.
Отказ
по
математическим
185
',JlPебованиям
в
обслуживании
и
отбор
заявок
из
накопите
,
..
N(l),
N(2),
...
,
N(т)
на
обслуживание
осуществляется
с
••
С;:IМ()ЩЬЮ
некоторых
механизмов
дl'
д2"",
д
т
дисциплины
О'1[Щ;lед,И
В
зависимости
от
количества
требований
в
очереди,
входных
потоков,
от
потоков
насыщения
и,
наконец,
от
v.п.~
•••
п.
обслуживающего
устройства.
Обс.л,уживающее
о
имеет
n
измен.яющихся
с.л,у'Чайным
образом
,""""'"CIIL.II.LIJB
работы,
т
.
е.
состояний
Г(1),
Г(2)
,
...
,
г(n)
.
Это
выполняет
не
только
традиционные
функции
обслуживанию
требований,
но
и
функции
по
управлению
.
p.A.ufJ,n'O:
....
v
•••
потоками
для
разрешения
их
конфликтности,
по
,
МI'u
...... v
••
"
....
ованию
очередей
,
а
также
функции
ориентации,
пе-
v ..
пuol,u,r'-I'U'n'
И изменения
режимов
работы.
Закон
изменения
,
Г(1), Г(2),
...
,
г(n)
в
зависимости
от
количества
,
требований
в
каждом
из
накопителей
и
правило
назначе
,
JШЯ
времени
пребывания
в
каждом
из
этих
состояний
за
дают
так
называемый
алгоритм
Q
управления
потоками.
'
Основными
искомыми
характеристиками
таких
управля
'
ющих
стохастических
систем
обслуживания
будут
длины
очередей
по
потокам,
номера
режимов
работы
обслужива
ющего
устройства,
выходные
потоки
обслуженных
требо
ваний.
Основная
nроб.л,ема
зак.л,ю'Чается
в
изу'Чении
вероят
ностных
свойств
этих
характеристик
с
це.л,ью
решен~
за
да'Ч
синтеза,
эво.л,юции,
надежности
и
оптимизации
уnра
в.л,.яющеЙ
системы
обс.л,уживанuя.
При
исследовании
управляющего
процесса
используется
понятие
маркированного
случайного
процесса.
А1аркиро
ванный
с.л,у'ЧаЙныЙ
процесс
характеризуется
последователь
ностью
случайных
моментов
времени
Ti
(моментов
поступ
ления
требований,
подлежащих
обслуживанию,
или
момен
тов
управляющих
воздействий,
например,
моментов
начала
фаз
работы
свеТОфора),
при
этом
каждому
из
этих
мо
ментов
ставится
в
соответствие
метка
(определяющая
тип
поступающих
требований
или
тип
управляющего
воздей
ствия)
и дискретная
компонента
rJi
(определяющая,
напри
мер
,
число
требований
в
поступившей
пачке)
.
Осуществля-
186
Глава
8.
Движение
на
перекрестках
ется
выделение
и
классификация
его
определяющих
(исход
ных)
элементов,
т.е.
входных
потоков
П
1
,
П
2
,
•..
,
П
т
(маркированных
точечных
процессов,
{(7"i, Vi,
77i);
i
~
О}
с
меткой
Vi
и
дискретной
компонентой
77i),
алгоритма
а
упра
вления
этими
потоками
(задаваемого
некоторым
набором
ОТОбражений),
потоков
насыщения
п~и), п~и),
...
,п~)
(мар
кированных
точечных
процессов
{(
7"i,
Vi,
Г~,
~i);
i
~
О}
с
меткой
(Vi,
Г~)
и
дискретной
компонентой
~i
и
стратегии
б
формирования
очереди
(задаваемой
некоторым
семейством
функций).
Потоки,
поступающие
в
системы
обслуживания,
рассма
триваемые
в
работах
[30-32,49,50,
57],
являются
либо
пуассоновскими,
либо
потоками
Бартлетта,
о
которых
бу
дет
говориться
ниже.
