Буслаев А.П. Вероятностные и имитационные подходы к оптимизации автодорожного движения
Подождите немного. Документ загружается.
1.
Обзор
работ
по
математическим
моделям
191
В
[32]
приводится
следующий
пример
.
Регулирование
,
!fPlансп,ор'тн:ых
потоков
П
1
,
П
2
С
интенсивностями
по
ступ
Лl
= 0.04
маш/с,
Л2
= 0.05
маш/с
и
интенсивно
переезда
/11
= 0.34
маш/с,
/12
=
0.67маш/
с
на
пе
.ве,се~reнии
улиц
Ульянова
и
Пискунова
(Нижний
Новгород)
1970
г.
осуществлялась
циклическим
алгоритмом,
па
"A'&"'I"n1t..T
которого
были
выбраны
сотрудниками
ГАИ
эм-
,
ПИ:РИlческим
путем.
Такое
управление
на
этом
перекрестке
среднее
время
пересечения
произвольной
ма
~
ВПIНОIЙ
перекрестка,
равное
,10.5
с.
Выбранные
соответству
.u
........
".
образом
параметры
алгоритма
с
упреждением
при
состояний
обслуживающего
устройства,
равным
5,
не
только
уменьшить
среднее
время
пребыва-
до
5.1
с,
но и
устранить
транспортные
сбои
в
регули
'
ровании
на
перекрестке.
Наблюдения
на
этом
перекрестке
объяснить
преимущества
алгоритма
с
упрежде
нием
следующим
образом.
При
хороших
дорожных
усло
виях
информативный
поток
7Гl
является
пуассоновским
и
&btomat--светофОР
редко
включает
состояние
г(5)
(т.е.
со
стояние,
в
котором
в
соответствии
с
приведенным
выше
.
V~L"~",а.пnv
,
LV~
алгоритма
с
упреждением
обслуживаются
тре
бования
приоритетного
потока,
а
при
отсутствии
приори
,
тетных
требований
обслуживаются
требования
интенсив
ного
потока),
т.е.
работает
по
почти
циклическому
ал
При
плохих
погодных
условиях
движение
ма-
шин
в
потоке
происходит
по
закону
Бартлетта
с
параме
трами
r = 0.8, q = 0.2
и
автомат-светофор
уже
часто
состояние
г(5)
,
так
как
интенсивность
появле
ния
пачек
(или
интенсивность
появления
медленных
машин)
л~
=
Лl(1
+
т(1-
q)-1)-1 = 0,02
маш/с
в
два
раза
меньше
интенсивности
появления
автомобилей
пуассоновского
по
тока.
Сделаем
некоторые
выводы.
В
работах
М
.
А.
Фе
дoт~и'Нa
разработа'Н
подход
'
?с
оnисаю.lЮ
движе'Нu.я
транс
порта
с
помощью
математи'Чес?Сux
моде.леЙ,
'Называемых
уnравл.яющими
системами
массового
обслуживанu.я,
~oтo
рые
.явА.Яютс.я
слиш?Сом
сложными
дм
того,
'Чтобы
можно
:
l'
!';,
i :
192
Глава
8.
Движение
на
перекресткд.){
быдо
бы
получить
анад.итичесх;ие
выраженtI.Я
дм
вычиСле
нtI.Я
их
веро.ятностно-вре,менных
харах;теристих;.
Предло
женный
подход
однах;о
nозво.л..яет
создать
и,митациОН'НЫе
nрогра.м,мы
численного
расчета
на
ЭВМ
различ'Ных
уnра
в.л..яющux
систе,м
обслужива'НtI.Я
и
nрогра,м,мы
оnти,мизации
тах;ого
рода
систе,м.
В
монографии
[61],
г
де
изучаются
вопросы
управления
транспортными
потоками,
рассматриваются,
в
частности,
задачи
вычисления
задержки
АТС
на
перекрестке
и
упра
вления
транспортными
потоками
на
перекрестке.
Под
за
держкой
транспортного
средства
в
[61]
понимается
разница
времени
проезда
расстояния
между
двумя
сечениями при
разрешенном
движении,
когда
отсутствуют
помехи,
и
при
движении
при
реальных
условиях.
При
изучении
однородного
по
составу
АТП
процесс
может
быть
описан
следующим
образом.
В
момент
вре
мени
t =
О
включается
красный
СИГНaJI
светофора
и
на
чинает
формироваться
очередь
из
прибывающих
к
пере
крестку
транспортных
средств.
В
фазе
горения
зеленого
света
образовывавшаяся
очередь
рассасывается
с
некото
рой
интенсивностью
f(t)
(интенсивность
потока,
убыва
ющего
от
стоп-линии
перекрестка).