В
работе
[32]
отмечается,
что,
как
установлено
в
результате
наблюдений,
" ...
при
удовлетво
рительном
состоянии
дорожного
полотна
и
хороших
ме
теорологических
условиях
движение
автомобилей
по
маги
страли
может
оказаться
беспрепятственным и
пуассонов
ским"
.
Как
отмечается
в
[36],
широкое
распространение
пуассо
новского
потока
объясняется
не
только
аналитической
про
стотой
связанной
с
ним
теории,
но и
тем,
что
огромное
количество реально
наблюдаемых
потоков
стохастически
неотличимы
от
пуассоновского
потока.
Этот
факт,
обна
руженный
вначале
как
эмпирический,
подтвержден
рядом
математических
моделей,
в
которых
при
довольно
общих
условиях
доказывается,
что поток
близок к
пуассоновскому.
Одной
из
таких
моделей
является
модель
суммирования
не
зависимых
случайных
потоков.
В
соответствии
с
теоремой
Григелиониса
[24]
при
наложении
большого
количества
слу
чайных
потоков
с
малыми
интенсивностями
образуется
по
ток,
близкий
к
пуассоновскому.
В
качестве
примера
в
[32]
приводятся
простые
алго
ритмы
выбора
моментов
7"i,
i
~
о.
Такой
выбор
осуществля
ется
при
математическом
описании
реального
потока.
При
этом
поток
представляется
в виде,
удобном
для
исследова-
8.1.
Обзор
работ
по
математическим
моделям
187
иия.
Например,
в
[32]
описан
следующий
алгоритм,
позво
ляющий
реальный поток
представить
в
виде
маркирован
иогослучайного
процесса,
для
которого
момент
времени
'ri
представляет
собой
момент
поступления
некоторой
пачки
заявок,
моменты
поступлений
которых
в
исходном
потоке
~изки.
Пусть
т
=
1.
Случайные
величины
'ri,
i
2::
О,
опре
деляются
соотношениями
'ri =
'Г~"
ki+l
= inf{k:
k>
k
i
,
'Г~
-
'Г~_1
2::
h
o
},
i
2::
О,
~д~
k
o
=
1,
h
o
= const >
О
и
'rk' k >
О,
-
моменты
,поступления
заявок
в
систему.
Этим
моментам
соответ
ствуют
скачки
случайного
процесса
{1](t);
t
2::
О};
(1](t)
-
.
~иcдo
за.яво'К,
поступивших
в
систем.у
до
м.ом.еuта
вре-
""еuи
t).
Таким
образом,
этот
алгоритм
так
выбирает
эле
менты
'ri,
i
2::
О,
точечного
процесса
'г,
что
'Каждый
иuтер
.'вад
[Ti,
'ГНl)
содержит
i-ю
группу
(nшч'Ку)
за.яво'К в
'Коди'Че
стве
1]i
=
ki+l
- k
i
.
При
этом
произвольный
i-й
момент
'ri
совпадает
с
некоторым
вызывающим
моментом
'rk,
потока
{
1](
t);
t >
О},
а
интервал
между
двумя
последовательными
заявками
из
i-й
группы
строго
меньше
величины
h
o
,
Т.е.
за
явки
по
принципу
близости
моментов
поступления
условно
объединяются
в
пачки.
Наконец, интервал
между
моментом
поступления
последней
заявки
из
i-й
группы
и
моментом
по
ступления
первой заявки
группы
с
номером
i + 1
не
меньше
величины
h
o
.
Этот
интервал
будем
называть
интервалом
между
двумя
последовательными
группами
(пачками).
В
[32]
отмечается
следующее.
"При
плохих
погодных
условиях
(туман,
снег,
гололед
и
т.д.)
обгон
медленных
ма
шин
быстрыми
является
уже
рискованным
и занимает
зна
чительное
время.
В
этом
случае
на
рассматриваемой
ма
гистрали
будут
возникать
автоколонны,
или
пачки
машин,
т.е.