Пусть
I(t) -
вре
менная
зависимость
интенсивности
транспортного
потока,
прибывающего
к
стоп-линии
перекрестка
с
момента
вре
мени
t =
о.
Если
обозначить
через
T(t)
- t
длительность
задержки
транспортных
средств,
прибывающих
в
момент
времени
t,
(T(t)
-
момент
окончания
интеРВaJIа
времени,
начинающегося
в
момент
времени
t
и
имеющего
длитель
ность,
равную
задержке
транспортных
средств),
а
через
I(t)dt -
число
транспортных
средств,
прибывших
в
интер
ВЗJIе
времени
от
t
до
t +
f:1t,
то
для
задержки
транспортных
средств
за
цикл
вычисляется
по
формуле
а
Z =
II(t)[T(t)
-
t]
dt,
о
где
а
-
момент
окончания
разгрузки
очереди.
по
математическим
lV~V
.
.LH:A"!J.Ilv.l
193
Функция
7(t)
определяется
по формуле,
полученной
на
,
:OCIHOIJe
закона
сохранения
в
интервале
времени
от
О
до
t
п-'''''
....
прибывших
и
убывших
транспортным
средств:
т
t
!
f(x)
dx = ! 1(7)
d7.
О О
а
окончания
разгрузки
очереди
находится
из
а а
!
f(x)
dx = !
l(t)
dt,
r
о
где
для
функции
f
(t)
используется
аппроксимация
{
О,
О
~
t <
т,
f(t) =
С,
r
~
t <
а,
l(t),
t
~
а,
т,
С
-
некоторые
константы.
С
учетом
этой
аппроксимации
и
в
предположении,
что
интенсивность
потока
постоянна
(l(t) = const),
имеют
ме
..
сто
соотношения
1Ст
2
Z =
2(С
_ 1);
Ст
а=С_1,0<С<I.
(1)
(2)
Средняя
задержка
транспортного
средства
на
пере-
Ст
2
Zl
=
2Т(С
-
1)'
(3),
где
Т -
длительность
цикла
работы
светофора.
Формулы
(1)-(3)
основываются
на
равномерном
законе
распределения
потока,
прибывающего
на
вход
системы.
В
[61]
приводятся
также
формулы
для
задержки
транс
портного
средства
на
перекрестке
с
учетом
поправки
на
пуассоновский
характер
потока
.
Делаются
обобщения
на
.,,
'1
194
Глава
8.
Движение
на
перекрестках
случай,
когда
к
перекрестку
пребывает
АТП,
образован
ный
разнотипными
транспортными
средствами.
Формулы
для
задержки
транспортных
средств
перед
пе
рекрестком
используются
для
решения
задачи
выбора
дли
тельностей
фаз
работы
светофора.
Рассматривается
задача
управления
А
ТП
при
заторе
(под
затором
понимается
такая
ситуация
на
дорожной
сети,
при
которой
среднее
время
задержки
транспортного
сред
ства
превыmает
длительность
цикла).
Решается
задача
вы
бора
длительностей
цикла
и
фаз,
минимизирующих
дли
тельность
существования
затора.
Кроме
аналитических
моделей
движения
АТП
в
[61]
рас
смотрена
имитационная
модель,
позволяющая,
в
частности,
изучать
передвижение
А ТП
на
перекрестке.
Как
отмеча
ется
в
[61],
при
разработке
данной
имитационной
модели
с
целью сокращения
используемой
памяти
введены
две
раз
новидности
перекрестков:
с.л.ожн,ыЙ
с
произвольной
орга
низацией
движения
и
простой
-
без
левых
поворотов
и
с
двухфазным
управлением.
Перечень параметров
простого
перекрестка
намного
короче,
чем
сложного.
Адекватность
модели
объекту
при
заданных
управляющих
воздействиях
оценивалась
с
помощью
непосредственных
измерений.
Мо
делировались
городские
автомагистрали,
оснащенные
теле
механическими
системами
координированного
управления
дорожным
движением
при
различных
режимах
координа
ции.
Отклонения
значений
средних
скоростей
АТП
и
дли
тельность
задержек,
полученные
непосредственными
изме
рениями
и
моделированием,
как
утверждается
в
[61],
не
превыmали
15%
для
скорости
и
12%
для
длительности
за
держки.
Лi
" /
~-)
----------
~-)
~-)
----------
cft
cft
cft
/
Мост
",-_Iч_
'
___
_
Рис.
8.1.
Модель
движения
по
мосту,
рассматривавmаяся
в
[64]
по
математическим
195
в
работе
[64]
рассматривалась
математическая
модель
'
j(ВИ2l(еЕ[ИЯ
автомобилей,
пересекающих
однополосный мост
дороге
с
двухстороннем
движением.