транспортные потоки
уже
не
будут
образовывать
рас
пределение
Пуассона."
Если
же
быстрые
машины
беспре
пятственно
обгоняют
медленные,
то
в
работах
М.
А.
Фе
доткина
делается
допущение,
что
каждая
машина
движется
независимо
от
других,
и
в
соответствии
с
этим
в
модели
!I
188
Глава
8.
Движение
на
перекрестках
считается,
что
быстрые
машины
также
образуют
пуассо
новский
поток.
В
результате
применения
описанного
ВЬПIIе
алгоритма
при
h
o
= 7
к
транспортной
последовательности
Бартлетта
была
определена
реализация
точечного
процесса
т,
59
групп
(пачек),
и
число
заявок
в
каждой
из
этих
групп.
В
[32]
для
идентификации
распределения
величины
17i
(числа
требова
ний
в
i-й
пачке)
используется
следующий
механизм
форми
рования
транспортных
пачек.
Считается,
что
выделенные
с
помощью
рассматриваемого
алгоритма
точки
Ti,
i
~
О,
на
оси
времени
представляют
собой
моменты
последователь
ного
пересечения
головными
в
автоколонне
(медленными)
машинами
выбранной
стоп-линии
дороги.
Интенсивность
медленных
машин
значительно
меньше
интенсивности
всех
машин
транспортного
потока.
В
то
же
время
можно
по
лагаТI;>,
что
движение
медленных
машин
происходит
неза
висимо
друг
от
друга.
В
связи
с
этим
транспортный
по
ток
из
медленных
машин
можно
с
большой
достоверностью
считать
пуассоновским.
Далее,
каждую
медленную
машину
можно
интерпретировать
как
обслуживающий
прибор
для
быстрых
АТС,
при
этом
под
временем
обслуживания
по
нимается
время
обгона,
а
быстрые
машины
являются
вход
ным
потоком.
Тог
да
распределение
для
17i
является
незна
чительной
модификацией
геометрического
распределения,
описывающего
флуктуацию
длины
стационарной
очереди
в
системе
с
пуассоновским
поступлением
заявок,
показатель
ным
временем
обслуживания,
одним
прибором
без
ограни
чений
на
ожидание
и
размер
очереди,
т.е.
в
системе
массо
вого
обслуживания
М
I
м
111
00
по
классификации
Кендалла
[38].
Предполагается,
что
распределение
Р(·)
дЛЯ
числа
17i
заявок
в
i-й
пачке
имеет
следующий
вид:
Р(
. =
k)
= { 1 - r
при
k = 1,
17,
т(1
- q)qk-2
при
k = 2,3,
...
,
где
О
< r < 1,
0<
q <
1.
Параметр
r
данного
распреде
ления
определяет
вероятность
наличия
пачки
из
быстрых
машин,
а
параметр
q
отвечает
за
средний
размер
пачки,
по
математическим
189
алгоритмов
управления
потоками.
При
ци'Х:Ли'Чес~ом
алгоритме
при
наличии
m
потоков
об-
lIv
..
[{иваJюпхее
устройство
имеет
2т
состояний.
Для
любого
=
1,
...
,т,
при
нахождении
обслуживающего
устройства
(2j
- 1
)-м
состоянии
обслуживаются
требования
j-го
по
При
нахождении
обслуживающего
устройства
в
со-
',I'X'ояниях
2,4,
...
,
2т
обслуживания
потоков
не
происходит.
отмечается
в
[32],
циклические
алгоритмы
часто
ис
П()iJlЬ.ЗVЮ'l~СЯ
при
управлении
конфликтными
транспортными
.
потоками
на
перекрестках
со
сложной
геометрией
переезда
в
условиях
интенсивного
движения
машин.
При
алгоритме
с
упреждением,
ЯВЩIющимся
простейшей
'модификацией
циклического
алгоритма,
потоки
разбива
,ются
на
три
группы:
приоритетный
малоинтенсивный
по
ток,
группа
из
2т-2
малоинтенсивных
потоков
и,
наконец,
интенсивный
поток.