Как
только
автомо
начнет
двигаться
по
мосту
в
некотором
направлении,
ВТОМЮ{]lи,лIИ,
движущиеся
в
противоположном
направлении,
должны
ожидать,
образуя
очередь
(рис.
8.1).
Очереди
на
двух
сторонах
моста
называются
очередями
1
и
Q2.
Автомобили,
поступающие
в
очередь
Qi, i = 1,2,
на;зы:ваю~rся
автомобилями
типа
i.
Интервал
времени,
в
которого
автомобили
типа
i
имеют
приоритет
,
называется
периодом
типа
i.
Поступающие
в
очереди
ав
томобили
образуют
независимые
пуассоновск:ие
потоки
с
интенсивностями
Лl
и
Л2.
Как
только
период
типа
i
закан
чивается,
автомобили
типа
j
(j
=1=
i),
находящиеся
в
оче
реди,
начинают
период
типа
j.
Каждому
автомобилю
из
очереди
требуется
начальная
задержка
в
'т
секунд,
Т.е.
если
"
в
момент,
когда
заканчивается
период
типа
j
(j
=1=
i)
(на
чинается
период
типа
i),
в
очереди
Qi
ожидают
k
автомо
',
билей,
то
требуется
kr
секунд
для
того,
чтобы
k-й
автомо
,
биль
начал
пересечение
моста.
Длительность
пересечения
автомобилем
моста
равна постоянной
величине
Т
секунд,
не
зависящей
от количества
автомобилей
на
мосту.
Авто
"
мобиль
типа
i,
прибывmий
в
момент
времени,
когда
очередь
Qi
пуста,
но
на
мосту
еще
находятся
автомобили
типа
i,
,
начинает,
не
останавливаясь,
двигаться
по
мосту.
Период
типа
i
продолжается,
даже
если
в
Qi
нет
автомобилей,
но
на
мосту
есть
автомобили
типа
i.
Как
только
на
мосту
не
остается
ни
одного
автомобиля
типа
i,
начинается
период
типа
j.
Как
показано
в
[64],
необходимым
и
достаточным
усло-
вием
того,
что
среднее
число
автомобилей
в
каждой
из
оче
редей
Ql
и
Q2
имеет
конечное
значение,
является
неравен
ство
Лl'Т+Л2'Т
<
1.
Это
условие
означает,
что
среднее
число
автомобилей,
прибывающих
с
обеих сторон
в
течение
вре
мени
с
начальной
задержкой
'Т'
меньше
1.
В
[64]
для
случая,
когда
данное
условие
стационарности
выполняется,
получена
формула
для
средней
задержки
ав-
I 1
!
: i :
!
i
. . .
. '
196
Глава
8.
Движение
на
перекреСТКaJ(
томобиля
типа
i
перед
мостом,
т.е.
для
средней
длительно
сти
интервала
времени
Wi
от
прибытия
автомобиля
типа
i
до
начала
его
движения
по
мосту.
Эта
формула
имеет
Вид
Wi=
1 +
-'-+
+7
лi----
ь(2)
(7Ь(2)
72
) (
е>".т
-
1)
2(b
i
+ b
j
)
2Ь
;
2(1 -
Лi7)
b
i
+
Ь
;
,
(4)
где
b
i
,
b~2)
-
первые
два
момента
распределения
длитель
ности
периода
типа
i :
2.
Перекресток
с
односторонним
движением
197
.2.
Математическая
модель
АТП
на
нерегулируемом
перекрестке
двух
дорог
с
односторонним
движением
Будем
рассматривать
дискретную
модель
перекрестка
двух
дорог
с
односторонним
движением
по
одной
полосе
(рис.
8.2).
Пусть
имеется
последовательность
клеток
(1,1),
(1,1)
...
,
(1,
N
1
)
(главuа.я
дорога)
и
последовательность
кле
ток
(2,1), (2,2), . .. , (2, N
2
)
(вmоросmеnеuuа.я
дорога),
при-
1JeM
клетка
(1,1)
совпадает
с
клеткой
(2,1).
Эта
клетка
мо
жет
рассматриваться
как
перекресток
дорог.
Рис.
8.2.
Перекресток
Предполагаем,
что
числа
N
1
и
N
2
достаточно
велики.
На
главной
дороге
находится
тl
АТС,
а
на
второстепенной
дороге
-
т2
АТС
.
Пусть
Tk =
тk/
N
k
-
плотность
АТС
на
k-й
дороге,
k = 1,2.
198
Глава
8.
Движение
на
перекрестках.