В
задаче
регулирования
транспорта
первую
группу
образует
поток
машин,
в
котором
нежела
i
тельно
скопление
большой
очереди
в
связи
с
незначитель
.
иым
расстоянием
до
соседнего
перекрестка;
вторая
группа
включает
потоки
въезда
и выезда
из
города;
наконец,
тре
тью
группу
составляют
потоки
трамвайного,
троллейбус
ного
и
автобусного
движения.
число
состояний
обслужива
ющего
устройства
равно
2т
+
1.
В
состояниях
1,2,
...
,
2т
i
обслуживающее
устройство
работает
так
же,
как при
ци-
клическом
алгоритме.
В
дополнительном
(2т
+
1)-м
СОСТО
янии
обслуживаются
требования
приоритетного
потока,
а
при
отсутствии
очереди
приоритетных
требований
обслу
живаются
требования
интенсивного
потока.
Алгоритм
с
упреждением
управляет
потоками
лишь
по
информации
о
наличии
очереди
в
приоритетном
потоке
и
наличии
инфор
мации
о
состоянии
обслуживающего
устройства,
и
поэтому
он
легко
может
быть
реализован
на
практике.
Алгоритм
с
орие'/{тацией
'u
nepe'/{a.ltaд~aMи
реализует
ци-
•
190
Глава
8.
Движение
на
перекреСТК8J{
клический
алгоритм
с
длительностями
обслуживания
пото
ков,
зависящими
от
величин
очередей по
потокам.
Пред
положим
для
простоты,
что
число
потоков
равно
двум.
В
каждом
состоянии
обслуживающееся
устройство
находится
в
течение
одного
и
того
же
фиксированного
числа
тактов.
Состояние
r
определяет
разбиение
этих
тактов
последова
тельно
на
первые
t
2
тактов
ориентации
(nрин..ятuя
реше
ний;
в
это
вре.м.я
nom01i:U
не
обс.л.уживаютс.я),
на
следую
щие
tз
-
(r
-1)to
тактов
обслуживания
требований
второго
потока,
на
t
4
тактов
переналадок
(потоки
не
обслужива
ются)
и на
последние
t
1
+
(r
- 1)t
o
тактов
обслуживания
первого
потока.
Таким
образом,
с
увеличением
номера
r
со
стояния
обслуживающего
устройства
на
единицу
длитель
ность
обслуживания
требований
первого
потока
увеличива
ется
на
t
o
тактов, а
длительность
обслуживания
требований
второго
потока
уменьшается
соответственно
на
to
тактов.
При
t
o
=
О
или
при
n = 1
алгоритм
с
ориентацией
и
пере
наладками
,полностью
совпадает
с
циклическим.
В
работе
[32]
на
примере
создания
и
изучения
простей
ших
алгоритмов
регулирования
уличного
движения
на
пе
ресечении
магистралей
показана
целесообразность
предло
женного
метода
теории
массового
обслуживания.
Рассмо
трены
разного
рода
сбои
в
работе
управляющих
систем
с
фазами
работы
светофора,
рассчитанными
используемыми
инженерами-транспортниками
способами,
возникающие
за
счет
незначительного
запаса
устойчивости
стационарного
движения,
за
счет
случайного
изменения
вероятностной
структуры
потоков
(например,
пуассоновские
потоки
пе
реходят
в
потоки
Бартлетта
и
наоборот),
за
счет
увеличе
ния
переходного
режима
в
условиях
большой
загрузки
и
т.д.
Показано
на
численных
примерах,
что
алгоритм
с
упрежде
нием
и
алгоритм
с
ориентацией
и переналадками
частично
решают
эти
проблемы.
При
решении
задачи
выбора
пара
метров
алгоритмов,
оптимальных
в
смысле
минимизации
средних
задержек
в
системе,
используется
имитационное
моделирование,
а
также
некоторые
простые
формулы,
по
лученные
эмпирическим
путем
.