в
каждой
клетке
может
находиться
не
более
одного
АТС.
Изменения
состояний
клеток
могут
происходить
только
В
целочисленные
моменты
времени.
Каждое
АТС
передвигается
всегда
по
одной
и
той
же
дороге,
т.е.
не
может
перейти
на
другую
дорогу.
Перемещение
АТС
происходит
по
следУЮЩИМ
правилам.
Если
в
момент
времени
t
клетка
(k,
i +
1)
(здесь
либо
k = 1
и
i = 2,3, .
..
, N
1
,
либо
k = 2
и
i = 2,3,
...
, N
2
-
1)
сво
бодна,
а в
клетке
(k,
i)
находится
АТС,
то
в
момент
времени
t + 1
с
вероятностью
О
<
Р
< 1
осуществляется
перемещение
АТС
из
клетки
(k,
i)
в
клетку
(k,
i +
1)
(значение
Р
харак
теризует скорость
движения
АТС
при
отсутствии
помех
со
стороны
других
АТС).
Если
в
момент
времени
t
АТС
находится
в
клетке
(2, N
2
)
и
клетки
(2,1) = (1,1), (1, N
1
),
(1, N
1
-
1)
...
, (1, N
1
-
l + 1) (l -
'Чuсдо
'Кдето?С
?Сон.тром)
свободны,
то
:в
момент
времени
t + 1
с
вероятностью
Р
про
исходит
передвижение
АТС
в
клетку
(2,1).
Если
в
момент
времени
t
в
клетке
(1,1) = (2,1)
находится
АТС,
передвига
ющееся
по
k
-
й
дороге,
а
клетка
(k,
2)
свободна,
то
в
момент
времени
t + 1
с
вероятностью
Р
происходит
перемещение
данного
АТС
в
клетку
(k,2).
Таким
образом,
в
случае если
в
последних
клетках
перед
перекрестком
на
каждой
дороге
находятся
АТС,
то
преиму
ществом
пользуется
АТС,
находящееся
на
главной
дороге.
Это
предписано
правилами
дорожного
движения,
в
соот
ветствии
с
которыми
при
подъезде
к
перекрестку
преиму
ществом
пользуется
АТС,
создающее
АТС
с
другого
напра
вления
"помеху
справа"
.
Пусть
l-
количество
клеток
контроля
("
помеха
справа"
;
эти
клетки
выделены
на
рис.
8.3
и
изображены
на
рис.
8.4),
Р
-
скорость
АТС
при
отсутствии
помех,
Tl
-
плотность
АТС
на
главной
дороге;
Т2
-
плотность
АТС
на
второсте
пенной
дороге;
Tk =
тk/
N
k
,
где
N
1
-
длина
главной
дороги;
N
2
-
длина
второстепенной
дороги;
тk
-
количество
АТС
на
k-й
дороге.
8.2.
Перекресток
с
односторонним
движением
199
Второстепенная
дорога
N92
Рис.
8.3.
Простое
пересечеиие
Рис.
8.4.
Клетки
контроля
200
Глава
8.
Движение
на
перекрестках
При
малых
значениях
rk, k = 1,2,
можно
считать,
что
оба
потока
будут
независимы,
и
интенсивности
движения
Ak
= rk
(1
-
rk)
Pk
rv
Pkrk.
При
Тl
rv
1,
р1
>
О
получим
Аl
rv
о,
А2
rv
о.
Таким
образом,
представляет
интерес
описание
движе
ния
при
значениях
Тl,
отделенных
от
О
и
1.
Буде,м,
счu
тать,
что
l
выбрано
та-х:и,м,
бодьшu,м"
что
nото-х:
на вто
ростепенной
дороге
не
о-х:азывает
вдu,яюLЯ
на
nото-х:
на
основной.
Тогда
поток
на
основной
дороге
стационарен
и
подчиняется
закономерностям,
исследованным
ранее.
Сле
довательно,
перекресток
(общая
клетка)
с
вероятностью
(1
-
Тl)'+1
будет
"открыта"
и
1 -
(1
-
Тl)'+1
-
"закрыта".
Мы
имеем
движение
по
замкнутому
контуру
с
одной
осо
бой
клеткой
-
стохастическим
препятствием.
Можно
пред
положить,
что
в
стационарно,м,
режu,м,е
будет
два
основных
значенu,я
nдотnости
Т2
-
вне
о-х:рестности
особой
-х:дет-х:и
u R
2
-
в
о-х:рестности
особой
-х;дет-х:и,
Т2
~
R
2
<
1.
Значит,
интенсивность
движения
вне
особой
окрестности
оценива
ется
как
а в
окрестности
перекрестка
(1)
Поэтому
откуда
(3)